專題根與系數(shù)的關(guān)系含答案

專題：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系例1.已知關(guān)于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．

1當(dāng)m取何值時;方程有兩個不相等的實數(shù)根；

2若x1、x2為方程的兩個不等實數(shù)根;且滿足x12+x22-x1x2=2;求m的值．

例2.已知關(guān)于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．

1求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

2設(shè)此方程的兩個根分別為x1;x2;其中x1＜x2．若2x1=x2+1;求m的值．

例3．已知關(guān)于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．

1求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

2設(shè)方程的兩個根分別為x1、x2x1＜x2;若n=x2-x1-12m;且點Bm;n在x軸上;求m.例4.已知關(guān)于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有兩個不相等的實數(shù)根．

1求m的取值范圍；

2若原方程的兩個實數(shù)根為x1、x2;且滿足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2;求m的值．

例5.已知關(guān)于x的方程x2-2k+1x+4k-12=0．

1求證：無論k取什么實數(shù)值;這個方程總有實數(shù)根；

2能否找到一個實數(shù)k;使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)若能找到;求出k的值；若不能;請說明理由．

3當(dāng)?shù)妊切蜛BC的邊長a=4;另兩邊的長b、c訓(xùn)練1.已知關(guān)于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．

1求證：方程總有兩個實數(shù)根；

2已知方程有兩個不相等的實數(shù)根α;β;滿足1α+1β=1;求

2.已知一元二次方程x2-2x+m=0

1若方程有兩個實數(shù)根;求m的范圍；

2若方程的兩個實數(shù)根為x1和x2;且x1+3x2=3;求m的值．

3若方程的兩個實數(shù)根為x1和x2;且x12-x22=0;求m的值．

3.已知關(guān)于x的方程x2+m-3x-m2m-3=0

1證明：無論m為何值方程都有兩個實數(shù)根；

2是否存在正數(shù)m;使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于26若存在;求出滿足條件的正數(shù)m的值；若不存在;請說明理由．

4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k為常數(shù)．

1求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

2設(shè)x1、x2為方程的兩個實數(shù)根;且2x1+x2=14;試求出方程的兩個實數(shù)根和k的值．

5.已知關(guān)于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2．

1求k的取值范圍；

2若x1、x2滿足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3;求k的值．

6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-m-2x+12m-3=0

1求證：無論m取什么實數(shù)時;這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

2如果方程的兩個實數(shù)根為x1;x2;且2x1+x2=m+1;求m7.已知關(guān)于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一個根為x=3．

1求a的值及方程的另一個根；

2如果一個等腰三角形底和腰不相等的三邊長都是這個方程的根;求這個三角形的周長．

8.設(shè)x1;x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的兩實根;當(dāng)a為何值時;x12+x22有最小值最小值是多少專題：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系解：1∵方程有兩個不相等的實數(shù)根;

∴△=b2-4ac=-2m-12-4mm-2=4m+1＞0;

解得：m＞-14;∵二次項系數(shù)≠0;∴m≠0;

∴當(dāng)m＞-14且m≠0時;方程有兩個不相等的實數(shù)根；

2∵x1、x2為方程的兩個不等實數(shù)根;

∴x1+x2=2m-1m;x1x2=m-2m;

∴x12+x22-x1x2=x1+x22-3x1x2=2m-1m2-3(m-2)m=2;

解得：m1=2+1;m2=-2解：1∵△=-4m2-44m2-9=36＞0;

∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

2∵x=4m±362=2m±3;

∴x1=2m-3;x2=2m+3;

∵2x1=x2+1;∴22m-3=2m+3+1;

∴解：1∵△=4-3m2-4m2m-8;

=m2+8m+16=m+42

又∵m＞0∴m+42＞0即△＞0

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

2∵方程的兩個根分別為x1、x2x1＜x2;

∴x1+x2=-4-3mm;x1x2=2m-8m;

n=x2-x1-12m;且點Bm;n在x軸上;

