專題08 反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-解析版

專題08反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用★知識(shí)點(diǎn)1：圖形類反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量，解答該類問(wèn)題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．典例分析【例1】（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）科學(xué)課上，同學(xué)用自制密度計(jì)測(cè)量液體的密度．密度計(jì)懸浮在不同的液體中時(shí)，浸在液體中的高度h（單位：cm）是液體的密度（單位：）的反比例函數(shù)，當(dāng)密度計(jì)懸浮在密度為的水中時(shí)，．

(1)求h關(guān)于的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)密度計(jì)懸浮在另一種液體中時(shí)，，求該液體的密度．【答案】(1)．(2)該液體的密度為．【分析】（1）由題意可得，設(shè)，把，代入解析式，求解即可；（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)h關(guān)于的函數(shù)解析式為，把，代入解析式，得．∴h關(guān)于的函數(shù)解析式為．（2）解：把代入，得．解得：．答：該液體的密度為．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活利用反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．【例2】（2023春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，根據(jù)小孔成像的科學(xué)原理，當(dāng)像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時(shí)，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．(2)變化蠟燭和小孔之前的距離，某一時(shí)刻像高為3cm，請(qǐng)回答蠟燭是怎樣移動(dòng)的？【答案】(1)函數(shù)解析式為(2)蠟燭向小孔方向移動(dòng)了【分析】（1）根據(jù)待定法求反比例函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)解析式代入數(shù)值解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)解析式為把，代入得：解得∴函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)像高為時(shí)，即將代入得：解得：，而∴蠟燭向小孔方向移動(dòng)了．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1.。（2023秋·江西贛州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，將一長(zhǎng)方體放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強(qiáng)與受力面積的關(guān)系如下表所示：桌面所受壓強(qiáng)P（Pa）40050080010001250受力面積S（）0.50.4a0.20.16(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出壓強(qiáng)P（Pa）關(guān)于受力面積S（）的函數(shù)表達(dá)式及a的值．(2)如圖2，將另一長(zhǎng)，寬，高分別為60cm，20cm，10cm，且與原長(zhǎng)方體相同重量的長(zhǎng)方體放置于該水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大壓強(qiáng)為2000Pa，問(wèn)：這種擺放方式是否安全？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．【答案】(1)，0.25(2)這種擺放方式不安全，理由見(jiàn)解析【分析】（1）觀察圖表得：壓強(qiáng)P與受力面積S的乘積不變，故壓強(qiáng)P是受力面積S的反比例函數(shù)，然后用待定系數(shù)法可得函數(shù)關(guān)系式，令P=800，可得a的值；（2）算出S，即可求出P，比較可得答案．【詳解】（1）解：觀察圖表得：壓強(qiáng)P與受力面積S的乘積不變，故壓強(qiáng)P是受力面積S的反比例函數(shù)，設(shè)壓強(qiáng)P（Pa）關(guān)于受力面積S（）的函數(shù)表達(dá)式為，把（400，0.5）代入得：，解得：k=200，∴壓強(qiáng)P（Pa）關(guān)于受力面積S（）的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)P=800時(shí)，，∴a=0.25；（2）解：這種擺放方式不安全，理由如下：由圖可知S=0.1×0.2=0.02（），∴將長(zhǎng)方體放置于該水平玻璃桌面上的壓強(qiáng)為，∵10000>2000，∴這種擺放方式不安全．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能列出函數(shù)關(guān)系式．2．（2022·廣西欽州·?？家荒＃┤鐖D，一塊磚的A，B，C三個(gè)面的面積比是．如果B面向下放在地上，地面所受壓強(qiáng)為，那么A面和C面分別向下放在地上時(shí)，地面所受壓強(qiáng)各是多少？【答案】，【分析】根據(jù)題意：設(shè)該磚的質(zhì)量為m，其為定值，且有P?S＝mg，即P與S成反比例關(guān)系，且B面向下放在地上時(shí)地面所受壓強(qiáng)為a帕，則把磚的A面向下放在地上，地面所受壓強(qiáng)P＝，把磚的C面向下放在地上P＝2a．【詳解】解：設(shè)該磚的質(zhì)量為m，則P?S＝mg，∵B面向下放在地上時(shí)地面所受壓強(qiáng)為a帕，A，B，C三個(gè)面的面積之比是4：2：1，∴把磚的A面向下放在地上，P＝，把磚的C面向下放在地上P＝，答：A面向下放在地上時(shí)，地面所受壓強(qiáng)是，C面向下放在地上時(shí)，地面所受壓強(qiáng)是．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量，解答該類問(wèn)題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．★知識(shí)點(diǎn)2：表格類解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．典例分析【例1】（2022秋·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）近視眼鏡是一種為了矯正視力，讓人們可以清晰看到遠(yuǎn)距離物體的眼鏡．