2021新教材高中數(shù)學第10章概率 教學用書教案新人教A版必修第二冊

第十章概率

10.1陵機事件與概率

10.1.1有限樣本空間與隨機事件

素養(yǎng)目標?定方向

素養(yǎng)目標學法指導

1.理解樣本點和有限樣本空間的含義.(數(shù)學1.類比集合的有關概念來認識樣本空間.

抽象)2.類比集合與集合之間的關系來認識隨機事

2.理解隨機事件與樣本點的關系.(邏輯推理)件.

必備知識,探新知

知識點1隨機試驗及樣本空間

1.隨機試驗的概念和特點

(1)隨機試驗：我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗,簡稱試驗,

常用字母E來表示.

(2)隨機試驗的特點：

①試驗可以在相同條件下」復—進行；

②試驗的所有可能結果是一明確可知一的,并且不止一個；

③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果.

2.樣本點和樣本空間

定義字母表示

我們把隨機試驗E的.每個可能的

樣本點用改一表示樣本點

基本結果一稱為樣本點

樣本全體一樣本點一的集合稱為試驗E

用。表示樣本空間

空間的樣本空間

如果一個隨機試驗有〃個可能結果

有限樣W\,W2，…，皿1，則稱樣本空間。

。={孫，W2,…，Wn}

本空間={41，S，…，助?}為有限樣本空

間

■

知識點2三種事件的定義

隨機我們將樣本空間a的衛(wèi)年稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一

事件個樣本點的事件稱為基本事件,隨機事件一般用大寫字母A,B,C,-

表示.在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生

必然。作為自身的子集，包含了一所有的一樣本點,在每次試驗中總有一個樣

事件本點發(fā)生，所以a總會發(fā)生，我們稱。為必然事件

不可能空集。不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱。為不可能事

事件件

［知識解詞5］1.隨機試驗的三個特點

(1)試臉可以在相同條件下重復進行；

(2)試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；

(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果.

2.關于樣本點和樣本空間

(1)樣本點是指隨機試驗的每個可能的基本結果，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空

間；

(2)只討論樣本空間為有限集的情況，即有限樣本空間.

3.事件與基本事件

(1)隨機事件是樣本空間的子集.隨機事件是由若干個基本事件構成的，當然，基本事件

也是隨機事件.

(2)必然事件與不可能事件不具有隨機性，是隨機事件的兩個極端情形.

關鍵能力?攻重難

題型探究

題型一事件類型的判斷

■典例1在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機事

件？

⑴如果a、b都是實數(shù),那么a+b=b+a；

(2)從分別標有1,2,345,6的6張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，得?號簽；

(3)沒有水分，種子發(fā)芽；

(4)某電話總機在60秒內接到至少15個電話；

(5)在標準大氣壓下，水的溫度達到50℃時會沸騰；

(6)同性電荷相互排斥.

I分析I依據(jù)事件的分類及其定義，在給出的條件下，判斷事件是否發(fā)生.

［解析］結合必然事件、不可能事件、隨機事件的定義可知.

(1)對任意實數(shù)，都滿足加法的交換律，故此事件是必然事件.

(2)從6張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，得?號簽，此事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故此事件

是隨機事件.

(3)適宜的溫度和充足的水分，是種子萌發(fā)不可缺少的兩個條件，沒有水分，種子就不

可能發(fā)芽，故此事件是不可能事件.

(4)電話總機在60秒內接到至少15個電話，此事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故此事

件是隨機事件.

(5)在標準大氣壓下，水的溫度達到100°C時，開始沸騰，水溫達到50℃,水不會沸騰,

故此事件是不可能事件.

(6)根據(jù)“同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引”的原理判斷，該事件是必然事件.

［歸納提升I判斷一個事件是隨機事件、必然事件還是不可能事件，首先一定要看條件，

其次是看在該條件下所研究的事件是一定發(fā)生(必然事件)、不一定發(fā)生(隨機事件)，還是一

定不發(fā)生(不可能事件).

