專題1.2 與三角形有關(guān)角的幾何綜合（壓軸題專項(xiàng)講練）（浙教版）（解析版）

專題1.2與三角形有關(guān)角的幾何綜合【典例1】【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B=∠C+∠D．【簡單應(yīng)用】（可直接使用問題（1）中的結(jié)論）（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，①若∠ABC=28°，∠ADC=20°，求∠P的度數(shù)；②∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試直接寫出∠P與∠D、∠B之間數(shù)量關(guān)系．【問題探究】（3）如圖3，直線BP平分∠ABC的鄰補(bǔ)角∠FBC，DP平分∠ADC的鄰補(bǔ)角∠ADE，①若∠A=30°，∠C=18°，則∠P的度數(shù)為___________；②∠A和∠C為任意角時(shí)，其他條件不變，試直接寫出∠P與∠A、∠C之間數(shù)量關(guān)系．【拓展延伸】（4）在圖4中，若設(shè)∠C=x，∠B=y，∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為___________；（用（5）在圖5中，直線BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P與∠C、∠A的關(guān)系，直接寫出結(jié)論___________．【思路點(diǎn)撥】（1）利用三角形內(nèi)角和定理解決問題即可；（2）①設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中結(jié)論，構(gòu)建方程組即可解決問題；②由①的結(jié)論即可得到數(shù)量關(guān)系；（3）①如圖3中，設(shè)∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中結(jié)論，構(gòu)建方程組即可解決問題；②與（3）中①相同；（4）如圖4中，設(shè)∠CAP=α，∠CDP=β，則∠PAB=3α，∠PDB=3β，利用（1）中結(jié)論，構(gòu)建方程組即可解決問題；（5）如圖5中，延長AB交PD于J，設(shè)∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中結(jié)論，構(gòu)建共線時(shí)即可解決問題．【解題過程】（1）解：如圖1中，∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：①如圖2中，設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，則有x+∠B=y+∠Px+∠P=y+∠D∴∠B-∠P=∠P-∠D，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=1②由①得：2∠P=∠B+∠D；（3）解：①如圖3中，設(shè)∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y，則有，∠P+x=∠A+y∠A+180°-2x=∠C+180°-2y∴2∠P=∠A+∠C，∴∠P=1故答案為：24°；②設(shè)∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y則有∠P+x=∠A+y∠A+180-2x=∠C+180-2y∴2∠P=∠A+∠C；（4）解：如圖4中，設(shè)∠CAP=α，∠CDP=β，則∠PAB=3α，∠PDB=3β，則有∠P+β=∠C+α∠P+3α=∠B+3β∴4∠P=3∠C+∠B，∴∠P=1故答案為∠P=1（5）解：如圖5中，延長AB交PD于J，設(shè)∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y則有∠A+2x=∠C+180°-2y，∴x+y=90°+1∵∠P+x+∠A+y=180°，∴x+y=180°-∠P-∠A，∴∠P=90°-1故答案為∠P=90°-11．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）探究：（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求證：∠P＝90°+12∠A（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可：（2）根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果，（3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、內(nèi)角和定理、角平分線的定義探求并證明.【解題過程】證明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝12∠ABC∠PCB＝12∠ACB∴∠PBC+∠PCB＝12（180°﹣∠A根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知∠BPC＝180°﹣12（180°﹣∠A）＝90°+12∠（2）12∠A＝∠P∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCE＝12∠∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴12∠ACP＝12∠ABC+12∴12∠ABC+12∠A＝∠PBC+∠∴12∠A＝∠P（3）∠P＝90°﹣12∠A∵P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點(diǎn)，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣12（∠FBC+∠ECB＝180°﹣12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°﹣12（∠A+180°＝90°﹣12∠A2．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖（1）△ABC是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上的兩點(diǎn)，研究（1）：如果沿直線DE折疊，寫出∠BDA'與∠A的關(guān)系，并說明理由．研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想∠BDA'、∠CEA'和研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想∠BDA'、∠CEA'和【思路點(diǎn)撥】（1）翻折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′=2∠A；（2）根據(jù)圖2中∠A與∠DA′E是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）根據(jù)圖3中由于折疊∠A與∠DA′E是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解題過程】解：（1）∠BDA′=2∠A；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由：在四邊形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由：如圖3，DA′交AC于點(diǎn)F，∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線交于O點(diǎn).