近視眼鏡的鏡片是凹透鏡，研究發(fā)現(xiàn)，近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）的關(guān)系式為y＝．(1)上述問(wèn)題中，當(dāng)x的值增大，y的值隨之_______（填“增大”“減小”或“不變”）；(2)根據(jù)y與x的關(guān)系式補(bǔ)全下表：焦距x/m0.10.2……度數(shù)y/度1000400……(3)小明原來(lái)佩戴400度近視眼鏡，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的矯正治療加之注意用眼健康，復(fù)查驗(yàn)光時(shí)，所配鏡片焦距調(diào)整為0.4m，則小明的眼鏡度數(shù)下降了多少度？【答案】(1)減小(2)0.25；500(3)小明的眼鏡度數(shù)下降了150度【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)：，當(dāng)k>0，x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，所以應(yīng)填“減小”；（2）分別將x=0.2和y=400代入函數(shù)解析式計(jì)算即可；（3）將x=0.4代入函數(shù)解析式算出新的眼鏡度數(shù)，用原來(lái)的度數(shù)減去新的度數(shù)即可求出．【詳解】（1）∵y＝是反比例函數(shù)，系數(shù)k=100>0，函數(shù)圖像在第一、三象限，∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而減小，故答案為：減小；（2）當(dāng)x=0.2時(shí)，y＝=500；當(dāng)y=400時(shí)，，所以補(bǔ)全表格如下：焦距0.10.20.25…度數(shù)y度1000500400…（3）將代入，得．度．答：小明的眼鏡度數(shù)下降了150度．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及已知自變量求函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023秋·山西大同·九年級(jí)大同市第二中學(xué)校校考期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．R/Ω345678910I/Aa97.2b5.144.54c(1)請(qǐng)寫出這個(gè)反比例函數(shù)解析式；(2)蓄電池的電壓是多少？(3)下表中的a、b、c的值分別是多少？(4)如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過(guò)10A，那么用電器可變電阻應(yīng)控制在什么范圍？【答案】(1)I=；(2)36；(3)a=12，b=6，c=3.6；(4)用電器可變電阻應(yīng)控制在3.6歐以上的范圍內(nèi)．【分析】（1）先由電流I是電阻R的反比例函數(shù)，可設(shè)I=，將點(diǎn)（9，4），利用待定系數(shù)法即可求出這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)電壓=電流×電阻即可求解；（3）將R的值分別代入（1）中所求的函數(shù)解析式，即可求出對(duì)應(yīng)的I值，從而完成圖表；（4）將I≤10代入（1）中所求的函數(shù)解析式即可確定電阻的取值范圍．【詳解】（1）解：電流I是電阻R的反比例函數(shù)，設(shè)I=，∵圖象經(jīng)過(guò)（9，4），∴k=4×9=36，∴I=；（2）解：蓄電池的電壓是4×9=36；（3）解：當(dāng)R=3時(shí)，a==12，當(dāng)R=6時(shí)，b==6，當(dāng)R=10時(shí)，c==3.6，∴a=12，b=6，c=3.6；（4）解：∵I≤10，I=，∴≤10，∴R≥3.6，即用電器可變電阻應(yīng)控制在3.6歐以上的范圍內(nèi)．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．即學(xué)即練1．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在溫度不變的條件下，通過(guò)一次又一次地對(duì)汽缸頂部的活塞加壓，測(cè)出每一次加壓后汽缸內(nèi)氣體的體積和氣體對(duì)汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)．體積壓強(qiáng)(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出壓強(qiáng)關(guān)于體積的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)壓力表讀出的壓強(qiáng)為時(shí)，汽缸內(nèi)氣體的體積壓縮到多少毫升？【答案】(1)(2)當(dāng)壓力表中讀出壓強(qiáng)為時(shí)，汽缸內(nèi)氣體的體積約為【分析】（1）先把表格中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中描點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)近似在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上，求出近似的反比例函數(shù)解析式即可；（2）把代入（1）所求解析式中進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可畫出p關(guān)于V的函數(shù)圖象．根據(jù)圖象的形狀，選擇反代例函數(shù)模型進(jìn)行嘗試．設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式為，選點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得．∴，∴．將點(diǎn)的坐標(biāo)一一代入驗(yàn)證：．可見(jiàn)相當(dāng)精確地反映了在溫度不變時(shí)氣體體積和所產(chǎn)生的壓強(qiáng)之間的關(guān)系，也就是所求的函數(shù)關(guān)系式．（2）解：當(dāng)從壓力表中讀出氣體的壓強(qiáng)為時(shí)，有，解得．答：當(dāng)壓力表中讀出壓強(qiáng)為時(shí)，汽缸內(nèi)氣體的體積約為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確求出反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）小明設(shè)計(jì)了杠桿平衡實(shí)驗(yàn)：如圖，取一根長(zhǎng)質(zhì)地均勻的木桿，用細(xì)繩綁在木桿的中點(diǎn)處并將其吊起來(lái)，在左側(cè)距離中點(diǎn)處掛一個(gè)重的物體，為了保持木桿水平（動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂），在中點(diǎn)右側(cè)用一個(gè)彈簧測(cè)力計(jì)豎直向下拉，改變彈簧測(cè)力計(jì)與中點(diǎn)的距離（單位：），看彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)（單位：）有什么變化，小明在做此活動(dòng)時(shí)，得到下表的數(shù)據(jù)．