專題1.1 豐富的圖形世界（壓軸題綜合測試卷）（北師大版）（解析版）

專題1.1豐富的圖形世界（滿分120）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（2022秋·全國·七年級專題練習）圖中是正方體的展開圖的有（）個A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【思路點撥】正方體的展開有以下4種類型：1-4-1型（分3行，中間4個，上下各1個，共6種情況），1-3-2型（分3行，中間3個，上行1個，下行2個連在一起，共3種情況），2-2-2型（每行2個，和尾相連，1種情況），3-3型（每行3個，下一行跟末尾一個相連），利用正方體展開圖的特點即可得出結(jié)論．【解題過程】解：屬于正方體展開圖的是第2個、第7個圖，第8個圖，其他都不是正方體的展開圖，∴圖中是正方體的展開圖的共有3個．故選：A．2．（2022秋·七年級單元測試）在一個正方體的玻璃容器內(nèi)裝了一些水，隨意傾斜該玻璃容器，容器內(nèi)水面的形狀不可能是（

）．A．鈍角三角形 B．等腰梯形 C．五邊形 D．正六邊形【思路點撥】結(jié)合題意，相當于用一個平面去截正方體，通過截面的形狀進行判斷即可．【解題過程】解：在一個正方體的玻璃容器內(nèi)裝了一些水，隨意傾斜該玻璃容器，相當于用一個平面去截正方體，截面可以是等腰梯形、五邊形、正六邊形，但不可能為鈍角三角形，故選：A．3．（2023秋·全國·七年級專題練習）一個正方體鋸掉一個角后，頂點的個數(shù)是（

）A．7個或8個 B．8個或9個C．7個或8個或9個 D．7個或8個或9個或10個【解題過程】解：如下圖，一個正方體鋸掉一個角，存在以下四種不同的情形，新的幾何體的頂點個數(shù)分別為：7個、8個、9個或10個.故選D.4．（2022秋·山東聊城·七年級校考階段練習）如圖，正方體盒子的外表面上畫有3條粗黑線，將這個正方體盒子的表面展開外表面朝上，展開圖可能是（

）A．B．C．D．【思路點撥】根據(jù)正方體的表面展開圖還原幾何體進行分析解答即可．【解題過程】解：對于選項A的展開圖還原幾何體為：故A不符合題意；對于選項B的展開圖還原幾何體為：，故B符合題意；對于選項C的展開圖還原幾何體為：故C不符合題意；對于選項D的展開圖還原幾何體為：故D不符合題意；故選：B．5．（2023秋·福建龍巖·七年級?？奸_學考試）有三塊相同數(shù)字的積木，擺放如下圖，相對兩個面的數(shù)字積最大是（

）A．20 B．18 C．15 D．12【思路點撥】由前兩個圖形可知，與6相鄰的四個面分別為1、2、4、5，因此與6對面的是3；再由第一和第三個圖形可得與1相鄰的四個面分別是3、4、5、6．據(jù)此分析出各相對面的數(shù)字，即可獲得答案．【解題過程】解：根據(jù)題意，可知1和2相對，4和5相對，3和6相對，所以，相對兩個面的數(shù)字積最大是4×5=20．故選：A．6．（2022秋·全國·七年級專題練習）一個長方形的長和寬分別為3cm和2cm，依次以這個長方形的長和寬所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，把長方形旋轉(zhuǎn)1周形成圓柱體甲和圓柱體乙，兩個圓柱體的體積分別記作V甲、V乙，側(cè)面積分別記作S甲、S乙，則下列說法正確的是（

）A．V甲＜V乙，S甲＝S乙 B．V甲＞V乙，S甲＝S乙 C．V甲＝V乙，S甲＝S乙 D．V甲＞V乙，S甲＜S乙【思路點撥】根據(jù)圓柱體的體積＝底面積×高求解，再利用圓柱體側(cè)面積求法得出答案．【解題過程】解：由題可得，V甲＝π?22×3＝12π，V乙＝π?32×2＝18π，∵12π＜18π，∴V甲＜V乙；∵S甲＝2π×2×3＝12π，S乙＝2π×3×2＝12π，∴S甲＝S乙，故選：A．7．（2023秋·湖南岳陽·七年級校考開學考試）搭出同時符合下面要求的物體，需要（

