構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，我們必須善于解決問題。解決方案意味著快速發(fā)現(xiàn)擺脫困境，繞過障礙的方法。在解決問題中，通常會(huì)構(gòu)建適當(dāng)?shù)妮o助元素，并通過觀察和適當(dāng)構(gòu)建其他元素，以將必須解決的問題轉(zhuǎn)化為新元素問題，或?qū)栴}轉(zhuǎn)化為新元素之間的新組合方法，以解決問題。這種方法被稱為“結(jié)構(gòu)法”。構(gòu)造法是一種重要而靈活的思維方法,它沒有固定的模式,而需要更多的分析、類比、分解、組合、歸納、判斷、限定和推廣。構(gòu)造是深刻分析、正確思維和豐富聯(lián)想的產(chǎn)物。一些表面看來似乎難以解決的題目當(dāng)搭起新構(gòu)造的“橋”后,不僅會(huì)迎刃而解。而且常會(huì)為構(gòu)思的奇妙而拍手叫絕,嘆為觀止!構(gòu)造的巧妙之處在于不是直接去解決所給的問題,而是構(gòu)造一個(gè)與問題有關(guān)的輔助問題,引出問題并非為了它本身,而是希望通過對(duì)新的問題解決有助于原來的問題解決。如果新的問題比原來的問題更簡(jiǎn)單直觀,這種方法就可獲得成功。在運(yùn)用構(gòu)造法解題時(shí)要明確目的,即為什么目的而構(gòu)造,并且要弄清楚條件的特點(diǎn)以便重新進(jìn)行邏輯組合,巧妙地對(duì)概念進(jìn)行分析與綜合,聯(lián)想與類比。構(gòu)造法在解題過程中的思維模式可用下圖表示:構(gòu)造法解題的目的是:簡(jiǎn)化運(yùn)算量,探索最佳解,發(fā)揮創(chuàng)造性,加強(qiáng)知識(shí)間的縱橫關(guān)系,從而激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,提高分析問題和解決問題的能力。構(gòu)造法在代數(shù)中應(yīng)用是很廣泛的,下面重點(diǎn)談?wù)勗趲缀沃械膽?yīng)用。1旋轉(zhuǎn)軸非定位問題此法的基本思想是根據(jù)已知條件,構(gòu)造出與結(jié)論相關(guān)聯(lián)的方程,然后由方程的理論或解方程使問題獲解。例1:如圖2在Rt△ABC中,∠c=90°,三角形的面積為S,內(nèi)切圓的半徑為r=1,如果滿足條件的直角三角形存在,求s的取值范圍。分析:易畫出Rt△ABC的草圖,根據(jù)三角形的面積公式,可得S=ab……①題中還有一條件沒用上:“內(nèi)切圓的半徑”。自然會(huì)問:內(nèi)切圓的半徑與三角形的面積有何關(guān)系呢?我們可將原Rt△ABC分拆一下,使得r成為每個(gè)小三角形的高,不妨設(shè)內(nèi)切圓圓心為O,內(nèi)切圓與△ABC的AC、BC相切于E、F如圖3由①②可聯(lián)想到韋達(dá)定理,于是根據(jù)韋達(dá)定理及逆定理構(gòu)造方程。解:設(shè)這個(gè)直角三角形的直角邊為α、b,斜邊為c,則由韋達(dá)定理的逆定理可知:α、b是一元二次方程,即Y2-(S+1)Y+2S=0的兩根∵Y為實(shí)數(shù)∴△≥0即△=[一(S+1)2]-8S≥0化簡(jiǎn)得S2-6s+1≥0解不等式得S≤3-或S≥3+∵3-<π但S不能比內(nèi)切圓的面積小故舍去∴S≥3+(2)構(gòu)造算法例2:如圖4所示:在△ABC中,D、E為AB邊上的三等分點(diǎn)。求證:CA+CB>CD+CE分析:像這種題,我們通常是采用添加輔助線后先證明三角形全等,從而得到有關(guān)對(duì)應(yīng)線段相等,最后再證明所要證的結(jié)論。若我們換一個(gè)思路,用旋轉(zhuǎn)一定的觀點(diǎn),平面幾何的旋轉(zhuǎn)是以某點(diǎn)為中心,將一己知圖形按一定方面(順時(shí)針或逆時(shí)針)旋轉(zhuǎn)的角度到達(dá)一個(gè)新的位置。由于旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形中的對(duì)應(yīng)元素(角、邊)相等,這樣就可以將圖形中的角、線段等較為集中,使之溝通,從而使證明較直觀、簡(jiǎn)潔。解:取AB的中點(diǎn)M,連結(jié)CM,將△BMC繞M點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°,則B點(diǎn)與A點(diǎn)重合,E點(diǎn)與D點(diǎn)重合,C點(diǎn)到達(dá)它關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的位置N,如圖5,連結(jié)DN,延長(zhǎng)CD交AN于F,顯然有CB=AN,CE=DN(3)構(gòu)造復(fù)數(shù)解題例3:如圖6以△ABC的兩邊為邊向外作正方形ABDE及ACFG,求證:△ABC的高AO平分EG。