第組第組第組第組(1)表中第___________組數(shù)據(jù)是明顯錯(cuò)誤的；(2)在已學(xué)過(guò)的函數(shù)中選擇合適的模型，求關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)若彈簧測(cè)力計(jì)的最大量程是，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）的值逐漸增大，逐漸減小，由此即可求解；（2）根據(jù)動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂，由此即可求解；（3）由（2）的函數(shù)解析式即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)趨勢(shì)可知，的值逐漸增大，逐漸減小，∴第組的數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，故答案為：．（2）解：根據(jù)杠桿原理知，∴F與L的函數(shù)解析式為．（3）解：當(dāng)時(shí)，由得．由題意可知，∴根據(jù)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得，L的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的綜合，理解題目中數(shù)量關(guān)系，掌握反比例函數(shù)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)3：幾何類反比例函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，理解題目中各點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法，函數(shù)之間相交的交點(diǎn)的計(jì)算方法。典例分析【例1】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）某水果生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種水果，如圖是試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開(kāi)啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段表示恒溫系統(tǒng)開(kāi)啟后階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段．請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：(1)這個(gè)恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度為多少；(2)求全天的溫度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)若大棚內(nèi)的溫度低于不利于新品種水果的生長(zhǎng)，問(wèn)這天內(nèi)，相對(duì)有利于水果生長(zhǎng)的時(shí)間共多少小時(shí)？【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根據(jù)圖像設(shè)正比例函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像可知函數(shù)解析式。再利用待定系數(shù)法即可求出恒定溫度；(2)根據(jù)圖像可知整個(gè)圖像由三部分組成：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、恒溫，根據(jù)題意設(shè)函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；(3)根據(jù)各時(shí)間段的函數(shù)解析式算出時(shí)的值，用小時(shí)減去這些時(shí)間即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，根據(jù)題意，∴可得方程，∴，∴直線,∵當(dāng)時(shí)，∴恒定溫度為：．（2）解：由(1)可知：正比例函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像可知：，設(shè)小時(shí)內(nèi)函數(shù)解析式為：，根據(jù)題意，可得方程：，∴，∴函數(shù)解析式為：，∴小時(shí)函數(shù)解析式為：，（3）解：∵當(dāng)時(shí)，，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴在之間是氣溫是低于的，∴氣溫低于的總時(shí)間為：，∴氣溫高于的適宜溫度是：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和常函數(shù)解析式，解答時(shí)應(yīng)注意臨界點(diǎn)的應(yīng)用．【例2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示(1)寫出這一函數(shù)表達(dá)式(2)當(dāng)氣體體積為時(shí)，氣壓是多少？(3)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于時(shí)，氣球?qū)⒈?，為了安全起?jiàn)，氣體的體積應(yīng)不小于多少？【答案】(1)(2)氣壓是(3)為了安全起見(jiàn)，氣體的體積應(yīng)不小于【分析】（1）設(shè)，將點(diǎn)代入，得，進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）當(dāng)時(shí)，代入解析式即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，代入解析式即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，將點(diǎn)代入，得，，即這個(gè)函數(shù)的解析式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)氣體體積為時(shí)，氣壓是；（3）解：當(dāng)時(shí)，，所以為了安全起見(jiàn)，氣體的體積應(yīng)不少于．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握反比函數(shù)的圖像和性質(zhì)．即學(xué)即練1.