【對點練習】?指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機事件：

(1)我國東南沿海某地明年將受到3次冷空氣的侵襲：

(2)拋擲硬幣10次，至少有一次正面向上；

(3)同一門炮向同一目標發(fā)射多枚炮彈，其中50%的炮彈擊中目標.

|解析】(1)我國東南沿海某地明年可能受到3次冷空氣侵襲，也可能不是3次，是隨機

事件.

(2)拋擲硬幣10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是隨機事件.

(3)同一門炮向同一目標發(fā)射，命中率可能是50%,也可能不是50%,是隨機事件.

題型二確定試驗的樣本空間

■典例2下列隨機事件中，一次試驗各指什么？試寫出試驗的樣本空間.

(1)先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣多次；

(2)從集合A={a,b,c,d}中任取3個元素；

(3)從集合A={a,b,c,d}中任取2個元素.

I解析I(1)一次試驗是指“先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣一次"，試驗的樣本空間為：

{(正,反)，(正，正)，(反,反)，(反,正)}.

(2)一次試驗是指“從集合4中一次選取3個元素組成集合”，試驗的樣本空間為：{(?,

b,c),(a,b,d),(a,c,d),(h,c,d)}.

(3)一次試驗是指“從集合4中一次選取2個元素”，試驗的樣本空間為：{(a,b),(a,

c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}.

［歸納提升］不重不漏地列舉試臉的所有樣本點的方法

(1)結果是相對于條件而言的，要弄清試驗的結果，必須首先明確試驗中的條件.

(2)根據(jù)日常生活經驗，按照一定的順序列舉出所有可能的結果，可應用畫樹狀圖、列

表等方法解決.

【對點練習】?袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球，分別寫出以下隨機試驗

的條件和樣本空間.

(1)從中任取1球；

(2)從中任取2球.

［解析］(1)條件為：從袋中任取1球.樣本空間為{紅，白，黃，黑}.

(2)條件為：從袋中任取2球.若記(紅，白)表示一次試驗中，取出的是紅球與白球，樣

本空間為{(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)}.

題型三隨機事件的表示

?■■典例3一個口袋內裝有除顏色外完全相同的5個球，其中3個白球，2個黑

球，從中一次摸出2個球.

(1)一共有多少個樣本點？

(2)寫出“2個球都是白球”這一事件的集合表示.

I解析I(1)分別記白球為1,2,3號，黑球為4,5號，則這個試驗的樣本點為(1,2),(1,3),

(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10個［其中(1,2)表示摸到1號球和2

號球］.

(2)記2表示“2個球都是白球”這一事件，則4={(1,2),(1,3),(2,3)}.

［歸納提升］1.判隨機事件的結果是相對于條件而言的，要確定樣本空間，(1)必須明

確事件發(fā)生的條件；(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出所有樣本點.特別要注意結果出現(xiàn)的機

會是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復也不遺漏.

2.試驗中當試驗的結果不唯一時，一定要將各種可能都要考慮到，尤其是有順序和無

順序的情況最易出錯.

【對點練習】?做拋擲紅、藍兩枚骰子的試驗，用(x,y)表示結果，其中x表示紅色

骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示藍色骰子出現(xiàn)的點數(shù).寫出：

(1)這個試驗的樣本空間；

(2)這個試驗的結果的個數(shù)；

(3)指出事件4={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}的含義;

(4)寫出“點數(shù)之和大于8”這一事件的集合表示.

［解析］(1)這個試驗的樣本空間Q為

{(1,1).(1,2),(1,3).(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),

(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)).

(2)這個試臉的結果的個數(shù)為36.

(3)事件4的含義為拋擲紅、藍兩枚骰子，擲出的點數(shù)之和為7.

(4)記8="點數(shù)之和大于8"，則8={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),

(6,4),(6,5),(6,6)}.

易錯警示

忽視試驗結果與順序的關系而致誤

■典例4已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},從這兩個集合中各取一個元素

分別作為點的橫、縱坐標.

(1)寫出這個試驗的基本事件空間；

(2)求這個試驗的基本事件的總數(shù).