證明:以BC為實(shí)軸,O為原點(diǎn)建立復(fù)平面,設(shè)A、B、C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為ai,b,c(α,b,c∈R),將繞A作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得∴點(diǎn)E所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為一α+(α-b)i,同理可得G點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為α+(α+c)i∴EG中點(diǎn)H點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)∴在虛軸上∴高AO必在虛軸上∴AO平分EG2結(jié)論不真的例外為了說明一個(gè)例題不真時(shí),只須構(gòu)造一個(gè)符合命題而結(jié)論不真的特例。例4:命題:若α⊥l,b⊥l,則α//b。此命題在平面幾何中是真命題,在空間圖形中是否仍成立呢?分析:一般要說明命題不真時(shí),我們常會(huì)想用理論證明。這固然好,但有些命題在某些領(lǐng)域不是恒成立或恒不成立的,對(duì)于這種情況要想說明其不真時(shí),只須構(gòu)造一個(gè)符合命題條件而結(jié)論不真的特例。解:構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體,如圖7,滿足條件α⊥c,b⊥l,但結(jié)論α與b不平行∴該命題在空間圖形中不成立。(2)構(gòu)造圖形在解立體幾何習(xí)題時(shí),在第一步就經(jīng)常產(chǎn)生困難。為了給出相應(yīng)的圖形,必須具有很好的空間想象力。如果涉及的是我們?nèi)粘Ｉ钪杏龅降膸缀误w(立方體、球體、圓柱、平行六面體)等,這些對(duì)象是容易想象的,描繪它們也是簡(jiǎn)單的,但有些圖形要描繪則是相當(dāng)困難的,例如:異面直線或者空間直線與平面的總體,并沒有簡(jiǎn)單表示,只能依靠做平面圖形幫助解題,但在許多情況下,存在著一種可能克服困難的方法,它是基于這種設(shè)想,如果空間的構(gòu)形難于理解,并且它沒有與具體的幾何體聯(lián)系,那么力求人為地把它同某個(gè)幾何體、物體聯(lián)系起來。例5:兩直線在同一平面內(nèi)的射影有哪幾種情況?分析:構(gòu)造正方體ABCD—A1B1C1D1,利用這一幾何模型來考慮圖形的各種可能性及判斷命題的真假性是很方便的。如圖8解:兩直線在同一平面內(nèi)的射影可能為兩相交直線、兩平行直線、一直線、一直線與直線外一點(diǎn)、兩點(diǎn)共五種情況。(本例的五種情況在這模型中均有所體現(xiàn))3x軸切圓的構(gòu)造例6在平面直角坐標(biāo)系中,在y的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)除外)給定兩點(diǎn)A(o,α),B(o,bb),試在x軸正半軸上原點(diǎn)以外的點(diǎn)中找一點(diǎn)C(1)使∠ACB最大(2)求∠ACB最大值是多少?分析:依題意,已知點(diǎn)A、B,要在x軸上找一點(diǎn)C,即已知三點(diǎn),不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓.所以我們?cè)囅霕?gòu)造一個(gè)圓:通過A、B兩點(diǎn),并與x軸相切,那么切點(diǎn)C就可能為所求。解:①如圖9,構(gòu)造一個(gè)通過A、B,且與x軸相切的圓,切點(diǎn)為D,下證切點(diǎn)D即為所求的點(diǎn)C,假設(shè)C不在D處∵按題意要求C在x軸正半軸上∴C可能在O、D之間,不妨設(shè)為C1,連結(jié)BC1,交圓周于F點(diǎn),連結(jié)AF,則∠AFB=∠ADB但∠AFB為△AGF的外角∴∠AFB>∠AGB即∠ADB>∠AGB∴點(diǎn)C不在O、D之間同理點(diǎn)C也不可能在D的右邊(x軸上)∴點(diǎn)C在D處(即點(diǎn)C為圓與x軸的切點(diǎn)),此時(shí)∠ACB最大②設(shè)