（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，有一個(gè)人站在球臺(tái)（水平）上去打高爾夫球，球臺(tái)到軸的距離為米，與軸相交于點(diǎn)，彎道：與球臺(tái)交于點(diǎn)，且米，彎道末端垂直軸于，且米，從點(diǎn)E處飛出的紅色高爾夫球沿拋物線運(yùn)動(dòng)，落在彎道的處，且到軸的距離為米；(1)的值為_(kāi)_____；點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；______；(2)紅色球落在處后立即彈起，沿另外一條拋物線運(yùn)動(dòng)，若的最高點(diǎn)坐標(biāo)為．①求的解析式，并說(shuō)明小球能否落在彎道上？②在軸上有托盤，若小球恰好能被托盤接住，則把托盤向上平移的距離為，則的取值范圍是什么？(3)若在紅色球從處飛出的同時(shí)，一黃色球從點(diǎn)的正上方飛出，它所運(yùn)行軌跡與拋物線形狀相同，且黃色球始終在紅色球的正上方，當(dāng)紅色球到軸的距離為米，且黃球位于紅球正上方超過(guò)米的位置時(shí)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，，(2)①，不能；②(3)【分析】（1）球臺(tái)到軸的距離為米，米，可知點(diǎn)的坐標(biāo)，彎道：與球臺(tái)交于點(diǎn)，可求出反比例函數(shù)解析式，到軸的距離為米，且在反比例函數(shù)圖像上，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)代入二次函數(shù)即可求解；（2）①的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)的解析式，把點(diǎn)代入二次函數(shù)，即可求解的解析式，再計(jì)算與軸的交點(diǎn)，根據(jù)米，計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，兩者進(jìn)行比較即可；②在軸上有托盤，小球恰好能被托盤接住，則托盤在函數(shù)的圖像上，由此即可求解；（3）根據(jù)題意求出一號(hào)球的軌跡函數(shù)，向上平移到經(jīng)過(guò)得二號(hào)球軌跡，可求出二號(hào)球的軌跡函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵球臺(tái)與軸距離為，，∴代入，解得，∴，∵到軸的距離為米，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，將點(diǎn)代入，解得，故答案為：，，．（2）解：①∵拋物線頂點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為，把代入，解得，∴G的表達(dá)式為，即，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)，且米，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴G與滑道FA不相交，∴小球不能落在滑道FA上．②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，解得，∴的取值范圍是．（3）解：一號(hào)球的軌跡為，向上平移到經(jīng)過(guò)得二號(hào)球軌跡，∴二號(hào)球拋物線表達(dá)式為，且，當(dāng)時(shí)，，即，解得，∴的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，反比例函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，理解題目中各點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法，函數(shù)之間相交的交點(diǎn)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校考階段練習(xí)）當(dāng)功一定時(shí)，功率是做功的時(shí)間的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示．(1)寫出用表示的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)時(shí)，求功率．(3)當(dāng)功率時(shí)，求做功所用的時(shí)間．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）功率與時(shí)間的反比例函數(shù)，且圖像過(guò)點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）將代入反比例函數(shù)即可求解；（3）將功率代入反比例函數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：由題意設(shè)功率與時(shí)間的反比例函數(shù)為，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，∴．∴．故此函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：當(dāng)時(shí)，．（3）解：當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的綜合，掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，代入求值的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)4探究類反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用圖像解決問(wèn)題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．還能利用圖像直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結(jié)合在一起，是分析解決函數(shù)問(wèn)題的一種常用方法．典例分析【例1】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）小明探究下列問(wèn)題：商場(chǎng)將單價(jià)不同的甲、乙兩種糖果混合成什錦糖售賣．若該商場(chǎng)采用以下兩種不同方式混合：方式1：將質(zhì)量相等的甲、乙糖果進(jìn)行混合；方式2：將總價(jià)相等的甲、乙糖果進(jìn)行混合．哪種混合方式的什錦糖的單價(jià)更低？(1)小明設(shè)甲、乙糖果的單價(jià)分別為、，用含、的代數(shù)式分別表示兩種混合方式的什錦糖的單價(jià)．請(qǐng)你寫出他的解答過(guò)程；(2)為解決問(wèn)題，小明查閱了資料，發(fā)現(xiàn)以下正確結(jié)論：結(jié)論1：若，則；若，則；若，則；結(jié)論2：反比例函數(shù)的圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為倒數(shù)；結(jié)論3：若的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為．