【課后延時(shí)】小學(xué)數(shù)學(xué)專項(xiàng)《應(yīng)用題》經(jīng)典牛吃草問(wèn)題基本知識(shí)-5星題（含解析）全國(guó)通用版

班級(jí)：姓名：親愛的同學(xué)，在做練習(xí)的時(shí)候一定要認(rèn)真審題，完成題目后，記得養(yǎng)成認(rèn)真檢查的好習(xí)慣。祝你輕松完成本次練習(xí)！期末考名列前茅！【心得記錄卡】親愛的同學(xué)，在完成本專項(xiàng)練習(xí)后，你收獲了什么？掌握了哪些新本領(lǐng)呢？在這里記錄一下你的收獲吧！年月日應(yīng)用題-經(jīng)典應(yīng)用題-牛吃草問(wèn)題基本知識(shí)-5星題課程目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率牛吃草問(wèn)題基本知識(shí)C1.了解牛吃草問(wèn)題的概念。

2.能夠準(zhǔn)確理解牛吃草的解題原理。

3.可以熟練運(yùn)用牛吃草公式來(lái)解決牛吃草問(wèn)題。少考知識(shí)提要牛吃草問(wèn)題基本知識(shí)概述

牛吃草問(wèn)題：又稱為消長(zhǎng)問(wèn)題，是英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓在他的<普遍算術(shù)>一書中提出的一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，所以也稱為“牛頓問(wèn)題”，俗稱“牛吃草問(wèn)題”．

解決該問(wèn)題要抓住兩個(gè)關(guān)鍵量：草的生長(zhǎng)速度和草原的原草量

公式：

設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1”；（1）草的生長(zhǎng)速度=（對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)×吃的較多的天數(shù)-對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)-吃的較少天數(shù)）（2）原有草量=牛的頭數(shù)×吃的天數(shù)-草的生長(zhǎng)速度×吃的天數(shù)（3）吃的天數(shù)=原有草量÷（牛的頭數(shù)-草的生長(zhǎng)速度）（4）牛的頭數(shù)=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度。牛吃草的變型

“牛吃草”問(wèn)題有很多的變例，像抽水問(wèn)題、檢票口檢票問(wèn)題等等，只有理解了“牛吃草”問(wèn)題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，輕松解決此類問(wèn)題． 精選例題牛吃草問(wèn)題基本知識(shí)1.一個(gè)大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不斷流入，若安排4臺(tái)污水處理設(shè)備，36天可將池中的污水處理完；若安排5臺(tái)污水處理設(shè)備，27天可將池中的污水處理完；若安排7臺(tái)污水處理設(shè)備，

天可將池中的污水處理完．【答案】

18【分析】

牛吃草問(wèn)題變形．不妨設(shè)一臺(tái)污水處理設(shè)備一天處理一份污水，每天新流入的污水：(4×36?5×27)÷(36?27)=1(原有的污水量：4×36?1×36=108(分牛法：1臺(tái)污水處理設(shè)備處理每天新流入的污水，剩下6臺(tái)設(shè)備處理原有污水108÷(7?1)=18(2.解放軍戰(zhàn)士在洪水不斷沖毀大壩的過(guò)程中要修好大壩．若10人需45分鐘，20人需20分鐘，則14人修好大壩需

分鐘．【答案】

30【分析】

設(shè)每個(gè)人1分鐘修好1份．10×45=450(20×20=400(每分鐘新沖毀：(450?400)÷(45?20)=2(原先沖毀：450?2×45=360(360÷(14?2)=30(3.小方用一個(gè)有洞的杯子從水缸里往三個(gè)同樣的容積的空桶中舀水．第一個(gè)桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶裝滿；第二個(gè)桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶裝滿．第三個(gè)桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它裝滿？（假設(shè)小方走路的速度不變，水從杯中流出的速度也不變）【答案】

6【分析】

小方裝第二個(gè)桶比第一個(gè)桶多用了一杯水，同時(shí)多走了2×4?1×3＝5(米)路，所以從杯中流出的速度是1×5＝0.2(杯4.如下圖所示，一塊正方形草地被分為完全相同的四塊以及中間的陰影部分．已知草一開始是均勻分布，且以恒定的速度均勻生長(zhǎng)．但如果某塊地上的草被吃光，就不再生長(zhǎng)（因?yàn)椴莞脖怀缘袅耍限r(nóng)先帶著一群牛在1號(hào)草地上吃草，兩天后把1號(hào)草地上的草全部吃完（這期間其他草地的草正常生長(zhǎng)）．之后他讓一半牛在2號(hào)草地上吃草，另一半在3號(hào)草地上吃草，結(jié)果又過(guò)了6天，這兩個(gè)草地上的草也全部吃完．最后，老農(nóng)把35的牛放在陰影草地上吃草，而剩下的牛放在4【答案】