（1）若∠A=40°，則∠BOC=°；（2）若∠A=n°，則∠BOC=°；（3）若∠A=n°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于O點(diǎn)，∠ABO的平分線與∠ACO的平分線交于點(diǎn)O1，??，∠O2016BD的平分線與∠O2016CE【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得到角之間的關(guān)系，然后求解即可；（2）根據(jù)BO、CO分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，用n°的代數(shù)式表示出∠OBC與∠OCB的和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)；（3）根據(jù)規(guī)律直接計(jì)算即可.【解題過程】解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵點(diǎn)O是∠AB故答案為：110°；C與∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠OBC+∠OCB=70°，∴∠BOC=110°．（2）∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=180°-n°，∵BO、CO分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∴∠OBC+∠OCB＝12∠ABC+12＝12（∠ABC+∠ACB＝12（180°﹣n°＝90°﹣12n°∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+12n°故答案為：（90+12n（3）由（2）得∠O＝90°+12n°∵∠ABO的平分線與∠ACO的平分線交于點(diǎn)O1，∴∠O1BC＝34∠ABC，∠O1CB＝34∠∴∠O1＝180°﹣34（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣34（180°﹣∠A）＝14×180°+3同理，∠O2＝18×180°+78n∴∠On＝12n+1×180°+2n+1∴∠O2017＝122018×180°+22018故答案為：122017×90°+220184．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點(diǎn)O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．結(jié)論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結(jié)論應(yīng)用舉例：如圖2：求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請你從圖③或圖④中任選一個(gè)，寫出你的計(jì)算過程．【思路點(diǎn)撥】（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（3）連接BH、DE，由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（4）連接ND、NE，由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【解題過程】解：（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）連接BH、DE，∵由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內(nèi)角和＋△ABH的內(nèi)角和＝540°＋180°＝720°；（4）連接ND、NE，∵由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內(nèi)角和＋△AND的內(nèi)角和＋△NDE的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案為：360°；540°；720°；1080°．5．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）在銳角ΔABC中，AC邊上的高所在直線和AB邊上的高所在直線的交點(diǎn)為P，∠BPC=110°，求∠A的度數(shù)．（2）如圖，AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD，當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上時(shí)，且B、P、D三點(diǎn)共線，∠APC=100°，則∠B=_________．（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)點(diǎn)D在直線AC外時(shí)，如下圖：∠ADC=130°，∠APC=100°，求∠B的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)對頂角相等以及四邊形的內(nèi)角和進(jìn)行判斷即可；（2）法一：根據(jù)∠APC=100°以及AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD，算出∠BAD和∠BCD,從而算出∠B；法二：根據(jù)三角形的外角定理得到∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB，再求出∠PAB＋∠PCB，故可求解；（3）法一：連接AC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與角平分線的性質(zhì)分別求出∠2+∠4=法二：連接BD并延長到G根據(jù)三角形的外角定理得到∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，再求出∠2＋∠4，故可求解．