專題04 平行四邊形幾何輔助線(專題詳解)(解析版)

專題04平行四邊形幾何輔助線專題詳解TOC\o"1-5"\h\z\u專題04平行四邊形幾何輔助線專題詳解 11平行四邊形 3知識(shí)框架 3方法1分類討論思想 3一、動(dòng)態(tài)討論 3（1）1個(gè)點(diǎn)的移動(dòng) 3（2）2個(gè)點(diǎn)的移動(dòng) 3二、高的位置的討論 5（1）過點(diǎn)作下（上）側(cè)邊的高 5（2）過點(diǎn)右（左）側(cè)邊的高 5三、求平行四邊形第4點(diǎn)坐標(biāo) 7方法2平行四邊形的面積 8一、利用面積解決問題 8二、方程思想 8方法3構(gòu)造中位線 9一、連接法 9（1）連接兩中點(diǎn) 9（2）知一中點(diǎn)，取另一中點(diǎn) 10（3）知兩中點(diǎn)，構(gòu)雙中位線 11二、倍長(zhǎng)法 12（1）倍長(zhǎng)垂直于角平分線的線段 12（2）倍長(zhǎng)線段 142特殊的平行四邊形 16知識(shí)框架 16方法1矩形的折疊問題 16方法2構(gòu)造斜邊上的中線 17一、連中點(diǎn) 18二、取中點(diǎn) 20方法360°的菱形模型 21方法4利用菱形的對(duì)稱性解題 23方法5正方形的典型模型 24一、a=2b型 24二、a=2b三、a±b=c型四、a±b=2c型方法6構(gòu)造正方形 30一、利用45°角構(gòu)造正方形 30二、利用四邊形構(gòu)造正方形 31三、利用直角三角形構(gòu)造正方形 31方法7運(yùn)用正方形的性質(zhì)求坐標(biāo) 32方法8動(dòng)點(diǎn)問題的研究 33

1平行四邊形知識(shí)框架&方法1分類討論思想分類討論思想一、動(dòng)態(tài)討論解題技巧：點(diǎn)在線段的不同位置，也會(huì)造成不同的結(jié)果（1）1個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)如下圖，1個(gè)點(diǎn)C在直線AB上移動(dòng)，會(huì)出現(xiàn)3種情況：=1\*GB3①在線段AB左側(cè)；=2\*GB3②在線段AB當(dāng)中；=3\*GB3③在線段AB右側(cè)，具體見例1.（2）2個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)如下圖，2個(gè)點(diǎn)C、D在線段AB上移動(dòng)（C、D兩點(diǎn)在AB中），會(huì)出現(xiàn)2種情況：=1\*GB3①點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)；=2\*GB3②點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，具體見例2.例1.?ABCD的內(nèi)角∠BCD的平分線CE交射線DA于點(diǎn)E，若AE=3，DE=4，求?ABCD的周長(zhǎng)。【答案】10或22【解析】點(diǎn)E在射線AD上移動(dòng)，有2種情況情況一：點(diǎn)E在AD中，如下圖所示∵CE是∠BCD的角平分線∴∠BCE=∠ECD∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC∴∠DEC=∠BCE∴∠DEC=∠ECD∴CD=ED=4∵AE=3∴AD=7∴?ABCD的周長(zhǎng)為：2×（7+4）=22情況二：點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，如下圖所示同上，DC=DE=4DA=DE－AE=4－3=1∴?ABCD的周長(zhǎng)為：2×（1+4）=10綜上得：∴?ABCD的周長(zhǎng)為：10或22例2.在?ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，DF平分∠ADC交BC于點(diǎn)F，且EF=2，求AB的長(zhǎng)?！敬鸢浮?或5【解析】?jī)牲c(diǎn)E、F在BC之間，存在2中情況情況一：點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)，如下圖所示：∵AE是∠BAD的角平分線∠BAE=∠EAD∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC∴∠AEB=∠DAE∴∠EAB=∠AEB∴△ABE為等腰三角形，AB=BE同理，△FCD為等腰三角形，DC=FC∵平行四邊形中，AB=CD∴BE=FC∵AD=8，EF=2∴BE=FC=1∴AB=3情況二：點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)，如下圖所示：同上得：AB=BE，F(xiàn)C=CD則BE=FC∵BE+FC－EF=BC∴BE=FC=1∴AB=5綜上得：AB=3或5二、高的位置的討論解題技巧：在平行四邊形中作高，會(huì)出現(xiàn)2種情況：=1\*GB3①在圖形內(nèi)；=2\*GB3②在圖形外。