［錯解］⑴這個試驗的基本事件空間。={(一2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,一4),(3,5),

(3,6)).

(2)這個試驗的基本事件的總數(shù)是6.

［錯因分析］題中要求從兩個集合中各取一個元素分別作為點的橫、縱坐標，所以集合

N中的元素也可以作為橫坐標，錯解中少了以下基本事件：(-4,-2),(-4,3),(5,-2),

(5,3),(6,-2),(6,3).

［正解］⑴這個試驗的基本事件空間。={(一2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),

(3,6),(-4,-2),(—4,3),(5,-2),(5,3),(6,一2),(6,3)}.

(2)這個試驗的基本事件的總數(shù)是12.

【對點練習】?同時拋擲兩枚大小相同的骰子，用(x,y)表示結果，記A為“所得點

數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點的個數(shù)是(D)

A.3B.4

C.5D.6

［解析］(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6個樣本點.

10.1.2事件的關系和運算

素養(yǎng)目標?定方向

素養(yǎng)目標學法指導

1.理解事件的關系與運算.(邏輯推理)

本部分內容要類比集合的關系和運算來理解

2.理解互斥事件和對立事件的概念.(數(shù)學抽

事件的關系和運算.

象)

必備知識探新知

知識點1事件的運算

定義表示法圖示

一事件A與事件B至少有一

個發(fā)生一，稱這個事件為事

并事件4U8（或A+B）

件A與事件8的并事件(或

和事件)

事件4與事件B同時發(fā)生

一,稱這樣一個事件為事件

交事件ACI8（或AB）

A與事件B的交事件(或積

事件)

知識點2事件的關系

定義表示法圖示

若事件A發(fā)生，事件8一定發(fā)

包含

生一，稱事件B包含事件A(或事824（或AGB）

關系

件4包含于事件B)

如果事件A與事件B果能同時

互斥若，則A與B互

發(fā)生一，稱事件A與事件8互斥

事件斥

(且互不相容)

如果事件A和事件B在任何一次

對立試驗中有且僅有一個發(fā)生若AC8=0,且4UB=Q,

事件一,稱事件A與事件8互為對立，則A與B對立（3D

事件A的對立事件記為彳

［知識解讀］1.互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系

(1)區(qū)別：兩個事件A與8是互斥事件，包括如下三種情況：①若事件A發(fā)生，則事件

B就不發(fā)生；②若事件8發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；③事件A,8都不發(fā)生.

而兩個事件A,8是對立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與8是對立事件，則AU

8是必然事件，但若A與B是互斥事件，則不一定是必然事件，即事件A的對立事件只有

一個，而事件A的互斥事件可以有多個.

(2)聯(lián)系：互斥事件和對立事件在一次試驗中都不可能同時發(fā)生，而事件對立是互斥的

特殊情況，即對立必互斥，但互斥不一定對立.

2.從集合的角度理解互斥事件與對立事件

(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合的交集為空集.

(2)事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集

合的補集.

關鍵能力攻重難

題型探究

題型一互斥事件、對立事件的判定

■典例1(1)(2020.河南省南陽市期中)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多

有一次中靶”的互斥事件是(A)

A.兩次都中靶B.至少有一次中靶

C.兩次都不中靶D.只有一次中靶

(2)(2020?湖南省懷化市期末)一個人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對立事

件是(D)

A.恰有一次擊中B.三次都沒擊中

C.三次都擊中D.至多擊中一次

I解析】⑴事件“至多有一次中靶"包含“只有一次中靶”和“兩次都不中靶”，因此

不會與其同時發(fā)生的事件是“兩次都中靶”.

(2)根據(jù)題意，一個人連續(xù)射擊三次，事件“至少擊中兩次”包括“擊中兩次”和“擊

中三次”兩個事件，其對立事件為“一次都沒有擊中和擊中一次”，即“至多擊中一次”.

［歸納提升I判斷事件間關系的方法

(1)要考慮試臉的前提條件，無論是包含、相等，還是互斥、對立其發(fā)生的條件都是一

樣的.