小明利用上述結(jié)論順利解決此問(wèn)題，請(qǐng)你按照他的思路寫出解答過(guò)程：①利用結(jié)論1求解；②利用結(jié)論2、結(jié)論3求解．【答案】(1)，，過(guò)程見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)單價(jià)的公式即可得到兩種不同方式的單價(jià)；（2）①讓兩種不同方式的單價(jià)作差法比較即可；②設(shè)A、B是反比例函數(shù)（）的圖像上兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，由結(jié)論2，得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為、，由結(jié)論3，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，由結(jié)論2，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為，可得，即可得答案．【詳解】（1）解：采用方式1混合的什錦糖的單價(jià)為，采用方式2混合的什錦糖的單價(jià)為；（2）①∵，，，∴，，∴，由結(jié)論1，得，∴采用方式2混合的什錦糖的單價(jià)更低；②如圖，設(shè)A、B是反比例函數(shù)（）的圖像上兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，令點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)分別為a、b，不妨設(shè)，過(guò)點(diǎn)C作軸，垂足為D，CD與此函數(shù)圖像交于點(diǎn)E，由結(jié)論2，得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為、，由結(jié)論3，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)C與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相等，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，由結(jié)論2，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∵E是線段CD上一點(diǎn)，∴，∴，∴采用方式2混合的什錦糖的單價(jià)更低．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的大小比較,反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí),解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型．【例2】（2022春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）建模：某班開(kāi)端午聯(lián)歡會(huì)，生活委員彤彤先購(gòu)買了2個(gè)裝飾掛件，共計(jì)3元，又購(gòu)買了單價(jià)為2元的粽形香囊個(gè)，設(shè)所有裝飾掛件和粽形香囊的平均價(jià)格為元，則與的關(guān)系式為_(kāi)______（不要求寫的范圍）【探究】根據(jù)函數(shù)的概念，彤彤發(fā)現(xiàn)：是的函數(shù)，結(jié)合自己學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，為了更好地研究這個(gè)函數(shù)，彤彤打算先脫離實(shí)際背景，對(duì)該函數(shù)的完整圖像與性質(zhì)展開(kāi)探究，請(qǐng)根據(jù)所給信息，將彤彤的探究過(guò)程補(bǔ)充完整．（1）列表：…－4－3－1012……41…填空：______，______．（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，畫出該函數(shù)的圖像．（3）觀察函數(shù)圖像，判斷下列描述錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A．該函數(shù)圖像是中心對(duì)稱圖形B．該函數(shù)值不可能等于2C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大D.當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小應(yīng)用：（4）根據(jù)上述探究，結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，彤彤得到結(jié)論：粽形香囊越多，所購(gòu)買物品的平均價(jià)格越______（填“高”或“低”），但不會(huì)突破______元．【答案】建模：；探究：（1）3；0；（2）見(jiàn)解析；（3）D；應(yīng)用：（4）高；2【分析】建模：依據(jù)平均數(shù)的算法，可得y與x的關(guān)系式；探究：（1）利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)自變量x的值，即可得到因變量y的值；（2）依據(jù)坐標(biāo)，進(jìn)行描點(diǎn)、連線，即可得到函數(shù)圖像；（3）由圖可得，對(duì)稱中心的坐標(biāo)；依據(jù)函數(shù)圖像與直線y=2無(wú)限接近，即可得出該函數(shù)值y不可能等于2；依據(jù)函數(shù)圖像的增減性，即可得出y隨x的增大而增大．據(jù)此判斷即可；應(yīng)用：（4）依據(jù)函數(shù)圖像的增減性，即可得到y(tǒng)隨x的增大而增大，函數(shù)值y與2無(wú)限接近．【詳解】解：建?！咄荣?gòu)買了2個(gè)裝飾掛件共計(jì)3元，又購(gòu)買了單價(jià)為2元的粽形香囊x個(gè)，y（元）是所有裝飾掛件和粽形香囊的平均價(jià)格，∴y與x的關(guān)系式為，故答案為：；探究：（1）當(dāng)x=-3時(shí)，y=3，即m=3；當(dāng)x=-時(shí)，y=0，即n=0；故答案為：3；0；（2）描點(diǎn)、連線，該函數(shù)的圖像如圖所示：（3）A、該函數(shù)圖像是中心對(duì)稱圖形，該說(shuō)法正確；B、函數(shù)圖像與直線y=2無(wú)限接近，故該函數(shù)值y不可能等于2，該說(shuō)法正確；C、當(dāng)x＞-2時(shí)，函數(shù)圖像從左往右上升，即y隨x的增大而增大，該說(shuō)法正確；D、當(dāng)x<-2時(shí)，函數(shù)圖像從左往右上升，即y隨x的增大而增大，原說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：D；應(yīng)用：（4）由圖可得，當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)圖像從左往右上升，與直線y=2無(wú)限接近，即y隨x的增大而增大，函數(shù)值y與2無(wú)限接近，故粽形香囊越多，所購(gòu)買物品的平均價(jià)格越高，但不會(huì)突破2元．