專題24.2垂直于弦的直徑（限時(shí)滿分培優(yōu)訓(xùn)練）-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專題24.2垂直于弦的直徑（限時(shí)滿分培優(yōu)訓(xùn)練）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）下列說法正確的是（）A．半圓是弧，弧也是半圓 B．長度相等的兩條弧是等弧 C．平分弦的直徑垂直于弦 D．直徑是同一圓中最長的弦【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理、等弧的定義及圓的有關(guān)性質(zhì)判斷求解即可．【解答】解：半圓是弧，弧不一定是半圓，故A不符合題意；同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故B不符合題意；平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，C不符合題意；直徑是同一圓中最長的弦，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，等弧等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理、等弧的定義及圓的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（）?A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】連接OA，如圖，先根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理計(jì)算出OA即可．【解答】解：連接OA，如圖，∵CD⊥AB，∴AE＝BE=12AB=12在Rt△OAE中，OA=OE即⊙O半徑為10．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?．（2023?大連模擬）如圖所示，在⊙O中，直徑AB＝10，弦DE⊥AB于點(diǎn)C，連接DO．若OC：OB＝3：5，則DE的長為（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)題意求出OC，根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)垂徑定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵AB＝10，∴OA＝OB＝5，∵OC：OB＝3：5，∴OC＝3，在Rt△OCD中，CD=OD∵DE⊥AB，∴DE＝2CD＝8，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．4．（2023?長沙模擬）如圖，AB為⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上，BP＝9，AP＝3，點(diǎn)O到AB的C距離為5，則OP長為（）A．7 B．8 C．34 D．41【答案】C【分析】過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，根據(jù)BP＝9，AP＝3，點(diǎn)O到AB的距離為3，得到AB＝12，AC＝BC＝6，OC＝3，從而得到PC＝AC﹣PA＝3，根據(jù)勾股定理，得OP=O【解答】解：過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，∵BP＝9，AP＝3，點(diǎn)O到AB的距離為5，∴AB＝12，OC＝5，∴AC＝BC＝6，∴PC＝AC﹣PA＝6﹣3＝3，∴OP=O故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023?咸豐縣一模）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF＝CD＝4cm，則球的半徑長是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】取EF的中點(diǎn)M，作MN⊥AD于點(diǎn)M，取MN上的球心O，連接OF，設(shè)OF＝x，則OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的長即可．【解答】解：EF的中點(diǎn)M，作MN⊥AD于點(diǎn)M，取MN上的球心O，連接OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，設(shè)OF＝x，則ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主考查垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2022?鄞州區(qū)模擬）如圖，AB、AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M、N，如果MN＝3，那么BC＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由于OM⊥AB，ON⊥AC，根據(jù)垂徑定理得到AN＝CN，AM＝BM，則MN為△ABC的中位線，然后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求解．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴AN＝CN，AM＝BM，即M為AB的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，∴MN為△ABC的中位線，∴MN=12∴BC＝2MN＝6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱巳切沃形痪€性質(zhì)．7．（2022秋?沂南縣期末）如圖所示一個(gè)圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面AB在圓心O下方，若⊙O的直徑為26cm，水面寬AB＝24cm，則水的最大深度為（）A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm【答案】C【分析】連接OB，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，先由垂徑定理求出BD的長，再根據(jù)勾股定理求出OD的長，進(jìn)而得出CD的長即可．【解答】解：連接OB，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，如圖所示：∵AB＝24cm，∴BD=12AB＝12（∵⊙O的直徑為26cm，∴OB＝OC＝13（cm），在Rt△OBD中，OD=OB2-B∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），即水的最大深度為8cm，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．8．