(2)考慮事件間的結果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對較難判斷關系的，也

可列出全部結果，再進行分析.

【對點練習】?有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、

南、西、北四個方向前進，每人一個方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”是(A)

A.互斥但非對立事件B.對立事件

C.非互斥事件D.以上都不對

［解析］由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事

件，但不是對立事件.

題型二事件的運算

■典例2在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件.例如，事件G=｛出現(xiàn)1點｝,

事件C2=｛出現(xiàn)2點｝,事件C3=｛出現(xiàn)3點｝,事件。4=｛出現(xiàn)4點｝,事件C5=｛出現(xiàn)5點｝,

事件C6=｛出現(xiàn)6點｝,事件d=｛出現(xiàn)的點數(shù)不大于1｝,事件02=｛出現(xiàn)的點數(shù)大于3｝,

事件=｛出現(xiàn)的點數(shù)小于5｝,事件E=｛出現(xiàn)的點數(shù)小于7｝,事件F=｛出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)｝,

事件G=｛出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)｝,請根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題：

(1)請舉出符合包含關系、相等關系的事件；

(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件.

［解析］(1)因為事件Ci,Ci,C3,C4發(fā)生，則事件Da必發(fā)生，所以CI=￡>3,C2QD3,

C3￡D3,

同理可得，事件E包含事件G,C2,C3,C4,C5,C6；事件包含事件C4,C5,C6；

事件F包含事件C2,C4,C6；事件G包含事件Cl,C3,C5.

且易知事件Ci與事件G相等，

即G="

(2)因為事件￡>2=｛出現(xiàn)的點數(shù)大于3｝=｛出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點｝,

所以G=C4UC5UC6(或。2=C4+CS+C6).

同理可得，￡>3=G+C2+C3+C4,E=C|+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6)G

=CI+CJ+C5.

［歸納提升］事件運算應注意的2個問題

(1)進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗可

能出現(xiàn)的全部結果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析.

(2)在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件之間的關系時，可以根據(jù)常識來判斷.但如

果遇到比較復雜的題目，就得嚴格按照事件之間關系的定義來推理.

【對點練習】?盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設事件4={3個

球中有1個紅球2個白球},事件B={3個球中有2個紅球1個白球},事件C={3個球中

至少有1個紅球},事件。={3個球中既有紅球又有白球}.

問：(1)事件。與A,8是什么樣的運算關系？

(2)事件C與4的交事件是什么事件？

(3)設事件E={3個紅球},事件F={3個球中至少有1個白球},那么事件C與B,E

是什么運算關系？C與尸的交事件是什么？

［解析］(1)對于事件。，可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故力=

AUB.

(2)對于事件C,可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球或3個均為紅球，

故CnA=A.

(3)由事件C包括的可能結果有1個紅球2個白球，2個紅球1個白球，3個紅球三種情

況，故BUC,EQC,而事件廠包括的可能結果有1個白球2個紅球，2個白球1個紅球，

3個白球，所以CCF={1個紅球2個白球，2個紅球1個白球}=D

題型三用集合運算表示隨機事件

■典例3設A,B,C表示三個隨機事件，試將下列事件用A,B,C表示出來.

(1)三個事件都發(fā)生；

(2)三個事件至少有一個發(fā)生；

(3)A發(fā)生，B,C不發(fā)生；

(4)48都發(fā)生，C不發(fā)生；

(5)4,B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生；

(6)A,B,C中恰好有兩個發(fā)生.

［解析］(1)A2C(2)AUBUC

(3)ABC(4)ABC(5)(AUB)C

(6)ABCUA~BCUABC

［歸納提升］利用隨機事件的運算與集合運算的對應關系，可以有效地解決此類問題.

【對點練習】?從某大學數(shù)學系圖書室中任選一本書.設A表示事件“任選一本書,

這本書為數(shù)學書”；B表示事件“任選一本書，這本書為中文版的書”；C表示事件“任選

一本書，這本書為2000年后出版的書”.問：

表示什么事件？

(2)在什么條件下有ABC=A?