）個小正方體．

A．10 B．7 C．8 D．9【思路點撥】根據(jù)從正面、右面、上面看到的圖形可知：需要小正方體分前，后兩行，上，下兩層：前行4個，后行2個，左齊：上層1個，即可求出．【解題過程】解：根據(jù)從正面、右面、上面看到的圖形可知：需要小正方體分前，后兩行，上，下兩層：前行4個，后行2個，左齊：上層1個，位于前行右數(shù)第二個之上，即下層4+2個，上層1個，共7個小正方體，故選：B．8．（2022秋·黑龍江大慶·七年級?？计谥校┯昧⒎綁K搭成的幾何體，從正面和從上面看到的形狀圖如下，最多需要________塊立方體；最少需要________塊立方體（

）A．7，8 B．8，6 C．8，7 D．6，8【思路點撥】在從上面看到的圖形的對應(yīng)位置上標注，需要幾何體最少和最多時該位置所擺放的正方體的個數(shù)即可．【解題過程】解：在從上面看到的圖形的對應(yīng)位置上標注，需要幾何體最少和最多時該位置所擺放的正方體的個數(shù)，如圖所示：因此最少需要7個，最多需要8個，故選：C．9．（2022秋·全國·七年級專題練習）有一個正六面體骰子放在桌面上，將骰子如圖所示順時針方向滾動，每滾動90°算一次，則滾動第70次后，骰子朝下一面的數(shù)字是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【思路點撥】觀察圖形知道第一次點數(shù)五和點二數(shù)相對，第二次點數(shù)四和點數(shù)三相對，第三次點數(shù)二和點數(shù)五相對，第四次點數(shù)三和點數(shù)四相對，第五次點數(shù)五和點二數(shù)相對，且四次一循環(huán)，從而確定答案．【解題過程】解：觀察圖形知道第一次點數(shù)五和點二數(shù)相對，此時朝下一面的數(shù)字是2，第二次點數(shù)四和點數(shù)三相對，此時朝下一面的數(shù)字是3，第三次點數(shù)二和點數(shù)五相對，此時朝下一面的數(shù)字是5，第四次點數(shù)三和點數(shù)四相對，此時朝下一面的數(shù)字是4，第五次點數(shù)五和點二數(shù)相對，此時朝下一面的數(shù)字是2，且四次一循環(huán)，∵70÷4＝17…2，∴滾動第70次后與第二次相同，∴朝下的數(shù)字是4的對面3，故選：B．10．（2022秋·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖所示，每個小立方體的棱長為1，按如圖所示的視線方向看，圖1中共有1個1立方體，其中1個看得見，0個看不見；圖2中共有8個立方體，其中7個看得見，1個看不見；圖3中共有27個小立方體，其中19個看得見，8個看不見；…，則第11個圖形中，其中看得見的小立方體個數(shù)是（）A．271 B．272 C．331 D．332【思路點撥】根據(jù)圖①中,共有1個小立方體,其中1個看得見,0=（1-1）3個看不見,圖②中,共有8個小立方體,其中7個看得見,1=（2-1）3個看不見,圖③中,共有27個小立方體,其中19個看得見,8=（3-1）3個看不見,…,歸納出變化規(guī)律:第n個圖中,一切看不見的棱長為1的小立方體的個數(shù)為（n-1）3,看見立方體的個數(shù)為n3-（n-1）3,將第11個代入即可求解.【解題過程】圖①中,共有1個小立方體,其中1個看得見,0=（1-1）3個看不見,圖②中,共有8個小立方體,其中7個看得見,1=（2-1）3個看不見,圖③中,共有27個小立方體,其中19個看得見,8=（3-1）3個看不見,…,第n個圖中,一切看不見的棱長為1的小立方體的個數(shù)為（n-1）3,看見立方體的個數(shù)為n3-（n-1）3,所以則第11個圖形中,其中看得見的小立方體有113-103=331個,故選C.評卷人得分二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（2023秋·全國·七年級專題練習）將一個長方體的一個角切去，所得的立體圖形的棱的數(shù)量為．【思路點撥】根據(jù)長方體的特征：長方體有12條棱．在頂點處截去一個角就多出三條棱，但是長方體原本的12條棱少了幾條要畫圖分類討論．【解題過程】解：①12+3=15（條）；②12-1+3=11+3=14（條）；③12-3+3=9+3=12（條）；④12-2+3=10+3=13（條）；答：所得立體圖形的棱的條數(shù)為15條或14條或12條或13條故答案為：15條或14條或12條或13條12．（2023秋·全國·七年級專題練習）一個長方體的所有棱長之和為1.8米，長、寬、高的比是6:5:4．把這個長方體截成兩個小長方體，表面積最多可以增加平方米．【思路點撥】根據(jù)長、寬、高的比是6:5:4分別求出長、寬、高，再求出橫切增加的面積和縱切增加的面積，最后增加的面積進行比較即可得到答案．【解題過程】解：求一條長、寬、高的長度和：1.8÷4=0.45（米）；求一條長、寬、高的長度份數(shù)：6+4+5=15；求長方體的長：0.45×615=0.18求長方形的高：0.45×4如果把這個長方體橫切，表面積可增加：0.18×0.15×2=0.054（平方米）；如果縱切，表面積可增加：0.15×0.12×2=0.036（平方米），0.054平方米>0.036平方米，故答案為：0.054．13．（2023秋·全國·七年級專題練習）有同樣大小的三個立方體骰子，每個骰子的展開圖如圖1所示，現(xiàn)在把三個骰子放在桌子上（如圖2），凡是能看得到的點數(shù)之和最大是．

