第五章線性定常系統(tǒng)的綜合

第5章線性定常系統(tǒng)的綜合分析：已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)及外輸入作用，研究系統(tǒng)運(yùn)動的定量的變化規(guī)律（系統(tǒng)響應(yīng)）和定性行為（能控性、能觀性和穩(wěn)定性等）。綜合：已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)以及所期望的性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)控制器，尋求改善系統(tǒng)性能的各種控制規(guī)律。常規(guī)綜合：使系統(tǒng)性能滿足某種籠統(tǒng)指標(biāo)要求，既非優(yōu)化性能指標(biāo)；最優(yōu)綜合：確保系統(tǒng)性能指標(biāo)在某種意義下達(dá)到最優(yōu)，即優(yōu)化性能指標(biāo)。狀態(tài)反饋定義：

將系統(tǒng)的每一狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，反饋到控制對象的輸入部分。目的：極點(diǎn)的任意配置。結(jié)構(gòu)圖：狀態(tài)反饋 線性定常系統(tǒng)為 狀態(tài)線性反饋控制律u為

v—參考輸入

K—狀態(tài)反饋增益陣 得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

若D=0，則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式簡記為∑k=[(A+BK)，B，C]。 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

Wk(s)=C[sI-(A+BK)]-1B狀態(tài)反饋陣K的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)可通過K的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能輸出反饋定義：將系統(tǒng)的輸出乘以相應(yīng)的系數(shù)，反饋到控制對象的輸入部分。結(jié)構(gòu)圖： 輸出線性反饋控制律為 式中H—輸出反饋增益陣 若D=0，則 簡記∑H=[(A+BHC)，B，C]。輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

WH(s)=C[sI-(A+BHC)]-1B輸出反饋狀態(tài)反饋與輸出反饋比較輸出反饋中的HC與狀態(tài)反饋中的K相當(dāng)由于m<n，所以H可供選擇的自由度小于K，因而輸出反饋只能相當(dāng)于一種部分反饋只有當(dāng)C=I時，HC=K，才能等同于全狀態(tài)反饋輸出反饋的效果不如狀態(tài)反饋系統(tǒng)好，但輸出反饋在技術(shù)實(shí)現(xiàn)上的方便性則是其突出優(yōu)點(diǎn)線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)反饋 設(shè)受控系統(tǒng)為 加入從輸出y到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)的反饋增益陣G，得閉環(huán)系統(tǒng) 整理得 ∑G=[(A+GC)，B，C]的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

WG(s)=C[sI-(A+GC)]-1B反饋基本結(jié)構(gòu)的共同特點(diǎn)不增加新的狀態(tài)變量系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)同維反饋增益陣都是常數(shù)矩陣反饋為線性反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性定理狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)∑o=(A，B，C)的能控性，但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。定理輸出反饋不改變受控系統(tǒng)∑o=(A，B，C)的能控性和能觀性。例：一系統(tǒng)判斷當(dāng)K＝[1，0]或[1/2,0]時的能控性和能觀性解：開環(huán)開環(huán)能控開環(huán)能觀閉環(huán)當(dāng)能控不能觀當(dāng)能控能觀結(jié)論：開環(huán)能控，狀態(tài)反饋后一定能控。開環(huán)能觀，狀態(tài)反饋后不一定能觀。狀態(tài)反饋系數(shù)不同時，狀態(tài)反饋下的能觀性可能發(fā)生變化。極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)設(shè)控制系統(tǒng)為選取控制信號為得到方程解為極點(diǎn)配置問題：就是通過選擇反饋增益矩陣，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在根平面上所期望的位置上，以獲得所希望的動態(tài)性能。極點(diǎn)配置問題采用狀態(tài)反饋

定理采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)∑o=(A，b，c)任意配置極點(diǎn)的充要條件是∑o完全能控。 ①由能控標(biāo)準(zhǔn)型做狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)

