專題09 勾股定理中的最短路徑模型（解析版）

專題09.勾股定理中的的最短路徑模型勾股定理中的最短路線問題通常是以“兩點(diǎn)之間，線段最短”為基本原理推出的。人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對(duì)于幾何題內(nèi)問題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長(zhǎng)的一半進(jìn)行計(jì)算。注意：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長(zhǎng)度后乘以圈數(shù)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·陜西·八年級(jí)期中）如圖，有一個(gè)圓柱形杯子，其底面圓周長(zhǎng)為，高為，現(xiàn)在要以點(diǎn)為起點(diǎn)環(huán)繞杯子表面纏彩色膠帶，終點(diǎn)正好落在點(diǎn)的正上方的點(diǎn)處，則彩色膠帶最短要（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】把圓柱沿側(cè)面展開，連接，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，圓柱形杯子的底面周長(zhǎng)為，高為，展開圖中，則彩色膠帶最短要．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開——最短路徑問題，根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求解是解答此題關(guān)鍵．例2．（2023·廣東·八年級(jí)期中）如圖，一個(gè)底面圓周長(zhǎng)為24cm，高為9cm的圓柱體，一只螞蟻從距離上邊緣4cm的點(diǎn)A沿側(cè)面爬行到相對(duì)的底面上的點(diǎn)B所經(jīng)過的最短路線長(zhǎng)為（）A． B．15cm C．14cm D．13cm【答案】D【分析】將圓柱體展開，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將圓柱體的側(cè)面展開，連接，如圖所示：由于圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，則，又因?yàn)閏m，所以（cm），即螞蟻沿表面從點(diǎn)A到點(diǎn)B所經(jīng)過的最短路線長(zhǎng)為13cm．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用—最短路徑問題．解題的關(guān)鍵是將立體圖形展開為平面圖形，利用勾股定理進(jìn)行求解．例3．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？计谥校┐汗?jié)期間，某廣場(chǎng)用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子．為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從A點(diǎn)沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的B點(diǎn)，如圖所示，若每根柱子的底面周長(zhǎng)均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長(zhǎng)度為______米．【答案】5【分析】要求彩帶的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，借助于勾股定理．【詳解】解：將圓柱表面切開展開呈長(zhǎng)方形，則彩燈帶長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)，圓柱高3米，底面周長(zhǎng)2米，，，每根柱子所用彩燈帶的最短長(zhǎng)度為．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路線問題，勾股定理的應(yīng)用．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．模型2.長(zhǎng)方體中的最短路徑模型【模型解讀】長(zhǎng)方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長(zhǎng)方體有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要熟悉長(zhǎng)方體的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長(zhǎng)方體展開圖的多種情況和分類討論。注意：1）長(zhǎng)方體展開圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同。【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為和，高為．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B，那么所用細(xì)線最短需要(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】將長(zhǎng)方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：將長(zhǎng)方體展開，連接A、B，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開——最短路徑問題，是一道趣味題，熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·山西太原·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖是放在地面上的一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其中，，，點(diǎn)M在棱上，且，N是的中點(diǎn)，一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體盒子的表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N，它需要爬行的最短路程為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面展開圖有兩種情況，畫出圖形利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖1，∵，，N是的中點(diǎn)，∴，

∴，，∴；如圖2，∵，，N是的中點(diǎn)，∴，∴，，∴．∵，∴螞蟻沿長(zhǎng)方體表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N處的最短路程為．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有兩種情況分析得出是解題關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)N的所有路徑中，最短路徑的長(zhǎng)是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】先畫出側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間踐段最短，利用勾股定理求出線段的長(zhǎng)即可．【詳解】將第一層小正方體的頂面和正面，以及第二層小正方體的頂面和正面展開，如下圖，連接，則最短路徑，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，以及勾股定理，正確畫出側(cè)面展開圖，確定兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．例4．（2023秋·廣西·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一大樓的外墻面與地面垂直，點(diǎn)P在墻面上，若米，點(diǎn)P到的距離是8米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是（