110【分析】

設(shè)牛的頭數(shù)為[2,5]=10頭，設(shè)一頭牛一天吃一份草，所以1，2，3，4號(hào)草地的生長(zhǎng)速度為(5×6?10×2)÷6=原有草量為2×10?陰影分配牛的頭數(shù)是4的1.5倍，所以陰影草地的成長(zhǎng)速度和原有草量都是4號(hào)的1.5倍，所以整塊草地的生長(zhǎng)速度為5原有草量為50一開始就讓這群牛在整塊草地上吃草，那么吃完這些草需要275方法二：假設(shè)1至4號(hào)草地每塊面積為a，生長(zhǎng)速度為v，1號(hào)草地2天吃完，草總量為a+2v；2號(hào)和3號(hào)草地，接著6天吃完，草總量為2a+16v；6天吃完的草總量應(yīng)為2天吃完草總量的3倍，即：3(a+2v)可得a＝10v，牛群每天吃草6v；又35的牛放在陰影部分的草地中吃草，另外25的牛放在4號(hào)草地吃草，它們同時(shí)把草場(chǎng)上的草吃完，說(shuō)明陰影部分為4號(hào)草地的1.5倍；相當(dāng)于整個(gè)草地面積為5.5a，即55v5.有一牧場(chǎng)，草均勻生長(zhǎng)，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可以吃完．現(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完．問(wèn)：原來(lái)有多少頭牛吃草？【答案】

40頭【分析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長(zhǎng)的草量為：(17×30?19×24)÷(30?24)=9,原有草量為：(17?9)×30=240.現(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完，如果不賣掉這4頭牛，那么原有草量需增加4×2=8才能恰好供這些牛吃8天，所以這些牛的頭數(shù)為：(240+8)÷8+9=406.一片勻速生長(zhǎng)的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天將草吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡．已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃草量，現(xiàn)在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？【答案】

12天【分析】

根據(jù)題意可得：152030由①×2?30所以：牛每天吃草量由③可知，30所以：羊每天吃草量設(shè)馬每天吃的草為3份，將上述結(jié)果帶入②得：原有草量所以：牛每天吃草量這樣如果同時(shí)放牧牛、羊、馬，可以讓羊去吃新生長(zhǎng)的草，牛和馬吃原有的草，可以吃：60÷(2+3)=127.早晨6點(diǎn)，某火車進(jìn)口處已有一些名旅客等候檢票進(jìn)站，此時(shí)，每分鐘還有若干人前來(lái)進(jìn)口處準(zhǔn)備進(jìn)站．這樣，如果設(shè)立4個(gè)檢票口，15分鐘可以放完旅客，如果設(shè)立8個(gè)檢票口，7分鐘可以放完旅客．現(xiàn)要求5分鐘放完，需設(shè)立幾個(gè)檢票口？【答案】

11【分析】

設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘放進(jìn)1個(gè)單位的旅客．（1）1分鐘新來(lái)多少個(gè)單位的旅客：(4×15?8×7)÷(15?7)=1（2）檢票口開放時(shí)已有多少個(gè)單位的旅客在等候：4×15?1（3）5分時(shí)間內(nèi)檢票口共需放進(jìn)多少個(gè)單位的旅客：521（4）設(shè)立幾個(gè)檢票口：55÷5＝8.一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水．如果打開5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空．現(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭，問(wèn)要多少時(shí)間才能把水放空？【答案】

54分鐘．【分析】

先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量．2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水4×60=240(立方米)．時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240÷(5×150?8×90)=8(立方米)，8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是8×8×90，其中90分鐘內(nèi)流入水量是4×90，因此原來(lái)水池中存有水8×8×90?4×90=5400(立方米)．打開13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要本題實(shí)際上是牛吃草問(wèn)題的變形，水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水．這在題目中卻是隱含著的．9.小明從甲地步行去乙地，出發(fā)一段時(shí)間后，小亮有事去追趕他，若騎自行車，每小時(shí)行15千米，3小時(shí)可以追上；若騎摩托車，每小時(shí)行35千米，1小時(shí)可以追上；若開汽車，每小時(shí)行45千米，多少分鐘能追上．【答案】

45【分析】

本題是“牛吃草”和行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題的結(jié)合．小明在3?1＝2(小時(shí))內(nèi)走了(15?5)×3＝30(千米10.在地鐵車站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯．小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過(guò)20級(jí)臺(tái)階后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò)30級(jí)臺(tái)階到達(dá)地面．從站臺(tái)到地面有幾級(jí)臺(tái)階．【答案】

60【分析】

每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過(guò)20級(jí)臺(tái)階后到達(dá)地面；20÷1＝20(秒)（他走了如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò)30級(jí)臺(tái)階到達(dá)地面；30÷2＝15(秒)（他走了本題非常類似于“牛吃草問(wèn)題”，如將題目改為：“在地鐵車站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯．小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過(guò)20秒后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò)15秒到達(dá)地面．問(wèn)：從站臺(tái)到地面有多少級(jí)臺(tái)階？”采用牛吃草問(wèn)題的方法，電梯20?15＝5(秒)內(nèi)所走的階數(shù)等于小強(qiáng)多走的階數(shù)：2×15?1×20＝11.有固定速度行駛的甲車和乙車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2倍追趕乙車，5小時(shí)后甲車追上乙車；如果甲車以現(xiàn)在速度的3倍追趕乙車，3小時(shí)后甲車追上乙車，那么如果甲車以現(xiàn)在的速度去追趕乙車，問(wèn)：幾個(gè)小時(shí)后甲車追上乙車？【答案】

15【分析】

分析知道甲車相當(dāng)于“?！保鬃汾s乙的追及路程相當(dāng)于“原有草量”，乙車相當(dāng)于“新生長(zhǎng)的草”．設(shè)甲車現(xiàn)在的速度為“1”，那么乙車5?3＝2小時(shí)走的路程為2×5?3×3＝1，所以乙的速度為如果甲以現(xiàn)在的速度追趕乙，追上的時(shí)間為：7.5÷