∴x2-x1-12m=(x1+x2)2-4x2x1-.解：1∵方程x2-2m+1x+m2+5=0有兩個不相等的實數(shù)根;

∴△=-2m+12-4m2+5=8m-16＞0;解得：m＞2．

2∵原方程的兩個實數(shù)根為x1、x2;

∴x1+x2=2m+1;x1x2=m2+5．

∵m＞2;

∴x1+x2=2m+1＞0;x1x2=m2+5＞0;

∴x1＞0、x2＞0．

∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=|x1|+|x2|+2x1x2;

∴4m+12-2m2+5=2m+1+2證明：1∵△=2k+12-16k-12=2k-32≥0;

∴方程總有實根；

解：2∵兩實數(shù)根互為相反數(shù);

∴x1+x2=2k+1=0;解得k=-0.5；

3①當(dāng)b=c時;則△=0;

即2k-32=0;∴k=32;

方程可化為x2-4x+4=0;∴x1=x2=2;而b=c=2;∴b+c=4=a不適合題意舍去；

②當(dāng)b=a=4;則42-42k+1+4k-12=0;

∴k=52;

方程化為x2-6x+8=0;解得x1=4;x2=2;

∴c=2;C△ABC=10;

當(dāng)c=a=4時;同理得訓(xùn)練1.1證明：∵方程mx2-m+2x+2=0m≠0是一元二次方程;

∴△=m+22-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=m-22≥0;

∴方程總有兩個實數(shù)根；

2解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根α;β;

∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=m+2m;αβ=2m;

∵1α+1β=1;

∴m+2m2m=m+22.解：1∵方程x2-2x+m=0有兩個實數(shù)根;

∴△=-22-4m≥0;

解得m≤1；

2由兩根關(guān)系可知;x1+x2=2;x1x2=m;

解方程組x1+x2=2x1+3x2=3;

解得x1=32x2=12;

∴m=x1x2=32×12=34；

3∵x12-x22=0;

∴x1+x2x1-x2=0;∵x13.1證明：∵關(guān)于x的方程x2+m-3x-m2m-3=0的判別式△=m-32+4m2m-3=9m-12≥0;

∴無論m為何值方程都有兩個實數(shù)根；

2解：設(shè)方程的兩個實數(shù)根為x1、x2;

則x1+x2=-m-3;x1×x2=-m2m-3;

令x12+x22=26;得：x1+x22-2x1x2=m-32+2m2m-3=26;

整理;得5m2-12m-17=0;

解這個方程得;m=175或m=-1;

所以存在正數(shù)m=174.1證明：在方程x2-6x-k2=0中;△=-62-4×1×-k2=4k2+36≥36;

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．

2解：∵x1、x2為方程的兩個實數(shù)根;

∴x1+x2=6①;x1x2=-k2;

∵2x1+x2=14②;

聯(lián)立①②成方程組x1+x2=62x1+x2=14;

解之得：x5.解：1∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根;

∴△=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0;

解得：k＜512；

2∵k＜512;

∴x1+x2=2k-3＜0;

又∵x1x2=k2+1＞0;

∴x1＜0;x2＜0;

∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-x1+x2=-2k+3;

∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3;

∴-2k+3=2k2+2-3;即k2+k-2=0;

∴k1=1;k2=-2;

又∵k＜512;

6.解：1∵△=m-22-4×12m-3=m-32+3＞0;

∴無論m取什么實數(shù)值;這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

2解：x1+x2=m-2;

2x1+x2=x1+x1+x2=m+1;

∴x1=m+1+2-m=3;

把x1代入方程有：

9-3m-2+12m-3=0

解得m=7.解：1將x=3代入方程中;得：9a-1-15+4a-2=0;

解得：a=2;

∴原方程為x2-5x+6=x-2x-3=0;

解得：x1=2;x2=3．

∴a的值為2;方程的另一個根為x=2．

2結(jié)合1可知等腰