【解題過程】解：（1）如圖AC邊上的高所在直線和AB邊上的高所在直線的交點(diǎn)為P∴∠BDA=∠CEA=90°又∵∠BPC=110°∴∠EPD=∠BPC=110°∵在四邊形AEPD中，內(nèi)角和為360°∴∠A=（2）法一：∵AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD∴∠BAP=∠FAC,∠BCE=∠ACE又∵∠APC=100°∴∠FAC∴∠BAC+∠BCA=160°∴∠B=法二：連接BD，∵B、P、D三點(diǎn)共線∴BD、AF、CE交于P點(diǎn)∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP，∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB∵AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD，∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB，∵∠APC＝100°，∴∠PAC＋∠PCA＝180°?100°＝80°，∴∠PAB＋∠PCB＝80°，∴∠B＝∠APC?（∠PAB＋∠PCB）＝100°?80°＝20°．（3）法一：如圖：連接AC∵∠ADC=130°，∠APC=100°∴∠DAC+∠DCA=180°-130°=50°,∠PAC+∠PCA=180°-100°=80°∴∠2又∵AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD∴∠1∴∠BAC+∠BCA=110°∴∠B=法二：如圖，連接BD并延長到G，∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD，∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，∴∠2＋∠4=30°同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠APC-∠2-∠4=100°-30°=70°∴∠B＝70°．6．（2023春·七年級單元測試）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應(yīng)用】（2）閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：如圖2，AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度數(shù)；解：∵AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的結(jié)論得：∠P+∠3=∠1+∠B①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P=12(∠B+∠D)=26°①【問題探究】如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．②【拓展延伸】在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：（用α、β表示∠P【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明．（2）【問題探究】由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，推出2∠P=∠ABC+∠ADC，即可解決問題．【拓展延伸】由（1）的結(jié)論易求∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，再將已知條件代入化簡即可求解∠P．【解題過程】（1）證明：∵∠A+∠B+∠AEB=180°，∠C+∠D+∠CED=180°，∴∠A+∠B+∠AEB=∠C+∠D+∠CED，∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）①解∶如圖3，∵AP平分∠FAD，CP平分∠BCE∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∴由（1）可得：∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，∠P+∠PAB=∠B+∠4，又∠1=∠PAB，∴∠P+∠1=∠B+∠4，又∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，∴2∠P+∠1+180°-∠2=∠B+∠4+∠D+180°-∠3，又∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D∴∠P=12(∠B+∠D②解：∠P=23α+13理由：∵∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠∴∠BAP=23∠CAB，∠BDP=23∠由（1）可得：∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，∴∠P+13∠CDB=∠C+13∠CAB∠P+23∠CAB=∠B+23∠CDB①×2+②，得2∠P+23∠CDB+∠P+23∠CAB=2∠C+23∠CAB+∠B+2∴3∠P=2∠C+∠B∴∠P=23∠C+13∠B=27．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）若∠A=60°，則∠BDC的度數(shù)為_________；（2）若∠A=α，直線MN經(jīng)過點(diǎn)D．①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC-∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；②如圖3，若MN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交線段BC,AC于點(diǎn)M,N，試問旋轉(zhuǎn)過程中∠NDC-∠MDB的度數(shù)是否會發(fā)生改變？若不變，求出∠NDC-∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請說明理由；③如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線MN，與線段AC交于點(diǎn)N，與CB的延長線交于點(diǎn)M，請直接寫出∠NDC與∠MDB的關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示）．【思路點(diǎn)撥】（1）利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，分步計(jì)算即可．（2）①利用平角的定義，變形代入計(jì)算，注意與第（1）的結(jié)合．②與①結(jié)合起來求解即可．③根據(jù)平角的定義，變形后結(jié)合前面的計(jì)算，求解即可．【解題過程】解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD=∴∠CBD+∠BCD=12∠ACB+12∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴180°-∠BDC=12∴∠BDC=90°∵∠A=60°，∴∠BDC=90°+故答案為：120°．