）米．A． B． C． D．【答案】D【分析】可將教室的墻面與地面展開，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過P作于G，連接，（米），（米），（米），（米），（米）這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開-最短路徑問題，解題關(guān)鍵是立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決．模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)臺(tái)階示意圖，每一層臺(tái)階的高都是20，寬都是50，長(zhǎng)都是40，一只螞蟻沿臺(tái)階從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B，其爬行的最短線路的長(zhǎng)度是（

）A．100 B．120 C．130 D．150【答案】C【分析】展開成平面圖形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：把這個(gè)臺(tái)階示意圖展開為平面圖形得圖①：在中，∵，，∴，∴一只螞蟻沿臺(tái)階從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B，其爬行的最短線路的長(zhǎng)度為130．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，將圖形展開，再利用勾股定理，是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2023春·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它必須翻過中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．【答案】【分析】連接，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再把中間的墻平面展開，使原來(lái)的長(zhǎng)方形長(zhǎng)度增加而寬度不變，求出新長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)即可得到范圍．【詳解】解：如圖所示，將圖展開，圖形長(zhǎng)度增加，原圖長(zhǎng)度增加，則，連接，四邊形是長(zhǎng)方形，，寬，，螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它要走的路程．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵．例3．（2023春·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)長(zhǎng)為米,寬為米的長(zhǎng)方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊的主視圖是邊長(zhǎng)為1米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是______米．【答案】【分析】如圖，將木塊展開，相當(dāng)于長(zhǎng)方形草地的長(zhǎng)多了正三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的寬為3米，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是對(duì)角線，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將木塊展開，相當(dāng)于長(zhǎng)方形草地的長(zhǎng)多了正三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，長(zhǎng)方形的寬為3米，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是對(duì)角線，米，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意將木塊展開，再利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問題：對(duì)稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問題需要先作對(duì)稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·安徽蕪湖·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)離杯底的點(diǎn)處有滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜點(diǎn)的最短距離為（

）

A．8 B．10 C．8 D．12【答案】B【分析】利用展開圖，軸對(duì)稱，勾股定理計(jì)算即可．【詳解】如圖，根據(jù)題意，，

作點(diǎn)Ａ關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Ｇ，連接，則為所求最小值，則，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Ｅ，則四邊形是矩形，故，故，故，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的展開圖，軸對(duì)稱，勾股定理，熟練掌握軸對(duì)稱，勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2.（2022·陜西·八年級(jí)期中）有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請(qǐng)你畫出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲爬行的最短路線長(zhǎng)（不計(jì)缸壁厚度）．【答案】（1）見解析；（2）100cm【分析】(1)做出A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’G，與BC交于點(diǎn)Q，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G為直角△A’EG的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)如下圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)A’G最短，則為最短路線．(2)∵，∴，∴．在中，，，∴．由對(duì)稱性可知，∴．故小蟲爬行的最短路線長(zhǎng)為100cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用勾股定理求最短路徑問題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱性作出A的對(duì)稱點(diǎn)A’，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，從而可找到路徑求出解．例3．（2023春·重慶江津·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，要在河邊修一個(gè)水泵站，分別向、兩村送水，已知、兩村到江邊的距離分別為和，且、兩村相距km．

(1)水泵站應(yīng)修建在何處，可使所用水管最短，請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出水泵站的位置；(2)若鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米元，為了使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作點(diǎn)關(guān)于河邊所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，則點(diǎn)為水泵站的位置；（2）過點(diǎn)作直線的垂線，過作直線的平行線，設(shè)這兩線交于點(diǎn)，過作于，利用最短路徑的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：作點(diǎn)關(guān)于河邊所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，則點(diǎn)為水泵站的位置，此時(shí)，的長(zhǎng)度之和最短，即所鋪設(shè)水管最短；

