2023學年完整公開課版對數(shù)函數(shù)

§2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一般地，如果的b次冪等于N,就是，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。復習對數(shù)的概念定義：

由前面的學習我們知道：如果有一種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，···，1個這樣的細胞分裂x次會得到多少個細胞？如果知道了細胞的個數(shù)y，如何確定分裂的次數(shù)x呢？由對數(shù)式與指數(shù)式的互化可知：上式可以看作以y為自變量的函數(shù)表達式對于每一個給定的y值都有惟一的x的值與之對應，把y看作自變量，x就是y的函數(shù)，但習慣上仍用x表示自變量，y表示它的函數(shù)：即這就是本節(jié)課要學習的：

定義：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）。對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，

對數(shù)函數(shù)判斷：以下函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（）1.y=log2(3x-2)2.y=log(x-1)x3.y=log1/3x24.y=lnx5.小試牛刀4

學習函數(shù)的一般模式（方法）：解析式（定義）圖像性質(zhì)應用數(shù)形結合①定義域②值域③單調(diào)性⑤奇偶性④最值知識結構在同一坐標系中用描點法畫出對數(shù)函數(shù)的圖象。作圖步驟:

①列表,②描點,③用平滑曲線連接。探究：對數(shù)函數(shù):

y=logax(a＞0,且a≠1)圖象與性質(zhì)二.對數(shù)函數(shù)的圖象:1.描點畫圖的變量x,y的對應值對調(diào)即可得到y(tǒng)=logax(a>0,a≠1)的變量對應值表如下.注意只要把指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)列表描點連線21-1-21240yx3x1/41/2124

2 1 0 -1 -2-2 -1 0 12

思考這兩個函數(shù)的圖象有什么關系呢？關于x軸對稱………………y=log1/2xy=log2x2.思考：對數(shù)函數(shù):y=logax(a＞0,且a≠1)

圖象隨著a

的取值變化圖象如何變化？有規(guī)律嗎？對數(shù)函數(shù)的圖象。猜猜:21-1-21240yx3

底大圖右y=1對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)問題：你能類比前面討論指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路，提出研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容和方法嗎？研究內(nèi)容：定義域、值域、特殊點、單調(diào)性、最大（小）值、奇偶性．類比指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究，研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并填寫如下表格：3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=logax(a＞0且a≠1)底數(shù)a＞10＜a＜1圖象定義域奇偶性值域定點單調(diào)性函數(shù)值符號1xyo1xyo非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)(0,+∞)R(1,0)即x=1時，y=0在(0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)當x＞1時，y＞0當0＜x＜1時，y＜0當x＞1時，y＜0當0＜x＜1時，y＞0補充性質(zhì)二底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)的圖象關于x軸對稱。補充性質(zhì)一圖形10.5y=logx0.1y=logx10y=logx2y=logx0xy0<a<1時,底數(shù)越小,其圖象越接近x軸。底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)的圖象關于x軸對稱。a>1時,底數(shù)越大,其圖象越接近x軸。Clog,log,log,log則下列式子中正確的是（）的圖像如圖所示，

函數(shù)xyxyxyxydcba====練習例2.求下列函數(shù)的定義域求定義域依據(jù)：(1)分母≠0(2)開偶次方時，

被開方數(shù)≥0(4)含對數(shù)式時，

真數(shù)>0(3)含指數(shù)式時，00無意義依據(jù)：(1)分母≠0(2)開偶次方時，

被開方數(shù)≥0(4)含對數(shù)式時，

真數(shù)>0(3)含指數(shù)式時，00無意義例3.比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?1)log23.4,log28.53.4log23.4log28.5yy=log2x解：因為函數(shù)y=log2x在(0,+∞)上是增函數(shù)，

且3.4＜8.5所以log23.4＜log28.58.5方法一：方法二：數(shù)形結合法函數(shù)單調(diào)性例3.比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?/p>