（2）①∵∠NDC=180°-∠MDC，∴∠NDC-∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB=180°-（∠MDC+∠MDB）=180°-∠BDC=180°-（90°=90°②∠NDC-∠MDB保持不變，恒等于90°-α2∵∠NDC=180°-∠MDC，∴∠NDC-∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB=180°-（∠MDC+∠MDB）=180°-∠BDC=180°-（90°=90°故保持不變，且為90°③∠NDC與∠MDB的關(guān)系是∠NDC+∠MDB=90°∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC，∵∠BDC=90°∴∠NDC+∠MDB=180°-（90°+α28．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為射線CB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，請直接寫出∠BAC與∠EDC的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上時(shí)，DE⊥AC交CA的延長線于點(diǎn)E，探究∠BAC與∠EDC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)F為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，連接AF，且∠AFG=∠CFG，∠BAF=∠BFA，延長ED，AB交于點(diǎn)K，求∠EKA的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）如圖1中，作AH⊥BC于H，利用等腰三角形的性質(zhì)，等角的余角相等解決問題即可；（2）作AM⊥BC于M，由（1）同理可證∠BAC=2∠EDC；（3）如圖2中，設(shè)∠C=∠FAC=∠ABC=x，則∠BAF=∠BFA=2x，構(gòu)建方程求出x即可解決問題．【解題過程】（1）如圖1中，作AH⊥BC于H，∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAH．∵DE⊥AC，∴∠AHC=∠DEC=90°，∴∠C+∠CAH=90°，∠C+∠CDE=90°，∴∠CAH=∠CDE，∴∠BAC=2∠EDC．（2）結(jié)論：∠BAC=2∠EDC．理由如下：如圖2中，作AM⊥BC于M，∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAM．∵DE⊥AC，∴∠AMC=∠DEC=90°，∴∠C+∠CAM=90°，∠C+∠CDE=90°，∴∠CAM=∠CDE，∴∠BAC=2∠EDC．（3）∵∠AFG=∠CFG，F(xiàn)G⊥AC，∴∠FAC=∠C．設(shè)∠C=∠FAC=∠ABC=x，∴∠BAF=∠BFA=2x．在△BAF中，∠BAF+∠BFA+∠ABC=180°，∴2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴∠EAK=∠ABC+∠C=36°+36°=72°．∵KE⊥EC，∴∠E=90°，∴∠EKA=90°?∠EAK=18°．9．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E是邊BC上兩點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，將△ADC沿AD折疊得到△ADG，DG交AB于點(diǎn)H；將△EFB沿EF折疊得到△EFH．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)H重合時(shí)，請說明∠BAC=∠EHD；（2）當(dāng)點(diǎn)G落在△ABC外，且HE∥AD，∠GAB:∠CAD①如圖2，請說明∠EHD＝②如圖3，若∠B=30°，將△EFH繞點(diǎn)H順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α0<α<180°，則在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△EFH的其中一邊與△AHG的某一邊平行時(shí)，直接寫出旋轉(zhuǎn)角【思路點(diǎn)撥】（1）利用翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理證明即可；（2）①由∠GAB:∠CAD=1:3，可以假設(shè)∠GAB=x，∠CAD=∠DAG=3x，證明∠DHE=4x即可；②分四種情形：如圖3-1中，當(dāng)FH∥AG時(shí)．如圖3-2中，當(dāng)EH∥AG時(shí)．如圖3-3中，當(dāng)EF∥【解題過程】（1）證明：如圖1中，由翻折變換的性質(zhì)可知，∠AHD=∠C，∠B=∠EHB，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠EHB+∠EHD+∠AHD=180°，∴∠EHD=∠BAC；（2）①證明：如圖2中，∵∠GAB:∠CAD=1:3，∴設(shè)∠GAB=x，∠CAD=∠DAG=3x，∴∠DAH=∠DAG-∠GAB=2x，∵EH∥AD，∴∠EHB=∠DAH=2x，∠EHD=∠ADH=∠ADC，∴∠B=∠EHB=2x，∵∠ADC=∠B+∠DAB=4x，∴∠DHE=4∠GAB；②解：由題意，∠B=30°，∴∠B=∠DAB=30°，∴∠GAB=15°，∴∠DAG-∠DAC=45°，∴∠C=∠BAC=75°，∴∠ADC=∠ADG=∠BDG=60°，∴∠DHB=90°，如圖3-1中，當(dāng)FH∥AG時(shí)，旋轉(zhuǎn)角如圖3-2中，當(dāng)EH∥AG時(shí)，旋轉(zhuǎn)角如圖3-3中，當(dāng)EF∥AB時(shí)，旋轉(zhuǎn)角如圖3-4中，當(dāng)EF∥AG時(shí)，旋轉(zhuǎn)角綜上所述，滿足條件的旋轉(zhuǎn)角α為15°或45°或90°或105°．10．（2023秋·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，線段OA的一個(gè)端點(diǎn)O在直線l上，且與直線l所成的銳角為50°，以O(shè)A為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)P在直線l上，這樣的等腰三角形能畫個(gè)．（2）如圖1，如果OA與直線l所成的銳角為60°，以O(shè)A為一邊畫等腰三角形，并使另一個(gè)頂點(diǎn)P在直線l上，這樣的等腰三角形能畫個(gè)．