（2）過點(diǎn)作直線的垂線，過作直線的平行線，設(shè)這兩線交于點(diǎn)，則．過作于，依題意：，，．（負(fù)值舍去）．由題意得：，中，，，，（負(fù)值舍去）．，．（元）．【點(diǎn)睛】本題意考查最短路線問題；作出輔助線，構(gòu)造出最短路線為斜邊的直角三角形是解決本題的難點(diǎn)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）圓柱形杯子的高為，底面周長(zhǎng)為，已知螞蟻在外壁處(距杯子上沿)發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)(距杯子下沿)，則螞蟻從處爬到處的最短距離為(

)

A．10 B．28 C．20 D．24【答案】C【分析】將杯子側(cè)面展開，建立關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求．【詳解】解：如圖所示，將杯子側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，

連接，則即為最短距離，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、最短路徑等知識(shí)．將圓柱側(cè)面展開，化曲面為平面并作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，是側(cè)面正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路徑是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，正方體的棱長(zhǎng)，

∵立體幾何是正方體，每個(gè)面都是正方形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得為等腰直角三角形，且，∴是的垂直平分線，，∴在中，，，∴，∴從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路徑是，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何圖形的展開圖與勾股定理的運(yùn)用，理解立體幾何圖形的展開圖，掌握最短路徑的計(jì)算方法，勾股定理等知識(shí)解題的關(guān)鍵．3．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是樓梯的一部分，若，，，一只螞蟻在處發(fā)現(xiàn)處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（）

A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】將臺(tái)階展開得到的是一個(gè)矩形，螞蟻要從A點(diǎn)到C點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對(duì)角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：將臺(tái)階展開，如圖，∵，，∴根據(jù)勾股定理可得：，∴，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開—最短路徑問題，用到臺(tái)階的平面展開圖，根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北廊坊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為一條棱的中點(diǎn)．螞蟻在正方體側(cè)面爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】正方體側(cè)面展開為長(zhǎng)方形，確定螞蟻的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，由題意可知，，

則螞蟻爬行的最短路程為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題、勾股定理，掌握兩點(diǎn)之間線段最短，找到起點(diǎn)和終點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)校考期中）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6，高為4，螞蟻在圓柱表面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是（

）

A． B．5 C． D．10【答案】B【分析】沿過A點(diǎn)和過B點(diǎn)的母線剪開，展成平面，連接，則的長(zhǎng)是螞蟻在圓柱表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程，求出和的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出斜邊即可．【詳解】解：如圖所示：沿過A點(diǎn)和過B點(diǎn)的母線剪開，展成平面，連接，則的長(zhǎng)是螞蟻在圓柱表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程，∵圓柱的底面周長(zhǎng)為6，高為4，∴，∴，∴從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是5，故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用—最短路徑問題，能把圓柱的側(cè)面展開成平面圖形，利用勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則需要爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將長(zhǎng)方體按不同方式展開，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖1所示將長(zhǎng)方體展開，則；如圖2所示將長(zhǎng)方體展開，則；如圖3所示將長(zhǎng)方體展開，則；∵，∴螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開???最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是將圖形展開，轉(zhuǎn)化為直角三角形利用勾股定理解答．7．（2023秋·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用7個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)N的所有路徑中，最短路徑的長(zhǎng)是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】先畫出側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間踐段最短，利用勾股定理求出線段的長(zhǎng)即可．【詳解】將第一層小正方體的頂面和正面，以及第二層小正方體的頂面和正面展開，如下圖，連接，則最短路徑，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，以及勾股定理，正確畫出側(cè)面展開圖，確定兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·寧夏銀川·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線是一條河，A，兩地到的距離和分別長(zhǎng)為，，且，欲在上的某點(diǎn)處修建一個(gè)水泵站，向A，兩地供水，其中鋪設(shè)最短的管道長(zhǎng)是．【答案】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)，作，交的延長(zhǎng)線于，利用對(duì)稱的性質(zhì)以及勾股定理解答即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)，作，交的延長(zhǎng)線于，則線段的長(zhǎng)度計(jì)算所求．由題意可知，，，∴，故鋪設(shè)最短的管道長(zhǎng)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了最短問題以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．9．（2021秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）圓柱形杯子的高為，底面周長(zhǎng)為，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為．