（2023?廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）A．20m B．28m C．35m D．40m【答案】B【分析】設(shè)主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理得到AD=37【解答】解：由題意可知，AB＝37m，CD＝7m，設(shè)主橋拱半徑為Rm，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半徑，OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB=在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（372）2+（R﹣7）2＝R2解得R=156556故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用，涉及勾股定理，解題的關(guān)鍵是用勾股定理列出關(guān)于R的方程解決問題．9．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）⊙O半徑為5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，則AB與CD間的距離為（）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過O點(diǎn)作OE⊥AB，E為垂足，交CD與F，連OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得AE＝3，CF＝4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分別利用勾股定理求出OE，OF，然后討論：當(dāng)圓O點(diǎn)在AB、CD之間，AB與CD之間的距離＝OE+OF；當(dāng)圓O點(diǎn)不在AB、CD之間，AB與CD之間的距離＝OE﹣OF．【解答】解：過O點(diǎn)作OE⊥AB，E為垂足，交CD與F，連OA，OC，如圖，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE，CF＝DF，而AB＝6，CD＝8，∴AE＝3，CF＝4，在Rt△OAE中，OA＝5，OE=OA2在Rt△OCF中，OC＝5，OF=OC2當(dāng)圓O點(diǎn)在AB、CD之間，AB與CD之間的距離＝OE+OF＝7；當(dāng)圓O點(diǎn)不在AB、CD之間，AB與CD之間的距離＝OE﹣OF＝1；所以AB與CD之間的距離為7或1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧．也考查了勾股定理以及分類討論的思想的運(yùn)用．10．（2022?寧波三模）已知⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝8cm，則AC的長為（）A．25cm B．43cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm【答案】C【分析】分兩種情況，根據(jù)題意畫出圖形，先根據(jù)垂徑定理求出AM的長，連接OA，由勾股定理求出OM的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：連接AC，AO，∵⊙O的直徑CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM=12AB=12×8＝4（cm），OD＝OC當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM=OA2-A∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC=AM2+CM當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得：OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC=AM2+CM綜上所述，AC的長為45cm或25cm，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意畫出圖形，利用垂徑定理和勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）11．（2022秋?岱岳區(qū)期末）如圖，在⊙O中，OC⊥AB于點(diǎn)C，若⊙O的半徑為10，AB＝16，則OC的長為6．【答案】6．【分析】連接OA，利用垂徑定理，勾股定理求解即可．【解答】解：如圖，連接OA．∵OC⊥AB，∴AC＝CB=12AB＝∵OA＝10，∠ACO＝90°，∴OC=OA故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．12．（2023?長沙模擬）興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，高度CD為4m．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)圖可知OC⊥AB，由垂徑定理可知∠ADO＝90°，AD=12AB＝8，在Rt△AOD中，利用勾股定理可求OD，進(jìn)而可求【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，AD=12AB＝在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，∴OD=102∴CD＝10﹣6＝4（m）．故答案是4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理，解題的關(guān)鍵是先求出OD．13．（2023?谷城縣二模）⊙O的半徑為13cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm．則AB和CD之間的距離7cm或17cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，連接OA、OC，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OF⊥CD，再利用垂徑定理得到AE=12AB＝12，CF=12CD＝5，接著根據(jù)勾股定理，在Rt△OAE中計(jì)算出OE＝5，在Rt△OCF中計(jì)算出OF＝12，然后分類討論：當(dāng)圓心O在AB與CD之間時(shí)，EF＝OF+OE；當(dāng)圓心O不在AB與CD之間時(shí)，EF＝【解答】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，連接OA、OC，如圖，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE=12AB＝12，CF＝DF=12在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12，∴OE=OA在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5，∴OF=OC當(dāng)圓心O在AB與CD之間時(shí)，EF＝OF+OE＝12+5＝17；當(dāng)圓心O不在AB與CD之間時(shí)，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；即AB和CD之間的距離為7cm或17cm．