(2)log0.31.8,log0.32.71.8log0.31.8log0.32.7解：因為函數(shù)y=log0.3x在(0,+∞)上是減函數(shù)，

且1.8＜2.7所以log0.31.8>log0.32.7.2.7yy=log0.3x方法一：方法二：5.1loga5.1loga5.9因為函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù)，

且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.95.9例3.比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?3)loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)y解：當a>1時5.1loga5.1loga5.95.9因為函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是減函數(shù)，

且5.1<5.9，所以loga5.1>loga5.9解：當0<a<1時綜上知：當a>1時loga5.1＜loga5.9，當0<a<1時，loga5.1>loga5.9.log0.60.2例3.比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?/p>

(4)log0.60.2,log2.30.7y解：因為log0.60.2>0,log2.30.7<0log2.30.7所以log0.60.2>log2.30.70.20.7（一）同底數(shù)比較大小

1.當?shù)讛?shù)確定時，（三）若底數(shù)、真數(shù)都不相同,則常借助1、0等中間量進行比較。小結：兩個對數(shù)比較大小（二）同真數(shù)比較大小

1.通過換底公式；

2.利用函數(shù)圖象。則可由函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷；2.當?shù)讛?shù)不確定時，應對底數(shù)進行分類討論。你能口答嗎？變一變還能口答嗎？＜＞＞＜＜＞＞＜＜＜＜＜名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式 y=ax

y=Logax圖像a>10<a<1定義域R R+值域R+R單調(diào)性a>1增函數(shù)增函數(shù)0<a<1減函數(shù)減函數(shù)函數(shù)的變化情況a>1x<0時，0<y<1，x>0時，y>10<x<1時，y<0x>1時，y>00<a<1x<0時，y>1x>0時，0<y<10<x<1時，y>0x>1時，y<0指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較一覽表同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。反函數(shù)的性質(zhì)：（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱。（2）若函數(shù)y=f(x)的圖像上有一點（a,b)，則(b,a)必在其反函數(shù)的圖像上。反之亦然。（3）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性相同。例：函數(shù)的反函數(shù)的定義域為：

。2.若函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(1,0)，且函數(shù)g(x)＝f(4－x)存在反函數(shù)，則g(x)＝f(4－x)的反函數(shù)圖象必過點________．解

由題意有f(1)＝0，又g(3)＝f(4－3)＝f(1)＝0，∴函數(shù)g(x)的反函數(shù)圖象過點(0,3)，故填(0,3)．②③5

．對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1、x2(x1≠x2)，有如下結論：

①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；

②

f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；

③f(x1)－f(x2)x1－x2>0；

④f(????x1＋x22<f(x1)＋f(x2)2.

當f(x)＝lgx時，上述結論中正確結論的序號是

.

1如果是對數(shù)函數(shù)，

則m的值是—.2,函數(shù)的圖像一定過A(1,0)C(-2,0)B(0,1)D(1,1)鞏固練習：答案：AA．(－1,0)

B．(0,1)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解

∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)對定義域內(nèi)的任一x值均成立6.若函數(shù)求a的取值范圍.12．已知f(x)＝lgx，則y＝|f(1－x)|的大致圖象是()[答案]

A[解析]

15.解下列方程(或不等式)．解

(1)因為9x＝32x,4x＝22x,6x＝2x·3x，所以原方程可化為2·32x－5·3x·2x＋2·22x＝0，(2)原不等式可化為logax(logax－m)<0①當m>0時，由①解得0<logax<m，若a>1，則1<x<am；若0<a<1，則am<x<1.當m<0，由①解得m<logax<0，若a>1，則am<x<1；若0<a<1，則1<x<am.當m＝0時，①無解．設方程2x＋x－3＝0的根為α，方程log2x＋x－3＝0的根為β，求α＋β的值．[分析]

直接解方程是十分困難的，運用數(shù)形結合思想，借助于函數(shù)的圖象，注意到指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系則使問題易于解決．[解析]

將方程整理得