想一想：如圖2，△ABC中，∠A=20°，∠B=50°，過頂點(diǎn)C作一條直線，分割出一個(gè)等腰三角形這樣的直線最多可以畫算一算：如圖3，在△ABC中，∠BAC=10°，若存在過點(diǎn)C的一條直線，能把該三角形分成兩個(gè)等腰三角形，試求∠B的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰三角形的定義，兩條邊相等的三角形是等腰三角形即可得到結(jié)論；（2）同（1）原理，理論上可以畫4個(gè)，但是P2想一想：分五種情況：①當(dāng)AC=AF，②當(dāng)BC=BE，③當(dāng)CB=CG，④當(dāng)AD=CD，⑤CH=BH時(shí)，于是得到結(jié)論；算一算：如圖3，當(dāng)AD=CD，分三種情況：①當(dāng)CD=BD時(shí)；②當(dāng)CD=BC時(shí)；③當(dāng)BD=BC時(shí)；如圖4，當(dāng)AC=AE，CE=BE時(shí)；如圖5，當(dāng)【解題過程】解：（1）如圖1，①AO=OP1，②AO=AP2；③AO=OP3故答案為：4；（2）同（1）可知滿足題意的點(diǎn)有4個(gè)，∵OA與直線l所成的銳角為60°，∴△AOP∴P2∴滿足題意的點(diǎn)只有2個(gè)，故答案為：2；想一想：①當(dāng)AC=AF，②當(dāng)BC=BE，③當(dāng)CB=CG，④當(dāng)AD=CD，⑤CH=BH時(shí)，過頂點(diǎn)C作一條直線，能分割出一個(gè)等腰三角形，∴過頂點(diǎn)C作一條直線，分割出一個(gè)等腰三角形這樣的直線最多可以畫5條，故答案為：5；算一算：如圖3，當(dāng)AD=CD時(shí)，∴∠ACD=∠A=10°，∴∠CDB=∠ACD+∠A=20°，∴①當(dāng)CD=BD時(shí)，∠B=∠BCD=180°-∠CDB②當(dāng)CD=BC時(shí)，∠B=∠CDB=20°；③當(dāng)BD=BC時(shí)，∠B=180°-20°-20°=140°；如圖4，①當(dāng)AC=AE，CE=BE時(shí)，∵∠A=10°，∴∠ACE=∠AEC=180°-∠A∴∠B=∠BCE=1如圖5所示，當(dāng)AC=CE，∴∠CEA=∠A=10°，∴∠B=∠BCE=綜上所述，存在過點(diǎn)C的一條直線，能把該三角形分成兩個(gè)等腰三角形，∠B的度數(shù)為5°或20°或80°或140°或42.5°．11．（2023秋·福建南平·八年級?？茧A段練習(xí)）規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”．（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，請寫出圖中兩對“等角三角形”（2）如圖2，在△ABC中，CD為∠ACB的平分線，∠A=40°，∠B=60°．求證：CD為△ABC的“等角分割線”；（3）在△ABC中，若∠A=50°，CD是△ABC的“等角分割線”，請求出所有可能的∠ACB的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，再根據(jù)“等角三角形”的定義即可得；（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ACB=80°，從而可得∠ACD=∠DCB=40°，根據(jù)等腰三角形的判定可得△ACD是等腰三角形，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠BDC=∠ACB=80°，從而可得△BCD與△ABC是“等角三角形”，然后根據(jù)等角分割線的定義即可得證；（3）分①當(dāng)△ACD是等腰三角形，DA=DC時(shí)；②當(dāng)△ACD是等腰三角形，DA=AC時(shí)；③當(dāng)△BCD是等腰三角形，DC=BD時(shí)；④當(dāng)△BCD是等腰三角形，DB=BC時(shí)四種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)求解即可得．【解題過程】（1）解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，∴△ABC與△ACD；△ABC與△BCD；△ACD與△BCD是“等角三角形”．（任意寫出兩對“等角三角形”即可）（2）證明：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，∵CD為角平分線，∴∠ACD=∠DCB=1∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A，∴CD=AD，∴△ACD是等腰三角形，∵在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°，∴∠BDC=180°-∠DCB-∠B=80°，∴∠BDC=∠ACB，∴△BCD與△ABC是“等角三角形”，∴CD為△ABC的等角分割線．（3）解：由題意，分以下四種情況：①當(dāng)△ACD是等腰三角形，DA=DC時(shí)，∠ACD=∠A=50°，∴∠ACB=∠BDC=50°+50°=100°；②當(dāng)△ACD是等腰三角形，DA=AC時(shí)，∠ACD=∠ADC=65°，∠BCD=∠A=50°，∴∠ACB=65°+50°=115°；③當(dāng)△BCD是等腰三角形，DC=BD時(shí)，∠ACD=∠BCD=∠B=180°-50°∴∠ACB=130°④當(dāng)△BCD是等腰三角形，DB=BC時(shí)，∠BDC=∠BCD，設(shè)∠BDC=∠BCD=x，則∠B=180°-2x，∴∠ACD=∠B=180°-2x，由三角形的外角性質(zhì)得：∠A+∠ACD=∠BDC，即50°+180°-2x=x，解得x=230°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=180°-2x+x=310°綜上，∠ACB的度數(shù)為100°或115°或260°3或310°12．（2023秋·山東青島·八年級校考期末）探究題（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則∠A，∠B，∠C，∠D四個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，若∠BCD，∠ADE的角平分線CP，DP交于點(diǎn)P，則∠P與∠A，∠B的數(shù)量關(guān)系為∠P=______；（3）如圖3，CM，DN分別平分∠BCD，∠ADE，當(dāng)∠A+∠B=70°時(shí)，試求∠M+∠N的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；（4）如圖4，如果∠MCD=14∠BCD，∠NDE=14∠ADE，當(dāng)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）如圖2，設(shè)∠PCD=x，∠ADP=y，根據(jù)外角的性質(zhì)得：∠P=y-x，∠COD=2y-2x，所以∠COD=2∠P，最后由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；(3)如圖3，延長CM、DN交于點(diǎn)P，根據(jù)（2）的結(jié)論，并將∠A+∠B=70°，代入可得結(jié)論；（4）如圖4，同理計(jì)算可得結(jié)論．