故答案為7cm或17cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚畬W(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．14．（2023春?樂清市月考）如圖1，是某隧道的入口，它的截面如圖2所示，是由APD和矩形ABCD組成，且點(diǎn)B，?C也在APD所在的圓上，已知AB＝4m，M是BC的中點(diǎn)，此時(shí)隧道的最高點(diǎn)P離地面BC的距離MP＝8m，則該道路的路面寬BC＝82m；在APD上，離地面相同高度的兩點(diǎn)E，F(xiàn)裝有兩排照明燈，若點(diǎn)E是AP的中點(diǎn)，則這兩排照明燈離地面的高度是（26+2）m【答案】82m、（26+2）m【分析】連接PM，作AB的垂直平分線OG，交PM于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)G，則點(diǎn)O是圓心，連接OB，可得半徑，在利用勾股定理求BM即可；連接PA、OE交于點(diǎn)N，作AH⊥PM于點(diǎn)H，EQ⊥BC于點(diǎn)Q，交OG于點(diǎn)K，用勾股定理求出AP，進(jìn)而可求ON，在證明△EOK≌△OPN即可．【解答】解：連接PM，作AB的垂直平分線OG，交PM于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)G，則點(diǎn)O是圓心，連接OB，∴OM＝BG=12AB＝2∵M(jìn)P＝8m，∴圓的半徑為8﹣2＝6m，∴BM=O∴BC＝2BM＝82m，連接PA、OE交于點(diǎn)N，作AH⊥PM于點(diǎn)H，EQ⊥BC于點(diǎn)Q，交OG于點(diǎn)K，∵M(jìn)P＝8m，MH＝AB＝4m，∴PH＝8﹣4＝4m，∵AH＝BM＝42m，∴PA=AH∵E是AP的中點(diǎn)，∴OE垂直平分AP，∴PN=12AP＝23∴ON=OP∵EQ⊥BC，PM⊥BC，∴EQ∥PM，∴∠OEK＝∠EOP，在△EOK和△OPN中，∠OEK=∠PON∠EKO=∠ONP=90°∴△EOK≌△OPN（AAS），∴EK＝ON＝26m，∴EQ＝EK+KQ＝（26+2）m故答案為：82m、（26+2）m【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，三角形求得的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2022?柯橋區(qū)一模）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中卷九中記載了一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意思是：如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直徑AB的長為多少寸？（注：1尺＝10寸）根據(jù)題意，該圓的直徑為26寸．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接OC，由直徑AB與弦CD垂直，根據(jù)垂徑定理得到E為CD的中點(diǎn)，由CD的長求出DE的長，設(shè)OC＝OA＝x寸，則AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑，即可得出直徑AB的長．【解答】解：連接OC，∵弦CD⊥AB，AB為圓O的直徑，∴E為CD的中點(diǎn)，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝設(shè)OC＝OA＝x寸，則AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直徑AB的長為26寸，故答案為：26．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，勾股定理；解答此類題常常利用垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長的一半，弦心距及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．16．（2022?旌陽區(qū)校級(jí)模擬）某隧道口橫截面如圖所示，上部分是圓弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高點(diǎn)E與DC的距離EF為4米，且弧DC所在圓的半徑為10米，則路面AB的寬度為16米．【答案】16．【分析】在Rt△CFO中利用勾股定理求出CF的長，再由垂徑定理求出AB＝CD＝2CF即可得出答案；【解答】解：設(shè)圓弧形所在圓的圓心為O，由題意可知，點(diǎn)O在EF的延長線上，連接OC，∵OE⊥CD，∴∠CFO＝90°，CF＝DF，在Rt△CFO中，OC＝10，OF＝OE﹣EF＝10﹣4＝6，∴CF=OC∴AB＝CD＝2CF＝16，即路面AB的寬度為16米．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）17．（2022秋?青山湖區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm，CB＝20cm，以CA為半徑的⊙C交AB于D，求AD的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，過C作CM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，由垂徑定理可知M為AD的中點(diǎn)，由三角形的面積可求出CM的長，在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理可求出AM的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB=AC過C作CM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，如圖所示，∵CM⊥AB，∴M為AD的中點(diǎn)，∵S△ABC=12AC?BC=12AB?CM，且AC＝15，BC＝20，∴CM=15×2025在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即225＝AM2+144，解得：AM＝9，∴AD＝2AM＝18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．18．（2022秋?建湖縣校級(jí)月考）如圖，AB、CD是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別為M、N，且∠AMN＝∠CNM．