【綜合探究題】類型一-非動(dòng)態(tài)探究題（原卷版）

類型一非動(dòng)態(tài)探究題【典例1】綜合與實(shí)踐問題情境：如圖①，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)），延長交于點(diǎn)，連接．猜想證明：（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問題：（3）如圖①，若，，請(qǐng)直接寫出的長．【典例2】數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形的邊長為，P為邊延長線上的一點(diǎn)，E為DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線交邊DC于M，交邊AB的延長線于N.當(dāng)CP=6時(shí)，EM與EN的比值是多少？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過E作直線平行于BC交DC，分別于F，G，如圖，則可得：，因?yàn)椋?可求出和的值，進(jìn)而可求得EM與EN的比值.(1)請(qǐng)按照小明的思路寫出求解過程.(2)小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，得出了的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說明理由.【典例3】已知：在△AOB與△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．（1）如圖1，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上，連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM．請(qǐng)你判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立．若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使△COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)C落在OB上，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)．請(qǐng)你判斷（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想，并加以證明．【典例4】正方形ABCD中，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，一條直角邊與邊BC交于點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），另一條直角邊與邊CD的延長線交于點(diǎn)F．（1）如圖①，求證：AE=AF；（2）如圖②，此直角三角板有一個(gè)角是45°，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn)，連接EG，求證：EG=BE+DG；（3）在（2）的條件下，如果=，那么點(diǎn)G是否一定是邊CD的中點(diǎn)？請(qǐng)說明你的理由．【典例4】已知，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，連接CE．（l）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①BD⊥CE，②CE=BC﹣CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出CE、BC、CD三條線段之間的關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在線段BC的反向延長線上時(shí)，且點(diǎn)A、E分別在直線BC的兩側(cè)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF、CF，其他條件不變，請(qǐng)判斷△ACF的形狀，并說明理由．【典例5】如圖(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形、正四邊形、正五邊形，BE，CD相交于點(diǎn)O．(1)①如圖(a)，求證：△ADC≌△ABE；②探究：圖(a)中，∠BOC＝________；圖(b)中，∠BOC＝________；圖(c)中，∠BOC＝________；(2)如圖(d)，已知：AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊．BE，CD的延長相交于點(diǎn)O．①猜想：圖(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)②根據(jù)圖(d)證明你的猜想．【典例6】如圖(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在線段BC上任取一點(diǎn)P(P不與B，C重合)，連接DP，作射線．PE⊥DP，PE與直線AB交于點(diǎn)E．(1)試確定CP＝3時(shí)，點(diǎn)E的位置；(2)若設(shè)CP＝x(x＞0)，BE＝y(tǒng)(y＞0)，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式；(3)若在線段BC上能找到不同的兩點(diǎn)P1，P2，使按上述作法得到的點(diǎn)E都與點(diǎn)A重合，試求出此時(shí)a的取值范圍．【典例7】點(diǎn)A，B分別是兩條平行線m，n上任意兩點(diǎn)，在直線n上找一點(diǎn)C，使BC＝k·AB．連接AC，在直線AC上任取一點(diǎn)E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直線m于點(diǎn)F．(1)如圖(a)，當(dāng)k＝1時(shí)，探究線段EF與EB的關(guān)系，并加以說明；說明：①如果你經(jīng)過反復(fù)探索沒有解決問題，請(qǐng)寫出探索過程(要求至少寫三步)