高考數(shù)學二輪復習 中檔大題規(guī)范練（三）概率與統(tǒng)計 文試題

(三)概率與統(tǒng)計1．(2018·葫蘆島模擬)海水養(yǎng)殖場使用網(wǎng)箱養(yǎng)殖的方法，收獲時隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各網(wǎng)箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其產(chǎn)量都屬于區(qū)間[25,50]，按如下形式分成5組，第一組：[25,30)，第二組：[30,35)，第三組：[35,40)，第四組：[40,45)，第五組：[45,50]，得到頻率分布直方圖如圖：定義箱產(chǎn)量在[25,30)(單位：kg)的網(wǎng)箱為“低產(chǎn)網(wǎng)箱”，箱產(chǎn)量在區(qū)間[45,50]的網(wǎng)箱為“高產(chǎn)網(wǎng)箱”．(1)若同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試計算樣本中的100個網(wǎng)箱的產(chǎn)量的平均數(shù)；(2)按照分層抽樣的方法，從這100個樣本中抽取25個網(wǎng)箱，試計算各組中抽取的網(wǎng)箱數(shù)；(3)若在(2)抽取到的“低產(chǎn)網(wǎng)箱”及“高產(chǎn)網(wǎng)箱”中再抽取2箱，記其產(chǎn)量分別為m，n，求|m－n|>10的概率．解(1)樣本中的100個網(wǎng)箱的產(chǎn)量的平均數(shù)eq\x\to(x)＝(27.5×0.024＋32.5×0.040＋37.5×0.064＋42.5×0.056＋47.5×0.016)×5＝37.5.(2)各組網(wǎng)箱數(shù)分別為：12,20,32,28,8，要在此100箱中抽取25箱，則分層抽樣各組應抽數(shù)3,5,8,7,2.(3)由(2)知，從低產(chǎn)網(wǎng)箱3箱和高產(chǎn)網(wǎng)箱2箱共5箱中要抽取2箱，設低產(chǎn)網(wǎng)箱中3箱編號為1,2,3，高產(chǎn)網(wǎng)箱中2箱編號為4,5，則一共有10種抽法，基本事件為：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，滿足條件|m－n|>10的情況為從高、低產(chǎn)網(wǎng)箱中各取1箱，基本事件為(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6種，所以滿足事件A：|m－n|>10的概率為P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).2．(2016·四川)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；(3)估計居民月均用水量的中位數(shù)．解(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬．理由如下：由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12＝36000.(3)設中位數(shù)為x噸．因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4組的頻率之和為0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸．3．(2018·寧夏銀川一中模擬)為了參加某數(shù)學競賽，某高級中學對高二年級理科、文科兩個數(shù)學興趣小組的同學進行了賽前模擬測試，成績(單位：分)記錄如下：理科：79,81,81,79,94,92,85,89.文科：94,80,90,81,73,84,90,80.(1)畫出理科、文科兩組同學成績的莖葉圖；(2)計算理科、文科兩組同學成績的平均數(shù)和方差，并從統(tǒng)計學的角度分析，哪組同學在此次模擬測試中發(fā)揮比較好；(3)若在成績不低于90分的同學中隨機抽出3人進行培訓，求抽出的3人中既有理科組同學又有文科組同學的概率．(參考公式：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)為樣本平均數(shù))．解(1)理科、文科兩組同學成績的莖葉圖如下：(2)從平均數(shù)和方差的角度看，理科組同學在此次模擬測試中發(fā)揮比較好．理由如下：理科同學成績的平均數(shù)eq\x\to(x)1＝eq\f(1,8)×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85，方差是seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,8)×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；文科同學成績的平均數(shù)eq\x\to(x)2＝eq\f(1,8)×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84.方差是seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,8)×[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75；由于eq\x\to(x)1>eq\x\to(x)2，seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2)，所以理科組同學在此次模擬測試中發(fā)揮比較好．(3)設理科組同學中成績不低于90分的2人分別為A，B，文科組同學中成績不低于90分的3人分別為a，b，c，則從他們中隨機抽出3人有以下10種可能：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc.其中全是文科組同學的情況只有1種是abc，沒有全是理科組同學的情況，記“抽出的3人中既有理科組同學又有文科組同學”為事件M，則P(M)＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).4．2018年6月14日，第二十一屆世界杯足球賽在俄羅斯拉開帷幕．為了了解喜愛足球運動是否與性別有關，某體育臺隨機抽取100名觀眾進行統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表.男女總計喜愛3040不喜愛40總計100(1)將2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜愛足球運動與性別有關？(2)在不喜愛足球運動的觀眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加一臺訪談節(jié)目，求這2人至少有一位男性的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828解(1)補充列聯(lián)表如下：男女總計喜愛301040不喜愛204060總計5050100由列聯(lián)表知K2＝eq\f(100×30×40－10×202,50×50×40×60)≈16.667>10.828.故可以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜愛足球運動與性別有關．(2)由分層抽樣知，從不喜愛足球運動的觀眾中抽取6人，其中男性有6×eq\f(20,60)＝2(人)，女性有6×eq\f(40,60)＝4(人)．記男性觀眾分別為a1，a2，女性觀眾分別為b1，b2，b3，b4，隨機抽取2人，基本事件有(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b4，a1)，(b4，a2)，(a1，a2)，共15種．記至少有一位男性觀眾為事件A，則事件A包含(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b4，a1)，(b4，a2)，(a1，a2)，共9個基本事件，由古典概型，知P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).5．(2016·全國Ⅲ改編)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應年份2008～2014.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；(2)建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2019年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(t)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝28,eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55.eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\i\su(i＝1,7,t)iyi－eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,y)i＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因為y與t的相關系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系．(2)由eq\x\to(y)＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f