【解題過程】（1）在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D故答案為：∠A+∠B=∠C+∠D（2）設(shè)∠PCD=x，∠ADP=y，∵CP，DP分別平分∠BCD，∠ADE，∴∠BCD=2x，∠ADE=2y，∵∠P=∠PDE-∠PCD=y-x，∴∠COD=∠ODE-∠BCD=2y-2x，∴∠COD=2∠P，∵∠A+∠B+∠COD=180°，∴2∠P+∠A+∠B=180°，∴∠P=90°-1故答案為：∠P=90°-（3）如圖3，由（2）可知：∠P=90°-1∵∠A+∠B=70°，∴∠P=55°，∴∠PMN+∠PNM=125°，∴∠CMN+∠DNM=360°-125°=235°，（4）如圖4，延長CM、DN交于點(diǎn)P，設(shè)∠PCD=x，∠NDE=y，∴∠P=∠PDE-∠PCD=y-x，∠COD=4y-4x，∴∠COD=4∠P，∴4∠P+∠A+∠B=180°，∴∠P=180°-(∠A+∠B)∴∠P=180°-n°∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P，=180°-45°+1=135°+1∴∠CMN+∠DNM=360°-(∠PMN+∠PNM)=360°-(135°+1=225°-故答案為：225°-13．（2023秋·山東青島·八年級青島超銀中學(xué)?？计谀鰽BC中，∠C=70°，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，初探：（1）如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且∠α=60°，則∠1+∠2=______°；（2）如圖2，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動，則∠1,∠2,∠α之間的關(guān)系為______；（3）如圖3，若點(diǎn)P在線段AB的延長線上運(yùn)動，則∠1,∠2,∠α之間的關(guān)系為______．再探：（4）如圖4，若點(diǎn)P運(yùn)動到△ABC的內(nèi)部，寫出此時(shí)∠1,∠2,∠α之間的關(guān)系______；說明理由．（5）若點(diǎn)P運(yùn)動到△ABC的外部，寫出此時(shí)∠1,∠2,∠α之間的關(guān)系______．【思路點(diǎn)撥】（1）如圖1所示，連接CP，證明∠1+（2）只需要證明∠1+∠2=∠C+∠DPE即可得到答案；（3）利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；（4）利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；（5）根據(jù)題意畫出圖形，利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【解題過程】（1）解：如圖1所示，連接CP，∵∠1=∴∠1+∵∠ACB=70°，∠DPE=60°，∴∠1+故答案為：130；（2）∵∠1+∴∠1+∵∠C=70°，∠DPE=∠α，∠∴∠1+∠2=∠C+∠DPE=70°+α故答案為：∠1+∠2=70°+∠α；（3）設(shè)DP與BC交于F，∵∠C+∠CFD=∠1，∴∠1=故答案為：∠1=（4）如圖所示，連接CP，∵∠1=∴∠1+∴∠1+∠2=（5）解：如圖5-1所示，∵∠1=∴∠1-∠2=∠C-∠P=如圖5-2所示，∵∠1=∴∠2-∠1=綜上可得：∠1-∠2=故答案為：∠1-∠2=14．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，∠B=20°，∠C=60°．（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度數(shù)．（2）若圖形發(fā)生了變化，已知的兩個(gè)角度數(shù)改為：當(dāng)∠B=30°，∠C=60°，則∠EAD=__________°．當(dāng)∠B=50°，∠C=60°時(shí)，則∠EAD=__________當(dāng)∠B=60°，∠C=60°時(shí)，則∠EAD=__________°．當(dāng)∠B=70°，∠C=60°時(shí)，則∠EAD=__________°．（3）若∠B和∠C的度數(shù)改為用字母α和β來表示，你能找到∠EAD與α和β之間的關(guān)系嗎？請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】（1）先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線和高的性質(zhì)分別得出∠EAC和∠DAC的度數(shù)，進(jìn)而可求∠AEC和∠EAD的度數(shù)；（2）先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線和高的性質(zhì)分別得出∠EAC和∠DAC的度數(shù)，則前三問利用∠EAD=∠EAC-∠DAC即可得出答案，第4問利用∠EAD=∠DAC-∠EAC即可得出答案；（3）按照（2）的方法，將相應(yīng)的數(shù)換成字母即可得出答案．【解題過程】解：（1）∵∠B=20°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1∵AD是高，∴∠ADC=∠ADE=90°，∴∠CAD=90°-∠C=30°，∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=20°，∴∠AEC=90°-∠EAD=70°．（2）當(dāng)∠B=30°，∠C=60°時(shí)，∵∠B=30°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=90°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=30°，∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=15°；當(dāng)∠B=50°，∠C=60°時(shí)，∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=30°，∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=5°；當(dāng)∠B=60°，∠C=60°時(shí)，∵∠B=60°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=30°，∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=0°；當(dāng)∠B=70°，∠C=60°時(shí)，∵∠B=70°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=50°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=30°，∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=5°．（3）當(dāng)∠B<∠C時(shí)，即α<β時(shí)，∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=90°-β，∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=12當(dāng)∠B>∠C時(shí)，即α>β時(shí)，∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=90°-β，∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=12綜上所述，當(dāng)α<β時(shí)，∠EAD=12(β-α)；當(dāng)α>β15．