第一步：計(jì)算A的特征多項(xiàng)式，即 第二步：計(jì)算由 所決定的多項(xiàng)式，即 第三步：計(jì)算 第四步：計(jì)算證明充分條件討論選擇期望極點(diǎn)，一般應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：對一個n維系統(tǒng)，必須指定n個實(shí)極點(diǎn)或共軛復(fù)極點(diǎn)極點(diǎn)位置的確定，要充分考慮它們對系統(tǒng)性能的主導(dǎo)影響及其與系統(tǒng)零點(diǎn)分布狀況的關(guān)系對于單輸入系統(tǒng)，只要系統(tǒng)能控必能通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置，而且不影響原系統(tǒng)零點(diǎn)的分布；如果造成零極點(diǎn)對消，則閉環(huán)系統(tǒng)不完全能觀上述原理同樣適用于多輸入系統(tǒng)例：已知一系統(tǒng)其能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間表達(dá)式為：設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋：系統(tǒng)方塊圖-3-2②普通型的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)

首先確認(rèn)系統(tǒng)能控列出以下特征根方程：對比系數(shù)即可求得k例:一系統(tǒng)設(shè)求由已知條件則得到二元一次方程組：極點(diǎn)配置問題采用輸出反饋

定理對完全能控的單輸入-單輸出系統(tǒng)∑o=(A，b，c)，不能采用輸出線性反饋來實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置。

定理對完全能控的單輸入-單輸出系統(tǒng)∑o=(A，b，c)，通過帶動態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置的充要條件是：∑o完全能觀動態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為n-1極點(diǎn)配置問題采用從輸出到 反饋

定理對系統(tǒng)∑o=(A，b，c)采用從輸出到 的線性反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是∑o完全能觀。

極點(diǎn)配置問題的算法

第一步：計(jì)算A的特征多項(xiàng)式，即 第二步：計(jì)算由 所決定的多項(xiàng)式，即 第三步：計(jì)算 第四步：計(jì)算系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題：對受控系統(tǒng)∑o=(A，B，C)通過反饋使其極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，保證系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。定理對系統(tǒng)∑o=(A，B，C)采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。定理系統(tǒng)∑o=(A，B，C)通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是∑o結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。定理對系統(tǒng)∑o=(A，B，C)采用到

反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定的充要條件是∑o的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。系統(tǒng)解耦問題

設(shè)∑o=(A，B，C)是一個m維輸入，m維輸出的受控系統(tǒng)，即

若其傳遞函數(shù)陣

是一個對角形有理多項(xiàng)式矩陣，則稱該系統(tǒng)是解耦的。

尋求適當(dāng)?shù)目刂坡桑馆斎胼敵鱿嗷リP(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)每一個輸出僅受相應(yīng)的一個輸入所控制，每一個輸入也僅能控制相應(yīng)的一個輸出。系統(tǒng)解耦問題解決解耦問題，必須回答兩方面問題：確定系統(tǒng)能夠被解耦的充要條件，即能解耦的判別問題；確定解耦控制律和解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，即解耦系統(tǒng)的具體綜合問題實(shí)現(xiàn)解耦的兩種方法：前饋補(bǔ)償器解耦狀態(tài)反饋解耦前饋補(bǔ)償器解耦

W(s)=W0(s)Wd(s)

式中 只要W0-1(s)存在，則串聯(lián)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)陣為

Wd(s)=W0-1(s)W(s)狀態(tài)反饋解耦 三個基本假定輸入、輸出具有相同變量個數(shù)控制律采用狀態(tài)反饋結(jié)合輸入變換u=Kx+Fv輸入變換陣F非奇異

定義幾個特征量定義di，滿足不等式 的一個最小整數(shù)l。根據(jù)di定義下列矩陣狀態(tài)反饋解耦

能解耦性判據(jù)