【答案】【分析】將杯子側(cè)面展開，建立關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求．【詳解】解：如圖所示，將杯子側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，

連接，則即為最短距離，由題意得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、最短路徑等知識(shí)．將圓柱側(cè)面展開，化曲面為平面并作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·湖南永州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于點(diǎn)處，它想從正方體的表面爬行到點(diǎn)處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為．

【答案】【分析】分兩種情況先把圖中展開，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，沿左面，后面展開，連接，則線段的長(zhǎng)就是螞蟻需爬行的最短路程，

∵正方體的棱長(zhǎng)為2，M是的中點(diǎn)，∴，，，由勾股定理得，沿前面與上面展開如圖示：

同理可得：，而，∴螞蟻需爬行的最短路程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平面展開-最短路徑問題，以及線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短，解決立體幾何兩點(diǎn)間的最短距離時(shí)，通常把立體圖形展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成平面圖形兩點(diǎn)間的距離問題來(lái)求解．11．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體木箱，點(diǎn)在上底面的棱上，，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿木箱表面爬行到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程是．

【答案】【分析】如圖所述，是邊長(zhǎng)為的正方體木箱張開圖，連接，則線段的長(zhǎng)為最短路徑，由此可得的，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所述，是邊長(zhǎng)為的正方體木箱張開圖，

連接，則線段的長(zhǎng)為最短路徑，，，則，∴在中，，∴螞蟻爬行的最短路程是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查立體圖形展開圖與勾股定理的綜合，掌握立體圖形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一圓柱高，底面周長(zhǎng)為，現(xiàn)需按如圖方式纏繞一圈彩帶進(jìn)行裝飾，則彩帶最短要用．

【答案】【分析】根據(jù)題意，畫出圓柱的展開圖，從而可以得到彩帶最短需要多少米，本題得以解決．【詳解】解：將圓柱展開，如圖所示，彩帶最短需要：，故答案為：10．

【點(diǎn)睛】本題考查平面展開最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是明確兩點(diǎn)之間線段最短，會(huì)畫圓柱的展開圖．13．（2023秋·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）攀巖是一項(xiàng)在天然巖壁或人工巖壁上進(jìn)行的向上攀爬的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．如圖，攀巖墻近似一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)側(cè)面，小天根據(jù)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)確地判斷出從點(diǎn)攀爬到點(diǎn)的最短路徑為米．

【答案】10【分析】利用立體圖形路徑最小值為展開平面圖的兩點(diǎn)間距離，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：平面展開圖為：

（米），故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形中兩點(diǎn)間最短路徑問題，通用辦法是展開為平面圖形，兩點(diǎn)間最短路徑為兩點(diǎn)線段長(zhǎng)度，利用水平距離和豎直距離得到直角三角形，勾股定理求出兩點(diǎn)線段長(zhǎng)度．熟悉立體圖形中兩點(diǎn)間最短路徑問題的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·山東濱州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從A點(diǎn)繞到正上方B點(diǎn)共四圈，已知易拉罐底面周長(zhǎng)是12cm，高是20cm，那么所需彩帶最短的是．【答案】52cm【分析】要求彩帶的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，借助于勾股定理．【詳解】