（1）過點(diǎn)作下（上）側(cè)邊的高如下圖，過點(diǎn)A作?ABCD下側(cè)的邊CD上的高AE。因?ABCD傾斜方向的變化，高會(huì)存在兩種情況，具體見例1（2）過點(diǎn)右（左）側(cè)邊的高如下圖，過點(diǎn)B作?ABCD的右側(cè)邊AD上的高AE。因?ABCD傾斜大小的變化，高會(huì)存在兩種情況，具體見例2上述兩種情況實(shí)質(zhì)是同一種情況經(jīng)過翻折后得到的，為同一種情況。例1.在面積為15的平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE垂直于直線BC于點(diǎn)E，若AB=5，BC=6，求CE的值?！敬鸢浮?-532【解析】此題作點(diǎn)下側(cè)高的情形，存在兩種情況情況一：如下圖，平行四邊形向左傾斜，高在圖形內(nèi)部∵平行四邊形的面積為15，BC=6∴根據(jù)面積公式：15=6×AE解得：AE=5在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理：BE=AB∴EC=BC－BE=6-情況二：如下圖，平行四邊形向右側(cè)傾斜，高在圖形外部同上，可求得：BE=5∴EC=BC+BE=6+5綜上得：EC=6-532或例2.在?ABCD中，AD=BD=4，BE是AD邊上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面積?！敬鸢浮?3【解析】此題作點(diǎn)右側(cè)高的情形，存在兩種情況情況一：如下圖，傾斜程度不大時(shí)，高在平行四邊形的內(nèi)部∵BD=4，∠DBE=30°，BE⊥AD∴△BDE是30°的直角三角形∴DE=2，BE=23∴S情況二：如下圖，傾斜程度大時(shí)，高在平行四邊形的外部同上，△BDE為30°的直角三角形∴ED=2，BE=23∴=S△綜上得：S三、求平行四邊形第4點(diǎn)坐標(biāo)解題技巧：若四邊形ABCD為平行四邊形，已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，如圖，過點(diǎn)A作BC的平行線，過點(diǎn)B作AC的平行線，過點(diǎn)C作AB的平行線，這三條直線相互交于3點(diǎn)。這3點(diǎn)即為點(diǎn)D可能的位置。例1.在平面直角坐標(biāo)系中，有A（0,1），B（-1,0），C（1,0）三點(diǎn)，若點(diǎn)D與A，B，C構(gòu)成平行四邊形，求D的坐標(biāo)。【答案】D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，－1）或（2，1）或（－2，1）【解析】存在3種情況，如下圖所示方法2平行四邊形的面積平行四邊形的面積一、利用面積解決問題解題技巧：平行四邊形的面積=底×高設(shè)d1為?ABCD的底，h1為對(duì)應(yīng)的高；d2為?ABCD則：h需要注意，兩條平行線之間的距離處處相等。例1.如圖，點(diǎn)E是?ABCD的一邊AD上任意一點(diǎn)，若△EBC的面積為S1，?ABCD的面積為S【答案】S【解析】過E作BC的垂線EF，交BC于點(diǎn)F則EF是△BEC的高，也是?ABCD的高∵S1=又∵S2=∴S例2.平行四邊形兩鄰邊分別為20和16，若兩較長(zhǎng)邊之間的距離為8，求較短邊之間的距離。【答案】10【解析】設(shè)較短邊之間的距離為h知平行四邊形的面積為：底邊×高∴20×8=16×h解得：h=10二、方程思想解題技巧：方程思想是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，當(dāng)存在不知的量，我們可以設(shè)為未知數(shù)，然后當(dāng)做已知，結(jié)合題型特點(diǎn)列寫方程。在平行四邊形的面積問題中，主要考慮平行四邊形的底和平行四邊形的高，若這兩個(gè)量中有不知的量，我們可以設(shè)為未知數(shù)。方程思想的優(yōu)點(diǎn)在于可以正向推導(dǎo)求解題目，而不用逆向進(jìn)行（逆向進(jìn)行，往往較正向思路復(fù)雜一些）。例1.如圖在中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，已知AE=4，AF=6，?ABCD的周長(zhǎng)為40，求?ABCD的面積?！敬鸢浮?8【解析】題目中涉及到了面積和周長(zhǎng)，需要知道平行四邊形各邊的長(zhǎng)度，而此題中各邊的長(zhǎng)度不知，我們用方程思想解決。設(shè)BC為x∵?ABCD的周長(zhǎng)為40∴CD=1根據(jù)平行四邊形的面積得：BC×AE=CD×AF∴可得方程：4x=6（20－x）解得：x=12∴?ABCD的面積=4×12=48方法3構(gòu)造中位線構(gòu)造中位線一、連接法連接法（1）連接兩中點(diǎn)解題技巧：中位線具有平行的位置關(guān)系，還為底邊長(zhǎng)的一半的長(zhǎng)度關(guān)系，非常特殊。