【思路點撥】觀察圖形可知，1和6相對、2和5相對，3和4相對；要使能看到的紙盒面上的數(shù)字之和最大，則把第一個正方體的數(shù)字1的面與第二個正方體的數(shù)字2的面相連，把數(shù)字2的面放在下面，則第一個圖形露出的數(shù)字分別是3、4、5、6；第二個正方體的數(shù)字1面與第三個正方體的數(shù)字1的面相連，數(shù)字3的面放在下面，則第二個正方體露在外面的數(shù)字是4、5、6，第三個正方體露在外面的數(shù)字就是3、4、5、6，據(jù)此可得能看得到的點數(shù)之和最大值．【解題過程】解：根據(jù)題意得：露在外面的數(shù)字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51，故答案為：51．14．（2022秋·四川達州·七年級?？计谥校┯幸粋€正方體，A、B、C的對面分別是x、y、z三個字母，如圖所示，將這個正方體從現(xiàn)有位置依次翻到第1，【思路點撥】先確定翻到12后與12重合的面上的字母，再根據(jù)已知即可知道相對的面上的字母．【解題過程】解：翻到1時，C與1重合；翻到2時，A與2重合；翻到3時，B與3重合；翻到4時，z與4重合；翻到5時，x與5重合；翻到6時，B與6重合；翻到7時，C與7重合；翻到時8，A與8重合；翻到9時，B與9重合；翻到10時，x與10重合；翻到11時，z與11重合；翻到12時，B與12重合；∵B的對面是y，∴正方體向上一面的字母是y；故答案為：y．15．（2022秋·山西太原·七年級統(tǒng)考期中）用若干大小相同的小立方塊搭一個幾何體，使得從左面和從上面看到的這個幾何體的形狀圖如圖所示．請從A，B兩題中任選一題作答．我選擇___________題．A．搭成該幾何體的小立方塊最少有個．B．根據(jù)所給的兩個形狀圖，要畫出從正面看到的形狀圖，最多能畫出種不同的圖形．【思路點撥】A．根據(jù)從左面看和從上面看的圖形，在從上面看的圖形上相應(yīng)位置標出擺放的數(shù)量即可；B．分別在從上面看到的圖形上標出擺放的各種不同的情況即可．【解題過程】解：A．如圖，是符合條件的其中一種擺放方法，共需要6個小立方體，故答案為：6；B．將不同情況的擺放方式，在俯視圖上標注出來如下：共有7種不同的擺放方式，故答案為：7．評卷人得分三、解答題（本大題共8小題，滿分75分）16．（2023春·四川自貢·七年級四川省榮縣中學校?？茧A段練習）把正方體的六個面分別涂上六種不同顏色，并畫上朵數(shù)不等的花，各面上的顏色與花的朵數(shù)情況見下表：現(xiàn)將上述大小相同，顏色、花朵分布也完全相同的四個正方體拼成一個水平放置的長方體，如圖所示．問長方體的下底面共有多少朵花？顏色紅黃藍白紫綠花的朵數(shù)123456【思路點撥】由圖中顯示的規(guī)律，可分別求出，右邊正方體的下邊為白色，左邊為綠色，后面為紫色，按此規(guī)律，可依次得出右二的立方體的下側(cè)為綠色，右三的為黃色，左一的為紫色，即可求出下底面的花朵數(shù)．【解題過程】因為長方體是由大小相同，顏色、花朵分布也完全相同的四個立方體拼成，所以根據(jù)圖中紅色的面，可以確定出一個小立方體各個面的顏色為：紅色面對綠色面，黃色面對紫色面，藍色面對白色面，所以可知長方體下底面從左到右依次是紫色、黃色、綠色、白色，再由表格中花的朵數(shù)可知共有17朵.點睛：本題考查生活中的立體圖形與平面圖形，同時考查了學生的空間思維能力．注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．17．（2023秋·全國·七年級專題練習）畫出下面由11個小正方體搭成的幾何體從不同角度看得到的圖形．（1）請畫出從正面看、從左面看、從上面看的平面圖形．（2）小立方體的棱長為3cm，現(xiàn)要給該幾何體表面涂色（不含底面），求涂上顏色部分的總面積．（3）如果在這個組合體中，再添加一個相同的正方體組成一個新組合體，從正面、左面看這個新組合體時，看到的圖形與原來相同，可以有______種添加方法，畫出添加正方體后，從上面看這個組合體時看到的一種圖形．【思路點撥】（1）根據(jù)三視圖的畫法，畫出這個簡單組合體的三視圖即可；（2）分別求出最上層，中間層和最下面一層需要涂色的面，即可求解；（3）根據(jù)再添加一個相同的正方體組成一個新組合體，從正面、左面看這個新組合體時，看到的圖形與原來相同，進行求解即可．【解題過程】（1）解：如圖所示，即為所求：（2）解：由題意可知，幾何體的最上層一共有5個面需要涂色，中間一層一共有12個面需要涂色，最小面一層一共有18個面需要涂色，∴一共用12+18+5=35個面需要涂色，∴涂上顏色部分的總面積=（3）解：如圖所示，一共有2種添加方法．18．（2023春·云南普洱·七年級普洱一中?？奸_學考試）如圖是由8個小正方體（每個小正方體的棱長都是2cm（1）請畫出這個幾何體從正面、左面、上面三個方面看到的形狀圖；（2）現(xiàn)要在這個幾何體的表面上噴上油漆（不包括下底面），求需要噴上油漆的面積S．【思路點撥】（1）根據(jù)題意直接畫出三視圖．（2）由于噴上油漆的面不含下底面，故噴上油漆的面由兩個正面（前面和后面），兩個側(cè)面（左面和右面），一個上底面；分別計算面積后求和即可．