(3)8表示什么意思？

|解析】(1)A8^表示事件“任選一本書，這本書為2000年或2000年前出版的中文版

的數(shù)學書”.

(2)在“圖書室中所有數(shù)學書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有ABC=A.

(3)C￡B表示2000年或2000年前出版的書全是中文版的.

易錯警示

不能正確區(qū)分對立事件和互斥事件致錯

■典例4進行拋擲一枚骰子的試驗，有下列各組事件：

(1)“出現(xiàn)1點”與“出現(xiàn)2點”；

(2)”出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”；

(3)“出現(xiàn)大于3的點”與“出現(xiàn)大于4的點”.

其中是對立事件的組數(shù)是(B)

A.0B.I

C.2D.3

［錯解］C

［錯因分析］錯解混淆了互斥事件與對立事件，誤將互斥事件當作了對立事件.只有

(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”是對立事件，而(1)中“出現(xiàn)1點”與“出現(xiàn)2點”是

互斥事件，但不是對立事件，(3)中“出現(xiàn)大于3的點”與“出現(xiàn)大于4的點”不是互斥事

件，所以也不是對立事件.

［正解］B

I誤區(qū)警示］對立事件一定是互斥事件，而互斥事件卻不一定是對立事件.忽略互斥事件

與對立事件之間的區(qū)別與聯(lián)系，對“恰”“至少”“都”等詞語理解不透徹.判斷兩個事件

是否互斥，就要看它們是否能同時發(fā)生；判斷兩個互斥事件是否對立，就要看它們是否有一

個必然發(fā)生.

【對點練習】?(2020?廣東省茂名市期末)若干人站成一排，其中為互斥事件的是

(A)

A.“甲站排頭”與“乙站排頭”

B.“甲站排頭”與“乙站排尾”

C.“甲站排頭”與“乙不站排頭”

D.“甲不站排頭”與“乙不站排頭”

［解析I根據(jù)互斥事件不能同時發(fā)生，判斷A是互斥事件；B,C,D中兩事件能同時

發(fā)生，故不是互斥事件.

10.1.3古典概型

素養(yǎng)目標?定方向

素養(yǎng)目標學法指導

1.明確古典概型的基本特征，根據(jù)實際問題

1.古典概型的計算方法.（數(shù)學抽象）

構建概率模型，解決簡單的實際問題.

2.運用古典概型計算概率.（數(shù)學運算）

2.注意區(qū)分有放回抽?。看纬槿≈蟊怀槿?/p>

3.在實際問題中建立古典概型模型.（數(shù)學建

的物體總數(shù)不變）與無放回抽取（每次抽取之

模）

后被抽取的物體總數(shù)減少）.

必備知識,探新知

知識點1隨機事件的概率

對隨機事件發(fā)生_可能性大小一的度量（數(shù)值）稱為事件的概率,事件A的概率用

P（A）表示.

知識點2古典概型

一般地，若試驗E具有以下特征：

（1）有限性：樣本空間的樣本點只有念_；

（2）等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性—相笠

稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為一古典概率一模型,簡稱_占典概型一.

知識點3古典概型的概率公式

一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Q包含〃個樣本點，事件A包含其中的上個

樣本點，則定義事件A的概率尸⑷臉一

［知識解讀］（1）隨機試驗E中的樣本點

①任何兩個樣本點都是互斥的；

②任何事件（除不可能事件）都可以表示成某些樣本點的和.

（2）求解古典概型問題的一般思路

①明確試驗的條件及要觀察的結果，用適當?shù)姆枺ㄗ帜?、?shù)字、數(shù)組等）表示試驗的樣

本點（借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有樣本點）；

②根據(jù)實際問題情景判斷樣本點的等可能性；

③計算樣本點總個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率.

關鍵能力攻重難

題型探究

題型一古典概型的判斷

■典例1下列試驗是古典概型的是①②④.

①從6名同學中選出4人參加數(shù)學競賽，每人被選中可能性大小相等；

②同時擲兩顆骰子，點數(shù)和為6的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.

［分析1緊扣古典概型的兩大特征——有限性與等可能性進行判斷.