因此，若圖形中出現(xiàn)2個(gè)中點(diǎn)，連接這兩個(gè)中點(diǎn)，便可構(gòu)造出中位線。例1.如圖，△ABC的中線BD，CE相交于點(diǎn)O，F(xiàn)，G分別是BO，CO的中點(diǎn)，求證：EF∥DG且EF=DG。【答案】見解析【解析】2個(gè)線索指導(dǎo)我們的輔助線連接。線索1：要求求證EF∥DG且EF=DG，即只需要四邊形EFDG為平行四邊形即可；線索2：點(diǎn)E、D、F、G分別都是中點(diǎn)，連接可構(gòu)成中位線故輔助線為：連接ED，F(xiàn)G，如下圖所示∵點(diǎn)E，D分別是AB，AC的中點(diǎn)∴ED是△ABC的中位線，ED∥BC且ED=BD∵點(diǎn)F，G分別是OB，OC的中點(diǎn)∴FG是△OBC的中位線，F(xiàn)G∥BC且FG=BC∴ED∥FG且ED=FG∴四邊形EFGD為平行四邊形∴EF∥DG且EF=DG（2）知一中點(diǎn)，取另一中點(diǎn)解題技巧：若題干中已知1個(gè)中點(diǎn)，我們可以取另一個(gè)中點(diǎn)，連接后就可構(gòu)造出中位線。例1.如圖，在?ABCD中，E是CD中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)C交BE于點(diǎn)G。（1）求證：GF=GC；（2）求證：BG=3EG【答案】見解析【解析】∵點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)∴我們只需在EB上另取一中點(diǎn)，即可構(gòu)造出中位線如下圖，取EB的中點(diǎn)H，連接FH，HC。（1）∵在?ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)∴EC=1∵點(diǎn)F、H分別是AE、EB的中點(diǎn)∴FH為△ABE的中位線∴FH∥AB且FH=1∴FH∥EC且FH=EC∴四邊形EFHC為平行四邊形∴FG=GC（2）∵四邊形EFHC為平行四邊形∴EG=GH∵點(diǎn)H為EB中點(diǎn)∴EH=HB∴GB=3EG（3）知兩中點(diǎn)，構(gòu)雙中位線解題技巧：若已知2個(gè)中點(diǎn)，但這兩個(gè)中點(diǎn)的連線無法構(gòu)成中位線時(shí)，我們可以再另取一中點(diǎn)，將這個(gè)中點(diǎn)與這2個(gè)中點(diǎn)分別構(gòu)造出一個(gè)中位線。例1.如圖，在四邊形ABCD中，BC，AD不平行，且∠BAD+∠ADC=270°，AD2+CD2=64，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是【答案】EF=4【解析】∵E、F兩個(gè)中點(diǎn)組成的直線EF無法構(gòu)成中位線∴我們需要另尋一個(gè)中點(diǎn)，與E、F構(gòu)成2個(gè)中位線。連接BD，這樣就構(gòu)成了△ABD和△BDC，其中BD為兩個(gè)三角形的公共邊∴取BD的中點(diǎn)H，連接EH并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接HF∵點(diǎn)E、F、H分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)∴EH是△ABD的中位線，HF是△BCD的中位線∴EH∥AB且EH=12AB，F(xiàn)H∥DC且∴∠ABC=∠EGC，∠DCB=∠HFB∵∠BAD+∠ADC=270°∴∠ABC+∠DCB=90°∴∠EGF+∠HFG=90°∴∠FHG=∠FHE=90°在Rt△EFH中：EF=EH二、倍長(zhǎng)法倍長(zhǎng)法（1）倍長(zhǎng)垂直于角平分線的線段解題技巧：如下圖，若AC是∠DAB的角平分線，BC⊥AC，則延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)D，則△ACB與△ACD是關(guān)于角平分線AC對(duì)稱的兩個(gè)三角形，則點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)。我們將構(gòu)造出的中點(diǎn)C與題干中已知的中點(diǎn)連接，則可構(gòu)造出中位線。例1.如圖，AB=BC，DC=DE，∠ABC=∠CDE=90°，D，B，C在一條直線上，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)。（1）求證：BF∥CE；（2）若AB=2，DE=5，求BF的長(zhǎng)?！敬鸢浮浚?）