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）在△ABC中AD⊥BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，若∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)E，∠B=35°，∠EAD=5°，求∠C的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上，將△ABC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，折痕分別為DM和DN，點(diǎn)E、F均在直線AD上，若∠B+∠C=60°，試猜想∠AMF與∠ANE之間的數(shù)量關(guān)系，并簡要說明理由；（3）在（2）小題的條件下，將△DMF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a0°<a<90°，記旋轉(zhuǎn)中的△DMF為△DM1F1（如圖3）．在旋轉(zhuǎn)過程中，直線M1F1與直線BC交于點(diǎn)Q，與直線AB交于點(diǎn)P．若∠B=35°，是否存在這樣的【思路點(diǎn)撥】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可解決問題；（2）結(jié)論：∠AMF+∠ANE=60°．由翻折可知∠B=∠AFM，∠C=∠E，由∠B+∠C=60°得出∠BAC=120°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠BAC=∠AMF+∠ANE+∠B+∠C，從而得出結(jié)論；（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．【解題過程】（1）解：如圖，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，又∵∠B=35°，∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-35°=55°，∵∠EAD=5°，∴∠BAE=55°+5°=60°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠CAE+∠EAD=60°+5°=65°，∴∠C=180°-∠ADC-∠DAC=180°-90°-65°=25°．∴∠C的度數(shù)為25°．（2）結(jié)論：∠AMF+∠ANE=60°．理由：如圖，由翻折可知∠B=∠AFM，∠C=∠E，∵∠B=35°，∠C=25°，∴∠B+∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B+∠C∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠AMF+∠AFM+∠E+∠ANE，∴∠BAC=∠AMF+∠ANE+∠B+∠C，即120°=∠AMF+∠ANE+60°，∴∠AMF+∠ANE=60°．（3）①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，∴∠F∵將△ABC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為DM，將△DMF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a0°<a<90°∴∠DF∴∠F∴∠FDF∴α=35°；②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，∵將△ABC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為DM，將△DMF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a0°<a<90°∴∠DF∴∠PQB=∠BPQ-∠B=90°-35°=55°，∵∠PQB=∠DF∴∠F∴∠FDF∴α=70°．綜上所述，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為35°或70°．16．（2022春·江蘇鹽城·七年級?？计谥校┢揭剖且环N常見的圖形變換，如圖1，△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，連接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，則稱這樣的平移為“平分平移”．（1）如圖1，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，請問AC和A1C1有怎樣的位置關(guān)系：．（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度數(shù)．（4）如圖4，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC=α，則∠BDC1=．（用含α的式子表示）【思路點(diǎn)撥】（1）由平移的性質(zhì)直接可得（2）先求出∠ABO,∠BAO，再由三角形內(nèi)角和定理可求得（3）由三角形的外角和定理先求出∠DEO,∠DFO，由互補(bǔ)求出∠EOF，在四邊形DEOF中求得（4）由（2）思路先求出∠AOB，再由（3）的思路求出∠DEO,∠DFO，由互補(bǔ)求出∠EOF，在四邊形DEOF中求得【解題過程】（1）由平移的性質(zhì)得：AC（2）∵AC∥A∴∠CA∴∠BAO=∠BAC+∠CA∵A1∴∠ABO=∴∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=180°-60°-45°=75°（3）在下圖中，∠DEO=∠EBO+∠AOB=∠EBO+75°∠DFO=∠F∵DB,DC1∴∠EBO+∠F∴∠DEO+∠DFO=∠EBO+∠F在四邊形DEOF中，∴∠BD（4）在下圖中，∵AC∥A1C∴∠CA∵A1∴∠ABO=∠CBO=∴∠EOF=∠ABO+∠BAC+∠CA∴∠DEO=同理：∠DFO=∴∠DEO+∠DFO=∴∠DEO+∠DFO+∠EOF==∵∠AOB=180°-∠ABO-α-∠CA=180°-α-∴∠DEO+∠DFO+∠EOF=360°-α-=360°-α-=360°-α-=315°-在四邊形DEOF中，∠BDC17．