（1）OM與ON相等嗎？為什么？（2）判斷AB與CD是否相等，并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）首先根據(jù)等角的余角相等可得∠OMN＝∠ONM，再由等角對(duì)等邊可得ON＝OM；（2）連接OA，OC，先根據(jù)垂徑定理得出AM=12AB，CN=12CD，再由OM＝ON，OA＝OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故【解答】解：（1）MO＝NO，∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠AMO＝∠CNO＝90°，∵∠AMN＝∠CNM，∴∠OMN＝∠ONM，∴MO＝NO；（2）連接OA，OC，∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=12AB，CN=12CD，∠AMO＝∠在Rt△AOM與Rt△CON中，MO=NOAO=CO∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），∴AM＝CN，∴AB＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．19．（2022秋?九龍坡區(qū)期末）如圖是正在修建的某大門上半部分的截面，其為圓弧型，跨度CD（弧所對(duì)的弦）的長為3.2米，拱高AB（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為0.8米．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在修建中，在距大門邊框的一端（點(diǎn)D）0.4米處將豎立支撐桿HG，求支撐桿HG的高度．【答案】（1）2米；（2）0.4米．【分析】（1）利用垂徑定理得到圓心O在BA的延長線上，CA＝DA＝1.6，連接OC、OG，過G點(diǎn)作GE⊥OB于E點(diǎn)，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r米，則OA＝（r﹣0.8）米，在Rt△OAC中利用勾股定理得到1.62+（r﹣0.8）2＝r2，然后解方程即可；（2）過G點(diǎn)作GE⊥AB于E點(diǎn)，如圖，先證明四邊形AHGE為矩形得到AE＝GH，GE＝AH＝1.2米，再在Rt△OEG中利用勾股定理計(jì)算出OE＝1.6米，然后計(jì)算AE的長，從而得到支撐桿HG的高度．【解答】解：（1）∵AB垂直平分CD，∴圓心O在BA的延長線上，連接OC、OG，過G點(diǎn)作GE⊥OB于E點(diǎn)，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r米，則OA＝（r﹣0.8）米，∵OB⊥CD，∴CA＝DA=12CD=12在Rt△OAC中，1.62+（r﹣0.8）2＝r2，解得r＝2，即該圓弧所在圓的半徑為2米；（2）過G點(diǎn)作GE⊥AB于E點(diǎn)，如圖，∵DH＝0.4米，∴AH＝AD﹣DH＝1.2米，∵∠GEA＝∠EAH＝∠GHA＝90°，∴四邊形AHGE為矩形，∴AE＝GH，GE＝AH＝1.2米，在Rt△OEG中，OE=OG∵OA＝OB﹣AB＝2﹣0.8＝1.2（米），∴AE＝OE﹣OA＝1.6﹣1.2＝0.4（米），∴GH＝0.4米．即支撐桿HG的高度為0.4米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用：運(yùn)用垂徑定理和勾股定理，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題．20．（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在⊙O中，AB、AD為弦，CD為直徑，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN與CD相交于Q．（1）求證：BQ＝BC；（2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）256【分析】（1）根據(jù)CD⊥AB，BN⊥AD，所以∠BNA＝∠BMQ＝90°，可得∠BQM＝∠A，利用圓周角定理得∠C＝∠A，所以∠C＝∠BQM，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)圓心為O，連接BO，設(shè)BO＝r，則OM＝r﹣3，利用勾股定理得BM＝4和42+（r﹣3）2＝r2，即可求出半徑．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，∴∠BNA＝∠BMQ＝90°，∵∠ABN＝∠ABN，∴∠BQM＝∠A，∵BD=∴∠C＝∠A，∴∠C＝∠BQM，∴BQ＝BC；（2）解：由（1）得BC＝BQ＝5，∠BMC＝∠BMO＝90°∴在Rt△BMC中，BM=B設(shè)圓心為O，連接BO，設(shè)BO＝r，則OM＝r﹣3，∴在Rt△BMO中，BM2+OM2＝OB2，即42+（r﹣3）2＝r2，解得：r=25即⊙O的半徑為256【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的應(yīng)用．21．（2023?高州市一模）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言可表達(dá)為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長為多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，由AB＝10可求出AE的長，再設(shè)出圓的半徑OA為x，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．【解答】解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，設(shè)圓O的半徑OA的長為x，則OC＝OD＝x∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了學(xué)生對(duì)垂徑定理的運(yùn)用與掌握，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形來解決實(shí)際問題，做此類題時(shí)要多觀察，多分析，才能發(fā)現(xiàn)線段之間的聯(lián)系．22．（2022?安徽模擬）如圖，⊙O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)E．（1）OM⊥CD于點(diǎn)M，CD＝24，⊙O的半徑長為410，求OM的長．（2）點(diǎn)G在BD上，且AG⊥BD交CD于點(diǎn)F，求證：CE＝EF．【答案】（1）4；（2）見解析．【分析】（1）連接OD，由垂徑定理和勾股定理可得答案；（2）連接AC，由垂直的定義及等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】（1）解：如圖，連接OD，∵OM⊥CD，OM過圓心，CD＝24，∴DM＝CM=