見解析（2）BF=3【解析】∵AB=BC，DC=DE，∠ABC=∠CDE=90°∴△ABC和△DCE都是等腰直角三角形∴∠BCA=∠DCE=45°∴CD是∠ACE的角平分線如下圖，延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)G則點(diǎn)B是AG的中點(diǎn)∵點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)∴BF是△AGE的中位線∴BF∥EG且BF=1∴BF∥CE（2）∵AB=2∴CG=AC=22∵DE=5∴CE=52∴EG=32∴BF=3（2）倍長(zhǎng)線段解題技巧：若題干中僅有1個(gè)中點(diǎn)，我們還可以倍長(zhǎng)一個(gè)線段，從而構(gòu)造出一個(gè)中點(diǎn)出來，進(jìn)而構(gòu)造出中位線。例1.如圖，∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，CD=DE，M為BE的中點(diǎn)，求證：AE=2DM。【答案】見解析【解析】∵點(diǎn)M是EB的中點(diǎn)，要求證DM的2倍關(guān)系∴要構(gòu)造出DM為中位線∴輔助線為倍長(zhǎng)ED如下圖，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)N，使得DN=ED，連接CN，BN∵點(diǎn)D、M分別是EN、EB的中點(diǎn)∴DM是△ENB的中位線∴DM∥NB且DM=1∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，CD=DE∴△ACB，△CDE為等腰直角三角形∵倍長(zhǎng)ED，易知△CDN≌△CDE∴∠NCD=∠NCE=45°，∠NCB=90°∴∠ACE=∠BCN∴△ACE≌△BCN∴AE=BN∴2DM=AE

2特殊的平行四邊形知識(shí)框架&方法1矩形的折疊問題解題技巧：圖形的折疊，意味著全等，抓住不變量。若在圖形的折疊中，考察圖形折疊的折痕問題，則需要抓住折痕垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平分對(duì)應(yīng)邊所成的夾角。例1.如圖，矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使BC'與AD交于點(diǎn)E.若AD=8cm，AB=4cm，求△BDE的面積【答案】10【解析】∵△C/BD是△∴△C/BD≌∴C/B=∵∠AEB=∠EC∴△C/ED設(shè)AE=x，則ED=BE=8－x，AB=4在△AEB中，根據(jù)勾股定理得：x解得：x=3S例2.如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=3.E點(diǎn)在線段BC上，連接DE,將△CDE沿DE折疊，使得點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在AB上.求△DEC'【答案】13【解析】設(shè)CE=x=C/E，則EB=3C/B=AC13-6x=16-S=12?例3.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8.將紙片沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是：A．AF=AEB.△ABE≌△AGFC.EF=25D.AF=EF【答案】D【解析】易證△ABE≌△AGF∴AF=AE=EC∴A、B正確設(shè)FD=x，則AF=8－x，F(xiàn)G=x，AG=4在Rt△AGF中：16+x2=64+解得：x=3CF=32-EF=22+42方法2構(gòu)造斜邊上的中線構(gòu)造斜邊上的中線解題技巧：已知△ABD和△ABC都是直角三角形，∠ADB=∠ACB=90°，如下圖，有3種情況：圖=1\*GB3①中，若點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，那么：OA=OB=OD；圖=2\*GB3②中，若點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，那么：OA=OB=OD=OC；圖=3\*GB3③中，若點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，那么OA=OB=OC=OD若圖形中出現(xiàn)直角三角形，且存在中點(diǎn)時(shí)，可以考慮構(gòu)造斜邊上的中線。方法有2中：=1\*GB3①有中點(diǎn)，直接連接直角的頂點(diǎn)和斜邊的中點(diǎn)；=2\*GB3②無中點(diǎn)，先選取斜邊的中點(diǎn)，在連接構(gòu)造斜邊上的中線。一、連中點(diǎn)例1.如圖，△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=90°，O為BC的中點(diǎn)，BD，CE交于點(diǎn)A，∠BAC=120°，求證：DE=OE?