由圖可知，彩帶從易拉罐底端的A處繞易拉罐4圈后到達(dá)頂端的B處，將易拉罐表面切開展開呈長(zhǎng)方形，則螺旋線長(zhǎng)為四個(gè)長(zhǎng)方形并排后的長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)彩帶最短長(zhǎng)度為，則易拉罐底面周長(zhǎng)是12，高是20∴解得：∴彩帶最短是52cm故答案為：52cm．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是明確圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高．15．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，若圓柱的底面半徑是，高是，從圓柱底部處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部處，則這條絲線的最小長(zhǎng)度是．【答案】【分析】將圓柱沿的側(cè)面展開，絲線繞圓柱一周，利用兩點(diǎn)之間線段最短基本事實(shí)知道展開圖中就是絲線的最短長(zhǎng)度，用勾股定理求即可．【詳解】沿將側(cè)面展開如圖，有兩點(diǎn)之間線段最短，為最短線長(zhǎng),，，由勾股定理．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體的側(cè)面展開圖問題，掌握兩點(diǎn)之間線段最短，會(huì)利用基本事實(shí)解決問題，此問題常與勾股定理結(jié)合，掌握好勾股定理是解題關(guān)鍵．16．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）棱長(zhǎng)分別為兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，需要爬行的最短距離是．【答案】cm．【分析】求出兩種展開圖的值，比較即可判斷；【詳解】解：如圖，有兩種展開方法：方法一∶，方法二∶．故需要爬行的最短距離是cm．故答案為：cm．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開-最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．17．（2023秋·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，教室的墻面與地面垂直，點(diǎn)在墻面上．若米，點(diǎn)到的距離是6米，有一只螞蟻要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它的最短行程是米．【答案】【分析】可將教室的墻面與地面展開，連接P、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將教室的墻面與地面展成一個(gè)平面，過P作于G，連接，∵米，米，∴(米)，∴米，∴（米）．故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決．18．（2023春·云南昭通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，河的同側(cè)有、兩個(gè)村，且，、兩村到河的距離分別為，．現(xiàn)要在河邊上建一水廠分別向、兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)每千米需2000元．請(qǐng)你在河岸上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用（元）．

【答案】20000元【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，分別利用勾股定理求出和的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，點(diǎn)即為水廠的位置．分過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，，．∴．在中，，∴，∴．在中，，由勾股定理得．∴（元）．故鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為20000元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高，點(diǎn)M在上．且．

(1)求線段的長(zhǎng)；(2)一只螞蟻如果耍沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M，需要爬行的最短距離是多少?【答案】(1)(2)螞蟻爬行的最短距離是【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)求出，利用勾股定理即可求解；（2）將立體圖形展開成平面圖形,然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段距離最短,利用根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解,根據(jù)立體展開成平面圖形情況分類討論進(jìn)行進(jìn)行比較．【詳解】（1）解：，，，線段的長(zhǎng)為．（2）解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖

∵長(zhǎng)方體的寬為，高為，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖：∴螞蟻爬行的最短距離是．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的拓展應(yīng)用,“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．20．（2023秋·海南?？凇ぐ四昙?jí)?？计谀﹩栴}情境：如圖①，一只螞蟻在一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形地毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱平行且等于場(chǎng)地寬，木塊從正面看是一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，求一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．

(1)數(shù)學(xué)抽象：將螞蟻爬行過的木塊的側(cè)面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”，請(qǐng)?jiān)趫D②中用虛線補(bǔ)全木塊的側(cè)面展開圖，并用實(shí)線連接．(2)線段的長(zhǎng)即螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程，依據(jù)是_________；(3)問題解決：求出這只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．【答案】(1)見解析(2)兩點(diǎn)之間線段最短(3)【分析】（1）根據(jù)題意畫出三角錐木塊的平面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短連接即可；（2）根據(jù)題（1）即可求解；（3）根據(jù)題意可得，展開圖中等于長(zhǎng)方形地毛毯的長(zhǎng)和三角形一條邊長(zhǎng)之和，展開圖中等于長(zhǎng)方形地毛毯的寬，根據(jù)勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)即可求解．【詳解】（1）如圖所示即為所求：

（2）線段的長(zhǎng)即螞蟻從點(diǎn)處到達(dá)點(diǎn)處需要走的最短路程，依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短，故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短；（3）根據(jù)題意可得：展開圖中的，．由題（1）可得：在中，由勾股定理可得：，即這