定理受控系統(tǒng)∑o=(A，B，C)采用狀態(tài)反饋能解耦的充要條件是m×m維矩陣E為非奇異。即狀態(tài)反饋解耦

積分型解耦系統(tǒng)

定理若系統(tǒng)∑o=(A，B，C)是狀態(tài)反饋能解耦的，則閉環(huán)系統(tǒng)∑p=(Ap，Bp，Cp)

是一個積分型解耦系統(tǒng)。其中狀態(tài)反饋矩陣為K=-E-1L，輸入變換陣為F=E-1，閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為狀態(tài)觀測器

狀態(tài)重構(gòu)問題：重新構(gòu)造一個系統(tǒng)，利用原系統(tǒng)中可直接測量的變量如輸入向量和輸出向量作為它的輸入信號，并使其輸出信號 在一定的提法下等價(jià)于原系統(tǒng)的狀態(tài) ，稱 為 的重構(gòu)狀態(tài)或估計(jì)狀態(tài)，而稱這個用以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的系統(tǒng)為觀測器。 與 的等價(jià)性（漸近等價(jià)）：狀態(tài)觀測器定義

設(shè)線性定常系統(tǒng)∑o=(A，B，C)狀態(tài)矢量x不能直接測量，如果動態(tài)系統(tǒng) 以∑o的輸入u和輸出y作為其輸入量，能產(chǎn)生一組輸出量 漸近于，即 ，則稱為∑o的一個觀測器。 構(gòu)造觀測器的原則：觀則器 應(yīng)以∑o的輸入u和輸出y為其輸入量為滿足 ，∑o必須完全能觀，或其不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定有足夠?qū)掝l帶結(jié)構(gòu)上盡量簡單狀態(tài)觀測器存在性

定理對線性定常系統(tǒng)∑o=(A，B，C)，狀態(tài)觀測器存在的充要條件是的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。

定理若線性定常系統(tǒng)∑o=(A，B，C)完全能觀，則其狀態(tài)矢量x可由輸出y和輸入u進(jìn)行重構(gòu)。狀態(tài)觀測器的實(shí)現(xiàn)全維觀測器當(dāng)n維狀態(tài)變量全部由觀測器獲得，則該觀測器為全維狀態(tài)觀測器。設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為Σ(A,B,C)，即問題：若狀態(tài)變量x(t)不能完全直接測量到，如何構(gòu)造一個系統(tǒng)隨時估計(jì)該狀態(tài)變量x(t)？對此問題一個直觀想法是：利用仿真技術(shù)來構(gòu)造一個和被控系統(tǒng)有同樣動力學(xué)性質(zhì)(即有同樣的系數(shù)矩陣A、B和C)的如下系統(tǒng)來重構(gòu)被控系統(tǒng)的狀態(tài)變量:其中為被控系統(tǒng)狀態(tài)變量x(t)的估計(jì)值。已知系統(tǒng)：擬構(gòu)建系統(tǒng)：方塊圖：被控對象動態(tài)方程：模擬系統(tǒng)模型：比較系統(tǒng)和的狀態(tài)變量，有則狀態(tài)估計(jì)誤差的解為：顯然，當(dāng)時，則有，即觀測值與真實(shí)值完全相等。但，一般情況下是很難做到這一點(diǎn)的。如何讓構(gòu)建的系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)接近或一致？觀察一下：

該觀測器只利用了被控系統(tǒng)輸入信息u(t)，而未利用輸出信息y(t)，其相當(dāng)于處于開環(huán)狀態(tài)，未利用輸出y(t)的觀測誤差或?qū)顟B(tài)觀測值進(jìn)行校正。