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥窟B接OD∵∠BEC=∠BDC=90°，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)∴EO、ED是Rt△BEC、Rt△BDC斜邊上的中線∴EO=OB=OC=OD∴△BOD、△EOC、△EOD是等腰三角形設(shè)∠DBO=x，∠OCE=y，則∠BDO=x，∠OEC=y∠EOB=2y，∠DOC=2x∵∠BAC=120°∴在△BAC中，x+y+120°=180°，x+y=60°∴∠EOB+∠DOC=120°∴∠EOD=60°∴等腰三角形EOD是等邊三角形∴ED=EO例2.如圖，四邊形ACBD中，AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°，∠DBC=60°，E是AB的中點(diǎn)，EM⊥CD于點(diǎn)M。（1）求證：DM=CM；（2）求CDAB【答案】（1）見解析（2）3【解析】（1）如下圖，連接DE、EC∵∠BCA=∠ADB=90°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)∴DE=AE=EB=EC∴△EDC是等腰三角形∵EM⊥DC∴點(diǎn)M是DC的中點(diǎn)（2）∵AC=BC∴△ACB是等腰直角三角形，∠ABC=45°∵∠DBC=60°∴∠DBE=15°∵DE=AE=EB=EC∴△DEB、△BEC是等腰三角形∴∠BDE=∠DBE=15°，∠BCE=∠EBC=45°∴∠DEB=30°，∠BEC=90°∴∠DEC=120°∴∠ECD=∠EDC=30°∴△EMC為30°的直角三角形∴CM∵CD=2CM，AB=2BE=2CE∴CD二、取中點(diǎn)例1.已知，在如圖所示的平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，EF⊥AC，點(diǎn)O是垂足，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE=OE=12AE。求證平行四邊形ABCD是矩形【答案】見解析【解析】如下圖，取AE中點(diǎn)G，連接OG∵OG是Rt△AOE斜邊上的中線∴OG=AG=GE=EB=OE∴△AGO≌△BEO∴OA=OB∴平行四邊形ABCD為矩形例2.如圖，D為等邊△ABC的邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF。求EFAD的值【答案】3【解析】取AD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，設(shè)AD與EF交于點(diǎn)O∵∠AED=∠AFD=90°，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)∴EG=AG=GD=GF∴△AED、△AFG是等腰三角形∴∠EAG=∠AEG，∠GAF=∠GFA∵△ABC是等邊三角形∴∠BAC=60°∴∠EAG+∠GAF=60°∴∠EAG+∠AEG+∠GAF+∠GFA=120°∴∠AGE+∠AGF=180°×2－120°=240°∴∠FGE=120°∴∠GFE=∠GEF=30°∴OF∵EF=2OF，AD=2AG=2FG∴EF方法360°的菱形模型解題技巧：連接60°菱形的對(duì)角線，可以構(gòu)造出2個(gè)全等的等邊三角形。再利用等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。例1.如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且DE⊥BE。（1）求證：△ADE≌△ABE；（2）若∠DAB=60°，AD=23，求DE的長(zhǎng)?！敬鸢浮浚?）見解析（2）6【解析】（1）∵四邊形ABCD是菱形∴AD=AB，∠DAE=∠BAE∵AE=AE∴△DAE≌△BAE（2）如下圖，連接BD∵∠BAD=60°∴△ABD為等邊三角形∵AD=23∴BD=23∵△ADE≌△ABE∴DE=BE∵DE⊥BE∴△DEB為等腰直角三角形∴DE=DB例2.已知在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E，F(xiàn)為射線BC和CD上一點(diǎn)，∠EAF=60°。（1）如下圖，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上任一點(diǎn)，探究BE、DF、AB之間的關(guān)系?！敬鸢浮緼B=BE+DF【解析】如圖，連接AC∵四邊形ABCD是菱形，且∠B=60°∴△ABC、△ACD是等邊三角形∴AC=AD，∠ACE=∠ADF，∠BAC=∠CAD=60°，∠CAF+∠FAD=60°∵∠EAF=60°∴∠EAC+∠CAF=60°∴∠EAC=∠FAD∴△EAC≌△FAD∴EC=DF∴AB=BE+DF（2）如下圖，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD的延長(zhǎng)線上，探究BE，DF，AB之間的數(shù)量關(guān)系【答案】AB=BE－DF【解析】如圖，連接AC同上可得：△CAE≌△DAF∴AB=BE=DF方法4利用菱形的對(duì)稱性解題解題技巧：菱形就是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形。