平面向量應(yīng)用舉例

2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5.1平面幾何向量中的向量方法2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例1.平面幾何中的向量方法

向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)”的計(jì)算，這就為我們解決物理問(wèn)題和幾何研究帶來(lái)極大的方便。平面幾何圖像的許多性質(zhì)如距離、平行、三點(diǎn)共線、垂直、夾角等幾何問(wèn)題充分利用向量這個(gè)工具來(lái)解決引言例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，ABCD你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？猜想：矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系？ABCD結(jié)論：矩形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。探索：

平行四邊形中，以上關(guān)系是否依然成立？例1、證明平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：解：設(shè)，則

結(jié)論：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的一般步驟：形到向量用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角、平行、垂直等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。向量的運(yùn)算向量和數(shù)到形例2.如圖，ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、

DC邊的中點(diǎn)，BE、

BF分別與AC交于R、

T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、

RT、TC之間的關(guān)系嗎？猜想：AR=RT=TCABCDEFRTABCDEFRT解：設(shè)則因?yàn)樗杂忠驗(yàn)楣簿€，所以設(shè)由于與共線，所以設(shè)不共線，故AT=RT=TCABCDEFRT練習(xí):用向量方法證明：直徑所對(duì)的圓周角為直角。已知:如圖，AC為⊙O的一條直徑，∠ABC是圓周角求證：∠ABC=90°利用向量的數(shù)量積可解決長(zhǎng)度、角度、垂直等問(wèn)題情景1：兩人一起提一個(gè)重物時(shí),怎樣提它最省力?情景2:一個(gè)人靜止地垂掛在單杠上時(shí),手臂的拉力與手臂握杠的的姿勢(shì)有什么關(guān)系?兩力的夾角越小越省力兩臂的夾角越小,手臂就越省力2、向量在物理中的應(yīng)用舉例例3.在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn):兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力;在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析：上述的問(wèn)題跟如圖所示的是同個(gè)問(wèn)題，抽象為數(shù)學(xué)模型如下：用向量F1,F2表示兩個(gè)提力,它們的合向量為F，物體的重力用向量G來(lái)表示，F(xiàn)1，F(xiàn)2的夾角為θ，如右圖所示，只要分清F，G和θ三者的關(guān)系，就得到了問(wèn)題得數(shù)學(xué)解釋！解：不妨設(shè),由向量的

平行四邊形法則,力的平衡以及直角三角形的知識(shí),通過(guò)上面的式子，知當(dāng)θ由0o到180o逐漸變大時(shí)，由0o到90o逐漸變大，的值由大逐漸變小.可以知道：即之間的夾角越大越費(fèi)力,夾角越小越省力！由小逐漸變大.（1）θ為何值時(shí)，最小，最小值是多少？（2）能等于嗎？為什么？

答：在上式中，當(dāng)θ=0o時(shí)，最大，最小且等于答：在上式中，當(dāng)即θ=120o時(shí)，探究一（3）生活中常遇到兩根等長(zhǎng)的繩子掛一個(gè)物體.繩子的最大拉力為,物體重量為,分析繩子受到的拉力大小F1與兩繩子間的夾角θ的關(guān)系？探究二探究三(4)如果繩子的最大承受力為

θ在什么范圍內(nèi),繩子才不會(huì)斷？從而可知，當(dāng)時(shí)繩子不會(huì)斷。向量在物理中的應(yīng)用一般步驟：（1）問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,即把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.（2）模型的建立,即建立以向量為主題的數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)題.（3）問(wèn)題的答案,即回到問(wèn)題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.向量在物理中的應(yīng)用（三步曲）：如圖所示，用兩條成120o的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具的重量為10N，則每根繩子的拉力是________.120o10N練一練例4.如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度d=500m,一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸,已知船的速度,水流速度問(wèn)行駛航程最短時(shí),所用時(shí)間是多少？(精確到0.1min)AB答：行駛的航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是3.1min。解：如圖，由已知條件得課堂小結(jié)（1）問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,即把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.（2）模型的建立,即建立以向量為主題的數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)