（2022·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖①，△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，過P點(diǎn)作直線MN，分別交AB和AC于點(diǎn)M和N，且MN平行于BC，試求∠MPB+∠NPC的度數(shù)（用含∠A的代數(shù)式表示）；（3）將（2）中的直線MN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，分別交線段AB于點(diǎn)M（不與A、B重合），交直線AC于N，試探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【思路點(diǎn)撥】（1）利用角平分線的性質(zhì)可求出∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BPC（2）利用平行的性質(zhì)證明∠MPB=∠PBC，∠NPC=∠PCB，進(jìn)一步得到∠MPB+∠NPC=∠PBC+∠PCB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠MPB+∠NPC=∠PBC+∠PCB=90°-1（3）分情況討論：①當(dāng)N在線段AC上時(shí)，②當(dāng)N在線段AC延長線上時(shí)，③當(dāng)N在線段CA延長線上時(shí)，結(jié)合圖形求解即可．【解題過程】（1）解：∵BD、CE平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=1∴∠BPC=180°-∠PBC+∠PCB∵∠A=80°，∴∠BCP=90°+40°=130°．（2）解：∵M(jìn)N∥BC，∴∠MPB=∠PBC，∠NPC=∠PCB，∴∠MPB+∠NPC=∠PBC+∠PCB，∵BD、CE平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=1∴∠MPB+∠NPC=∠PBC+∠PCB=90°-1（3）解：分情況討論：①當(dāng)N在線段AC上時(shí)，如圖，∵BD、CE平分∠ABC和∠ACB交于點(diǎn)P，∴∠PBC+∠PCB=1∴∠BPC=180°-∠PBC+∠PCB∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=90°-1②當(dāng)N在線段AC延長線上時(shí)，如圖，∵∠MPB+∠BPN=180°，∠BPN=∠BPC-∠NPC，且∠BPC=90°+1∴∠MPB+∠BPN=∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°即∠MPB-∠NPC=90°-1③當(dāng)N在線段CA延長線上時(shí)，如圖，∵∠MPB+∠BPC+∠NPC=360°，且∠BPC=90°+1∴∠MPB+∠NPC=270°-118．（2022秋·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填寫序號）．①頂角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一個(gè)角是30°的直角三角形．（2）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，延長DA到點(diǎn)E，連接BE．①若BC=BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；②點(diǎn)P在線段AE上，連接BP．若∠C=30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請直接寫出∠E的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）利用“倍角三角形”的定義依次判斷即可求解；（2）①由折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE=2∠ADB，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BDE=∠E，可得結(jié)論；②分兩種情況討論，由三角形內(nèi)角和定理和“倍角三角形”的定義可求解．【解題過程】（1）解：若一個(gè)三角形是頂角為30°的等腰三角形，則兩個(gè)底角均為12∵75°≠2×30°，∴頂角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”；若一個(gè)三角形是等腰直角三角形，則三個(gè)角分別為45°，45°，90°，∵90°=2×45°，∴等腰直角三角形是“倍角三角形”；若一個(gè)三角形是有一個(gè)角為30°的直角三角形，則另兩個(gè)角分別為60°，90°，∵60°=2×30°，∴有一個(gè)30°的直角三角形是“倍角三角形”，故答案為：②③；（2）①證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∠ACB=∠ADB，BC=BD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠BAE=∠ADB+∠ABD=2∠ADB，∵BE=BC，∴BD=BE，∴∠E=∠ADB，∴∠BAE=2∠E，∴△ABE是“倍角三角形”；②解：由①可得∠BAE=2∠BDA=2∠C=60°，如圖，若△ABP是等腰三角形，則△BPE是“倍角三角形”，∴△ABP是等邊三角形，∴∠APB=60°，∴∠BPE=120°，∴∠E+∠EBP=60°，∵△BPE是“倍角三角形”，∴∠EBP=2∠E或∠E=2∠EBP，∴∠E=20°或40°；若△BPE是等腰三角形，則△ABP是“倍角三角形”，∴∠ABP=12∠BAP=30°或∠APB=12當(dāng)∠ABP=12∠BAP=30°時(shí)，∴∠E=1當(dāng)∠APB=12∠BAE=30°∴∠E=1當(dāng)∠ABP=2∠APB時(shí)，∠APB=1∴∠BPE=180°-∠APB=140°，∴∠E=1當(dāng)∠APB=2∠ABP時(shí)，∠APB=2∴∠BPE=180°-∠APB=100°，∴∠E=1綜上所述：∠E的度數(shù)為45°或15°或20°或40°．19．（2022秋·天津和平·八年級校考期中）【概念認(rèn)識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰BA三分線”，BE是“鄰BC三分線”．（1）【問題解決】如圖②，在△ABC中，∠A=65°，∠ABC=45°，若∠ABC的鄰BA三分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC的度數(shù)為（2）如圖③，在△ABC中，BP，CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰CB三分線，且∠BPC=135°，求∠A的度數(shù)；（3）【延伸推廣】如圖④，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A=m°（0<m<60），∠ABC=60°；則∠BPC的度數(shù)為______（用含m的代數(shù)式表示）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)BD是“鄰BA三分線”可求得∠ABD的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰CB三分線；可得∠PBC=13∠ABC，∠PCB=（3）分4種情況進(jìn)行畫圖計(jì)算：