運(yùn)用其軸對(duì)稱性可解決最小值類的問題。例1.如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)為6和8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值為？【答案】5【解析】作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M/，則PM+PN的最小值為：MM/NM/例2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，將平行四邊形ABCD沿過點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)F除，折痕交CD邊于點(diǎn)E。求證：（1）四邊形BCEF是菱形（2）若點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算PF+PB的最小值。【答案】（1）見解析（2）7【解析】（1）∵DE∥AD∴∠DEA=∠EAD/=∠DAE=∠AE∴∠DAD∴四邊形DED/∴DE=AD∵AB=DC，AB∥DC∴CE=D/B，CE∥∵BD/=E∴平行四邊形BCED/（2）點(diǎn)D于點(diǎn)D/關(guān)于AE對(duì)稱，即DB=方法5正方形的典型模型正方形典型模型一、a=2b型解題技巧：證a=2b型問題，常取中點(diǎn)或倍長(zhǎng)構(gòu)造三角形中位線解決問題。例1.如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，求證：CE=2OF?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥壳笞C的是“a=2b型”，且在正方形中，常見的方法有2種：取中點(diǎn)構(gòu)造中位線；倍長(zhǎng)線段構(gòu)造中位線方法一：取中點(diǎn)構(gòu)造中位線，如下圖，取AE的中點(diǎn)M，連接OM∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)∴OM是△ACE的中位線∴2OM=CE，OM∥CE∵四邊形ABCD是正方形，AE是∠CAB的角平分線∴∠CAE=∠EAB=22.5°，∠ABC=90°，∠ACE=45°，∠DBC=45°∴∠CEA=180°－22.5°－45°=112.5°，∠AEB=180°－90°－22.5°=67.5°∴∠OMF=180°－112.5°=67.5°，∠OFM=∠EFB=180°－67.5°－45°=67.5°∴∠OMF=∠OFM∴OM=OF∴OE=2OF方法二：倍長(zhǎng)線段構(gòu)造中位線，如下圖，延長(zhǎng)AE至M處，使FM=AF∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AM的中點(diǎn)∴OF∥CM，2OF=CM角度推導(dǎo)同上知：∠AOF=90°，∠CME=66.5°∵CM∥OF∴∠MCA=∠AOF=90°∴∠MCE=45°∴∠CEM=66.5°∴△CEM為等腰三角形∴CE=CM∴CE=2OF二、a=2b型解題技巧：處理a=2b型問題，通常將a，b例1.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且AE=CF。求證：EF=2DE。【答案】見解析【解析】∵要證“a=2b”∴需要想辦法把a(bǔ)、b轉(zhuǎn)化到等腰直角三角形中去如下圖，連接DF，構(gòu)造出等腰直角三角形DEF∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠DCF=∠ADC=90°，AD=CD∵AE=CF∴△AED≌△CFD∴DE=DF，∠ADE=∠CDF∵∠ADC=90°∴∠EDF=90°∴△EDF是等腰直角三角形∴EF=2DE例2.如圖，在正方形ABCD中，E為AC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，ED=EF，求證：DF=2AE?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥糠治鐾?，需要將DF、AE構(gòu)造到等腰直角三角形中去如下圖，過點(diǎn)E作DC，AD的垂線，交DC，AD于點(diǎn)M，N∵四邊形ABCD是正方形∴∠ADC=90°，∠DAC=45°∵ED=EF∴△EDF為等腰三角形∴DM=MF∵∠ADC=∠DNE=∠DME=90°∴四邊形NEMD是矩形∴DM=NE∵∠DAC=45°∴△ANE是等腰直角三角形∴2NE=AE∴DF=2NE=2AE三、a±b=c解題技巧：結(jié)合45°角，利用截長(zhǎng)補(bǔ)短（或作垂線）構(gòu)全等。例1.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，DA上，∠EBF=45°，求證：EF=CE+AF?