［解析］①②④是古典概型，因為符合古典概型的特征.③不是古典概型，因為不符合等

可能性，降雨受多方面因素影響.

［歸納提升］判斷試驗是不是古典概型，關鍵看是否符合兩大特征——有限性和等可能

性.

【對點練習】?下列是古典概型的是(C)

A.任意擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和作為基本事件時

B.求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將去除的正整數(shù)作為基本事件時

C.從甲地到乙地共”條路線，求某人正好選中最短路線的概率

D.拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止

［解析］A項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項中的基本事件是無

限的，故B不是；C項滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項中基本事件可能

會無限個，故D不是.

題型二古典概型的概率計算

■典例2甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1

男2女.

(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結果，并求選出的2

名教師性別相同的概率；

(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師

來自同一所學校的概率.

［分析1(1)要求2名教師性別相同的概率，應先寫出所有可能的結果，可以采用列舉法

求解.

(2)要求選出的2名教師來自同一所學校的概率，應先求出2名教師來自同一所學

校的基本事件.

［解析I(1)甲校2名男教師分別用A,8表示，1名女教師用C表示；乙校1名男教師

用O表示，2名女教師分別用E,尸表示.

從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結果為：(A,。),(A,E),(A,F),

(B,D),(B,E),(B,F),(C,。)，(C,E),(C,F),共9種.

從中選出2名教師性別相同的結果有：(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4種，

所以選出的2名教師性別相同的概率為P=14.

(2)從甲校和乙校報名的6名教師中任選2名的所有可能的結果為：(4,B),(A,0,(A,

。)，(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(￡>,

￡),(D,F),(E,F),共15種.

從中選出2名教師來自同一所學校的結果有：(A,B),(A,。，(B,Q,(D,E),(D,

F),(E,F),共6種，所以選出的2名教師來自同一所學校的概率為尸=9=|.

［歸納提升］1.對于古典概型，任何事件A的概率為：

A包含的基本事件的個數(shù)平

"A尸基本事件的總數(shù)〃-

2.求古典概型概率的步躲為：

(1)判斷是否為古典概型：

(2)算出基本事件的總數(shù)〃；

(3)算出事件A中包含的基本事件個數(shù)m\

(4)算出事件A的概.率，即P(A)=—.

在運用公式計算時，關鍵在于求出機、〃.在求〃時，應注意這〃種結果必須是等可能的，

在這一點上比較容易出錯.

3.對于事件總數(shù)較多的情況，在解題時，沒有必要一一列舉出來，只將我們解題需要

的列舉出來分析即可.

【對點練習】?某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家4,A2,A3和3個歐洲國家囪，

B2,當中選擇2個國家去旅游.

(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；

(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括Ai但不包括Bi的概率.

［解析］(1)由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結果組成的樣本點有：

HA，42)，(Ai,A3),(Ai,Bi),(Ai,&),(Ai,B3),(A2,A3),(A2,B\),(A2,Bi),(A2,

&),(A3,Bi),(A3,Bi),(As,B3),(Bi,Bi),(Bi,83),(%,&)},共15個.

所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的樣本點有：

{(Ai,A2),(A,,A3),{A2,A3)},共3個,

31

則所求事件的概率為

(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結果組成的樣本點有：

{(Ai,Bi),(Ai,B2),(4,83),(A2,Bi),(A2,&),(A2,氏)，(As,B\),(A3,Bi),(A3,

&)},共9個.

包括Ai但不包括Bi的事件所包含的樣本點有：

2

{(4,B2),(AI,共2個，則所求事件的概率為p=§.

題型三較復雜的古典概型的概率計算

■典例3某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需

轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設

兩次記錄的數(shù)分別為x,y獎勵規(guī)則如下：

指針

①若孫W3,則獎勵玩具一個；

②若個》8,則獎勵水杯一個；

③其余情況獎勵飲料一瓶.

假設轉盤質地均勻，四個區(qū)域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.

(1)求小亮獲得玩具的概率；

(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.

［解析］用數(shù)對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Q與點集S=

((X,y)|xGN,yGN,lWxW4,iWy這4)---對應.