【解題過程】（1）如圖所示：（2）由（1）可知：正面由6個小正方形組成，故正面面積為：S1側(cè)面由5個小正方形組成，故側(cè)面面積為：S2上底面由6個小正方形組成，故上底面面積為：S3由于噴上油漆的面不含下底面，故噴上油漆的面由兩個正面（前面和后面），兩個側(cè)面（左面和右面），和一個上底面組成，故噴上油漆的面積為：S=2S19．（2023秋·全國·七年級專題練習）如圖所示是由棱為1cm的立方體小木塊搭建成的幾何體從3個方向看到的形狀圖．（1）請你觀察它是由個立方體小木塊組成的；（2）在從上面看到的形狀圖中標出相應(yīng)位置上立方體小木塊的個數(shù)；（3）求出該幾何體的表面積（包含底面）．【思路點撥】（1）由從上面看的圖可得該組合幾何體最底層的小木塊的個數(shù)，由從正面看的圖和從左面看的圖可得第二層和第三層小木塊的個數(shù)，相加即可；（2）根據(jù)上題得到的正方體的個數(shù)在從上面看到的形狀圖中標出來即可；（3）將幾何體的暴露面（包括底面）的面積相加即可得到其表面積．【解題過程】解：（1）∵從上面看的圖中有6個正方形，∴最底層有6個正方體小木塊，由從正面看的圖和從左面看的圖可得第二層有3個正方體小木塊，第三層有1個正方體小木塊，∴共有10個正方體小木塊組成，故答案為：10；（2）根據(jù)（1）得：（3）表面積為(6+6+6)×2+2×2＝40cm2．20．（2023秋·全國·七年級專題練習）綜合與實踐新年晚會是我們最歡樂的時候，會場上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形．下面是常見的一些多面體：操作探究：（1）通過數(shù)上面圖形中每個多面體的頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E），填寫下表中空缺的部分：多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體4六面體86八面體812十二面體2030通過填表發(fā)現(xiàn)：頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間的數(shù)量關(guān)系是，這就是偉大的數(shù)學家歐拉（L.Euler，1707—1783）證明的這一個關(guān)系式．我們把它稱為歐拉公式；探究應(yīng)用：（2）已知一個棱柱只有七個面，則這個棱柱是棱柱；（3）已知一個多面體只有8個頂點，并且過每個頂點都有3條棱，求這個多面體的面數(shù)．【思路點撥】（1）通過觀察，發(fā)現(xiàn)棱數(shù)=頂點數(shù)+面數(shù)-2；（2）根據(jù)棱柱的定義進行解答即可；（3）由（1）得出的規(guī)律進行解答即可．【解題過程】（1）解：填表如下：多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體446六面體8612八面體6812十二面體201230頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間的數(shù)量關(guān)系是V+F-E=2，故答案為：V+F-E=2；（2）解：∵一個棱柱只有七個面，必有2個底面，∴有7-2=5個側(cè)面，∴這個棱柱是五棱柱，故答案為：五；（3）解：由題意得：棱的總條數(shù)為8×32由V+F-E=2可得8+F-12=2,解得：F=6，故該多面體的面數(shù)為6．21．（2023秋·山西陽泉·七年級統(tǒng)考期末）小明在學習了正方體的展開圖后，明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是他在家用剪刀剪開了一個長方體紙盒，可是一不小心多剪開了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，如圖1、圖2所示．請根據(jù)你所學的知識，回答下類問題：觀察判斷：小明共剪開了___________條棱；動手操作：現(xiàn)在小明想將剪斷的圖2重新粘貼到圖1上去，而且經(jīng)過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒（如圖3），請你幫助小明在圖1中補全圖形：解決問題：經(jīng)過測量，小明發(fā)現(xiàn)這個紙盒的底面是一個正方形，其邊長是長方體的高的5倍，并且紙盒所有棱長的和是880cm【思路點撥】觀察判斷：根據(jù)圖形回答即可；動手操作：根據(jù)長方體的展開圖的情況可知有四種情況；解決問題：設(shè)高為acm，則正方形邊長為5acm，根據(jù)棱長的和是【解題過程】解：觀察判斷：小明總共剪開了8條棱；故答案為：8；動手操作：如圖，有四種情況：；解決問題：因為長方體紙盒的底面是一個正方形，所以設(shè)高為acm，則正方形邊長為5a因為長方體紙盒所有棱長的和是880cm所以4a+5a+5a解得a=20，所以這個長方體紙盒的體積為：20×100×100=200000cm22．（2023秋·全國·七年級專題練習）如圖，圖①為一個長方體，AB=AD=16，AE=6，圖②為圖