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥壳笞C：a+b=c型，在正方形中，結(jié)合45°角，利用截長(zhǎng)補(bǔ)短，易構(gòu)造出全等三角形如下圖，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)G，使GA=CE∵四邊形ABCD是正方形∴∠ECB=∠GAB=90°，BC=AB∵AG=CE∴△GAB≌△ECB∴∠GBA=∠EBC，GB=BE∵四邊形ABCD是正方形，∠FBE=45°∴∠ABF+∠EBC=45°∴∠GBF=∠GBA+∠ABF=45°=∠FBE∵BF=BF∴△GBF≌△EBF∴GF=EF∴AF+CE=EF例2.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在AD，AB上，且∠EOF=45°，求證：BF－AE=EF?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥糠治鏊悸吠线B接OB、OA，在AB上取一點(diǎn)G，使得BG=AE∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)∴∠AOB=90°，AO=OB，∠DAO=∠ABO=45°∵AE=BG∴△AEO≌△BGO∴∠GOB=∠AOE，OG=OE∠FOG=∠AOB－∠AOF－∠BOG=∠AOB－∠AOF－∠AOE=90°－45°=45°=∠EOF∵OF=OF∴△GOF≌△EOF∴EF=FB－AE四、a±b=2c型解題技巧：通過截長(zhǎng)補(bǔ)短法，轉(zhuǎn)化為“a=2b型”來解決。例1.如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形外一點(diǎn)，且AE⊥BE。求證：EA+EB=2OE。【答案】見解析【解析】先通過補(bǔ)短法，將“a+b”轉(zhuǎn)化為一條直線a，則該題型轉(zhuǎn)化為“a=2b型”如下圖，延長(zhǎng)EB至點(diǎn)M，使得BM=AE，連接OA，OB∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)∴AO=OB，∠AOB=90°∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°∴在四邊形AEBD中，∠EAO+∠EBO=180°∵∠EBO+∠OBM=180°∴∠OBM=∠OAE∵BM=AE∴△OBM≌△OAE∴OM=OE，∠MOB=∠AOE∴∠EOM=90°∴△EOM是等腰直角三角形∴2OE=EM∴EA+EB=2OE例2.如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一點(diǎn)，且AE⊥BE。求證：EB－EA=2OE?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥肯韧ㄟ^截長(zhǎng)法，將“a+b”轉(zhuǎn)化為一條直線a，則該題型轉(zhuǎn)化為“a=2b型”如下圖，在BE上取一點(diǎn)M，使得BM=AE，連接OA，OB∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)∴OA=OB，∠AOB=90°，∠ABO=∠OAD=45°∵AE⊥BE∴∠AEB=90°∴∠EAB+∠ABE=90°∵∠BAE+∠EAD=90°∴∠EAD=∠ABE∵∠ABE+∠EBO=45°，∠DAE+∠EAO=45°∴∠EAO=∠MBO∵AE=MB∴△AEO≌△BMO∴EO=MO，∠MOB=∠EOA∴∠EOM=90°∴△EOM是等腰直角三角形∴2EO=EM∴EB－EA=2EO方法6構(gòu)造正方形解題技巧：正方形是一種非常特殊的圖形，圖形性質(zhì)比較豐富，根據(jù)題中條件與正方形的共同之處構(gòu)造正方形，再利用正方形的特性可使得解題間接。通常有以下3種構(gòu)造正方形的方法：構(gòu)造正方形一、利用45°角構(gòu)造正方形例1.如圖，RA⊥AB，QB⊥AB，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，求AB的長(zhǎng)?！敬鸢浮縣【解析】構(gòu)造正方形：過R作BQ的垂線交BQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，如下圖則AB=RC∵∠RPA=75°，∠QPB=45°∴∠RPQ=180°－（75°+45°）=60°∠PQB=90°－45°=45°∵RP=PQ∴△PRQ是等邊三角形∴RP=RQ∵∠RQC=180°－（60°+45°）=75°∴∠RQC=∠RPA∴△APR≌△CQR∴AB=RC=AR=h二、利用四邊形構(gòu)造正方形例1.如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點(diǎn)E。若AE=10，求四邊形ABCD