因為S中元素的個數(shù)是4X4=16,

所以基本事件總數(shù)〃=16.

(1)記“孫W3”為事件A,

則事件A包含的基本事件共5個，即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).

所以尸(A)=亮即小亮獲得玩具的概率為需

(2)記“孫28”為事件B,“3和＜8”為事件C.

則事件B包含的基本事件共6個，

即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),

所以P(B)=-^=|.

事件C包含的基本事件共5個，

即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),

所以P(C)=磊,

35

因為QB

所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.

［歸納提升］解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點和其計算公式.但是這類問題

的解法多樣，技巧性強，在解決此類題時需要注意以下兩個問題：

(1)試臉必須具有古典慨型的兩大特征—有限性和等可能性.

(2)計算基本事件的數(shù)目時，須做到不重不漏，常借助坐標系、表格及樹狀圖等列出所

有基本事件.

【對點練習】?甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)玩

游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各

抽一張.

(1)設(i,力分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出試驗的樣本空間：

(2)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝.你認為此游

戲是否公平？說明你的理由.

I解析］(1)方片4用4'表示，試驗的樣本空間為。={(2,3),(2,4),(2,4'),(3,2),(3,4),

(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4‘，2),(4‘，3),(4‘，4)),則樣本點的總數(shù)為12.

(2)不公平.甲抽到牌的牌面數(shù)字比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(4‘，2),(4',3)5種，

甲勝的概率為P尸石5，乙勝的概率為尸2=臺7因為方5〈五7，所以此游戲不公平.

易錯警示

對“有序”與“無序”判斷不準而致錯

■典例4甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5道不同的題目，其中3道選擇

題，2道填空題，甲、乙兩人依次抽取1道題.求甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率.

［錯解］因為通過列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結果有6個，且甲、

乙兩人依次抽取1道題的可能結果有10個，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為親=

3

5'

［錯因分析］錯解中忽略了甲、乙兩人依次抽取1道題與順序有關，甲從5道題中任抽

1道題有5種方法，乙從剩下的4道題中任抽1道題有4種方法，所以基本事件總數(shù)應為20.

|正解|因為通過列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結果有6個，而甲、

乙兩人依次抽取1道題的可能結果有20個，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為&=

3

To-

I誤區(qū)警示］在計算基本事件的總數(shù)時，若分不清“有序”和“無序”，將會出現(xiàn)“重

算”或“漏算”的錯誤.突破這一思維障礙的方法是交換次序，看是否對結果造成影響，有

影響是“有序”，無影響是“無序”.

【對點練習】?小李在做一份調查問卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇

題，共3道，另一種是填空題，共2道.

(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概

率；

(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概

率.

［解析］將3道選擇題依次編號為1,2,3;2道填空題依次編號為4,5.

(1)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，則樣本空間烏={(1,2),(1,3),

(1,4).(1,5),(2,1),(2,3),(2,4).(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共20個樣本點，而且這些樣本點發(fā)生的可能性是相等的.

設事件A=”所選的題不是同一種題型”，則事件4={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),

12

(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共12個樣本點，所以P(4)=而=0.6.

(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，則樣本空間。2={(1,1),(1,2),

(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),

(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共25個樣本點，而且這些樣

本點發(fā)生的可能性是相等的.

設事件8="所選的題不是同一種題型"，由(1)知所選題不是同一種題型的樣本點共

12

12個，所以尸(8)=3=0.48.

10.1.4概率的基本性質

素養(yǎng)目標定方向

素養(yǎng)目標學法指導

1.熟練掌握性質1,性質2.(數(shù)學抽象)

當直接求某一事件的概率較為復

2.會判斷兩個事件的互斥與對立關系.(邏輯推理)

雜時，可轉化為求幾個互斥事件的

3.能夠利用性質3(互斥事件的概率公式)，性質4(對立

概率之和或其對立事件的概率，體

事件的概率公式)求解概率問題.(數(shù)學運算)

驗了正難則反的思想.

