2023學(xué)年完整公開課版幾何概型2

3.1.1幾何概型泉港一中黃生生

引例1：取一根長度為3米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪的兩段的長度都不小于1米的概率是多少?引例2：在2L純凈水中混入了一粒病菌，從中隨機(jī)取出10mL，求含有這粒病菌的概率是多少？

為什么要學(xué)習(xí)幾何概型?

引例引例3：如圖所示，在一個邊長為5cm的正方形內(nèi)部畫一個邊長為3cm的小正方形，向大正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落入小正方形內(nèi)的概率？

能否用古典概型的公式來求解?

以上3個引例有什么共同特點(diǎn)？（1）每個試驗結(jié)果（基本事件）出現(xiàn)的可能性相等.

（2）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.幾何概型的特點(diǎn):

(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個.

(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

在幾何概型中,事件A的概率的計算公式如下:解:設(shè)A={等待的時間不多于10分鐘}.我們所關(guān)心的事件A恰好是打開收音機(jī)的時刻位于[50,60]時間段內(nèi),因此由幾何概型的求概率的公式得即“等待的時間不超過10分鐘”的概率為例1某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺整點(diǎn)報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率.例2:圖中有兩個轉(zhuǎn)盤.甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙獲勝.在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少?事實上,甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的圓弧的長度有關(guān),而與字母B所在區(qū)域的位置無關(guān).因為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤時,指針指向圓弧上哪一點(diǎn)都是等可能的.不管這些區(qū)域是相鄰,還是不相鄰,甲獲勝的概率是不變的.例3

假設(shè)你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6:30—7:30之間把報紙送到你家,你父親離開家去工作的時間在早上7:00—8:00之間,問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少?解:以橫坐標(biāo)x表示報紙送到時間,以縱坐標(biāo)y表示父親離家時間建立平面直角坐標(biāo)系,假設(shè)隨機(jī)試驗落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意,只要點(diǎn)落到陰影部分,就表示父親在離開家前能得到報紙,即時間A發(fā)生,所以1.有一杯1升的水,其中含有1個細(xì)菌,用一個小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個細(xì)菌的概率.2.如右下圖,假設(shè)你在每個圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,分別計算它落到陰影部分的概率.

練習(xí)3.一張方桌的圖案如圖所示。將一顆豆子隨機(jī)地扔到桌面上，假設(shè)豆子不落在線上，求下列事件的概率：（1）豆子落在紅色區(qū)域；（2）豆子落在黃色區(qū)域；（3）豆子落在綠色區(qū)域；（4）豆子落在紅色或綠色區(qū)域；（5）豆子落在黃色或綠色區(qū)域。對于復(fù)雜的實際問題,解題的關(guān)鍵是要建立模型,找出隨機(jī)事件與所有基本事件相對應(yīng)的幾何區(qū)域,把問題轉(zhuǎn)化為幾何概率問題,利用幾何概率公式求解.

甲乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面,并約定先到者應(yīng)等候另一個人一刻鐘,到時即可離去,求兩人能會面的概率.

思考1.幾何概型的特點(diǎn).2.幾何