即，由觀測器得到值的只是x(t)的一種開環(huán)估計(jì)值，一旦觀測值出現(xiàn)偏差，不能予以糾偏。引出思路：輸出差值反饋根據(jù)反饋控制原理：有差值存在用來調(diào)節(jié)觀測值，使引入輸出誤差反饋矩陣G分析狀態(tài)估計(jì)誤差是否能趨于零：先定義如下狀態(tài)估計(jì)誤差:由方塊圖，有：上述誤差方程的解為：顯然：當(dāng)狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣A-GC的所有特征值位于s平面的左半開平面,即具有負(fù)實(shí)部,則無論等于x(0)否,狀態(tài)估計(jì)誤差將隨時間t趨于無窮而衰減至零,觀測器為漸近穩(wěn)定的。因此,狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為求反饋矩陣G，使A-GC的所有特征值具有負(fù)實(shí)部及所期望的衰減速度，即狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)是否可任意配置問題。定理：狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)可以任意配置（即通過矩陣G任意配置A-GC的特征值）的充要條件為矩陣對(A,C)能觀。全維狀態(tài)觀測器方程為：討論：①從設(shè)計(jì)結(jié)果看，觀測器的輸入（源信號）是什么？②哪個矩陣影響觀測器的動態(tài)性能,G或A-GC?全維觀測器方塊圖為：全維觀測器設(shè)計(jì)步驟1、確定系統(tǒng)能觀2、設(shè)

得到3、求4、理想極點(diǎn)下的特征方程5、比較兩特征方程，得到方程組，求得G例：有一線性定常系統(tǒng)其中，試設(shè)計(jì)一個全維狀態(tài)觀測器，取觀測器的極點(diǎn)為解：先檢驗(yàn)系統(tǒng)是否能觀。檢查能觀判別陣秩為2。故系統(tǒng)能觀。觀測器的特征方程為則特征方程為:期望極點(diǎn)的特征方程為:比較上面兩個特征方程，其同次冪的系數(shù)相等，則有狀態(tài)觀測器為降維觀測器由輸出方程可知，狀態(tài)變量的部分信息可直接由輸出變量的測量值提供。如在特殊形式的輸出方程中,狀態(tài)變量向量x2即為輸出變量y，故該系統(tǒng)只要僅對x1設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器即可，對x2就沒有必要再設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器。因此,所設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測器的維數(shù)就少于狀態(tài)變量的維數(shù)n。該類狀態(tài)觀測器稱為降維狀態(tài)觀測器。降維觀測器設(shè)計(jì)步驟通過線性變換把狀態(tài)按能檢測性分解成和，其中（n-m）維需要重構(gòu)，而m維可由y直接獲得；對構(gòu)造（n-m）維觀測器。設(shè)系統(tǒng)能觀，且rankC=m,則必存在線性變換使：其中變換矩陣Tn-m維m維n-m維m維m維式中，C0為保證T為非奇異的任意(n-m)*n維矩陣。經(jīng)過變換后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式變?yōu)椋阂褱y狀態(tài)待測狀態(tài)系統(tǒng)分解結(jié)構(gòu)圖待觀測子系統(tǒng)方程其中視作子系統(tǒng)輸入視作子系統(tǒng)輸出參照全維狀態(tài)觀測器方程，可得降維觀測器方程:把M、z代入可得：為了消去，引入變量：降維觀測器方程變?yōu)椋豪脿顟B(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)（1）在狀態(tài)反饋系統(tǒng)中，用狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行狀態(tài)反饋是否要重新計(jì)算狀態(tài)反饋增益矩陣K？（2）當(dāng)觀測器被引入系統(tǒng)后，狀態(tài)反饋部分會改變已經(jīng)設(shè)計(jì)好的觀測器的極點(diǎn)配置？（3）利用觀測器進(jìn)行狀態(tài)估值反饋的系統(tǒng)，與狀態(tài)直接反饋系統(tǒng)之間有何異同？系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)空間表達(dá)式

設(shè)能控能觀的受控系統(tǒng)∑o=(A，B，C)狀態(tài)觀測器∑G為

反饋控制律為 ，得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式矩陣形式帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)圖閉環(huán)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)計(jì)的分離性 閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)包括∑o直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)