4.能夠解決實際生活中的概率問題.(數(shù)據(jù)分析)

必備知識,探新知

知識點概率的基本性質

性質1對任意的事件A,都有P(A)/O.

性質2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P9=1,2。)=0.

性質3如果事件A和事件B互斥，那么尸(AUB)=P(A)+P(B).

性質4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(8)=l-P(A),P(A)=」一

P(B).

性質5如果AUB,那么性A)_W_P(B).

性質6設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)-

P(ACB).

［知識解讀］1.概率的加法公式

(1)當A與8互斥(即AB=。)時，有尸(AUB)=P(A)+P(B),這稱為互斥事件的概率加法

公式.

(2)一般地，如果4,A2,A”是兩兩互斥的事件，則尸(AU/UU…UA,“)=P(4)+

P(A2)+-+P(Am).

(3)P(A)+P(A)=1.

2.求復雜事件的概率通常有兩種方法

(1)將所求事件轉化成彼此互斥事件的并事件；

(2)先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率.

關鍵能力攻重難

題型探究

題型一互斥事件概率公式的應用

■典例1(1)拋擲一個骰子，觀察出現(xiàn)的點，設事件A為''出現(xiàn)1點”，3為“出

現(xiàn)2點”.已知P(4)=P(5)=/求出現(xiàn)1點或2點的概率.

(2)盒子里裝有6只紅球，4只白球，從中任取3只球.設事件A表示“3只球中有1只紅

31

球，2只白球”，事件8表示“3只球中有2只紅球，1只白球”.已知尸(A)=%,P(B)=j,

求這3只球中既有紅球又有白球的概率.

［解析］⑴設事件C為“出現(xiàn)1點或2點”，因為事件48是互斥事件，由C=AUB

可得P(O=P(A)+P(B)=/+3=g,所以出現(xiàn)1點或出現(xiàn)2點的概率是g.

314

(2)因為A,B是互斥事件，所以「(AU8)=P(A)+P(B)=m+5=§,所以這3只球中既

有紅球又有白球的概率是三4

［歸納提升I(1)公式P(AUB)=P(A)+P(B),只有當A、8兩事件互斥時才能使用，如

果A、8不互斥，就不能應用這一公式；(2)解決本題的關鍵是正確理解“AU8”的意義.

【對點練習】?經統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應的概率如下：

排隊人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？

(2)至少3人排隊等候的概率是多少？

I解析］記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”

為事件C,“3人排隊等候”為事件。，“4人排隊等候”為事件￡,“5人及5人以上排隊

等候”為事件尸，則事件A,B,C,D,E,尸兩兩互斥.

(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=AUBUC,

所以P(G)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)法一：記''至少3人排隊等候”為事件H,則H=Z)UEUF,

所以尸(W)=P(OUEUF)=P(0)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

法二：記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(，)=l-P(G)

=0.44.

題型二概率一般加法公式(性質6)的應用

■典例2甲、乙、丙、丁四人參加4X100米接力賽，求甲跑第一棒或乙跑第四

棒的概率.

［解析］設事件A為“甲跑第一棒”，事件B為“乙跑第四棒”，

則尸(A)=；,P(B)=；.

記甲跑第X棒，乙跑第y棒，則結果可記為(x,y),共有12種等可能結果：(1,2),(1,3),

(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).

而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一種可能.即(1,4).

故尸(AnB)=*.

所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率

P(AUB)=尸(A)+P(B)~P(AAB)=1+1-^=p7，

［歸納提升］(1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制條件上的區(qū)別：

在公式P(AUB)=P(A)+P(B)中，事件A,8是互斥事件；在公式P(AU2)=P(A)+P(B)-

P(AA8)中，事件A,B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助圖形理解.

(2)利用概率的一般加法公式P(4U8)=P(A)+P(B)—P(ACIB)求解的關鍵在于理解兩個

事件A,B的交事件ACB的含義，準確求出其概率.

【對點練習】?在對200家公司的最新調查中發(fā)現(xiàn),40%的公司在大力研究廣告效果,

50%的公司在進行短期銷售預測，而