（1）面“練”的對面是面“”；（2）圖①中，M，N為所在棱的中點，試在圖②中畫出點M，N的位置，并求出圖【思路點撥】（1）正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答；（2）根據(jù)點M、N在與正方形ABCD相鄰的兩個面的邊上確定出點M、N的位置即可；求出點N到AB的距離，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解．【解題過程】（1）正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，“練”與“同”是相對面，“?！迸c“步”是相對面，“瀚”與“案”是相對面，答：面“練”的對面是面“同”．（2）點M、N如圖所示，

N點有N1、N2兩個點，當N點在N1∵N是所在棱的中點，AB=AD=16，∴點N1到AB的距離為1∴△ABN1的面積當N點在N2∵N是所在棱的中點，AB=AD=16，∴點N2到AB的距離為1∴△ABN2的面積故△ABN的面積為240或者64．23．（2022秋·七年級單元測試）某種產(chǎn)品形狀是長方形，長為8cm，它的展開圖如圖：（1）求長方體的體積；（2）請為廠家設(shè)計一種包裝紙箱，使每箱能裝10件這種產(chǎn)品，要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少（紙箱的表面積盡可能小）【思路點撥】（1）設(shè)長方體的高為xcm，則長方形的寬為（12﹣2x）cm，根據(jù)長方體的展開圖可見產(chǎn)品的一個寬+2個長+一個高=25，從而列出方程，求解得出長方體產(chǎn)品的長寬高，再根據(jù)長方體的體積計算方法即可算出答案；（2）由于產(chǎn)品的長寬高是固定的，廠家設(shè)計一種包裝紙箱，使每箱能裝10件這種產(chǎn)品，要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少，故在裝這10件產(chǎn)品時，讓產(chǎn)品重疊在一起的面積盡可能的大，