故答案為：高；2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用圖像解決問(wèn)題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．還能利用圖像直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結(jié)合在一起，是分析解決函數(shù)問(wèn)題的一種常用方法．即學(xué)即練1．（2022春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)和平街第一中學(xué)?？计谥校┯羞@樣一個(gè)問(wèn)題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究下面是小東的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是(2)下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值x…－3－2－112345…y…93m…則m的值為；(3)如下圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象．(4)根據(jù)函數(shù)圖像，可以得出當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而．(5)結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)其它的一條性質(zhì)：．【答案】(1)；(2)；(3)答案見(jiàn)詳解；(4)減?。?5)當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小．【分析】（1）分母不為0，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，．即可求解；（3）描點(diǎn)畫出函數(shù)圖象即可；（4）當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。唬?）根據(jù)函數(shù)圖像，寫出一條函數(shù)的性質(zhì)即可．【詳解】（1）分母不為0，即：，故答案是：x≠0；（2）當(dāng)時(shí)，．，故答案是：；（3）該函數(shù)的圖象如下圖所示．（4）當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故答案是：減小；（5）當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。军c(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)圖象，通過(guò)描點(diǎn)畫出函數(shù)圖象，從圖象讀取相關(guān)的數(shù)據(jù)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.（2021·河南開(kāi)封·統(tǒng)考二模）某種型號(hào)的溫控水箱的工作過(guò)程是：接通電源后，在初始溫度20℃下加熱水箱中的水；當(dāng)水溫達(dá)到設(shè)定溫度80℃時(shí)，加熱停止；此后水箱中的水溫開(kāi)始逐漸下降，當(dāng)下降到20℃時(shí)，再次自動(dòng)加熱水箱中的水至80℃時(shí)，加熱停止：當(dāng)水箱中的水溫下降到20℃時(shí)，再次自動(dòng)加熱，…，按照以上方式不斷循環(huán)．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)該型號(hào)溫控水箱中的水溫隨時(shí)間變化的規(guī)律進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)水溫y是時(shí)間x的函數(shù)，其中y（單位：℃）表示水箱中水的溫度，x（單位：min）表示接通電源后的時(shí)間．下面是小明的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）下表記錄了16min內(nèi)9個(gè)時(shí)間點(diǎn)的溫控水箱中水的溫度y隨時(shí)間x的變化情況：接通電源后的時(shí)間（單位：min）01234581016…水箱中水的溫度（單位：）2035658064403220…m的值為_(kāi)_________．（2）①當(dāng)時(shí)，寫出一個(gè)符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式__________；當(dāng)時(shí)，寫出一符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式__________．②如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了上表中部分?jǐn)?shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出當(dāng)時(shí)，溫度y隨時(shí)間x變化的函數(shù)圖象；（3）如果水溫y隨時(shí)間x的變化規(guī)律不變，預(yù)測(cè)水溫第8次達(dá)到40℃時(shí)，距離接通電源__________min．【答案】（1）50；（2）①，；②見(jiàn)解析；（3）56【分析】（1）觀察表格，可得每分鐘上升多少溫度，由此即可解決問(wèn)題；（2）①觀察表格，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)，由此利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題；觀察表格可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)為反比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法即可解決；②根據(jù)表格，利用描點(diǎn)法畫出圖像即可；（3）利用圖像尋找規(guī)律即可．【詳解】解：（1）由題意可知每分鐘溫度上升了15℃，∴，故答案為：50；（2）①時(shí)，設(shè)函數(shù)解析式為：，代入兩點(diǎn)得，解得：，所以函數(shù)解析式為；當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)解析式為，帶入一點(diǎn)得：，解得：，所以函數(shù)解析式為：故答案為：，；②畫出的函數(shù)圖象如解圖所示．（3）觀察圖像可知16分鐘一個(gè)周期，每個(gè)周期內(nèi)會(huì)出現(xiàn)兩次40℃，∴第8次達(dá)到40℃時(shí)，距離接通電源56min，故答案為：56．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用圖像解決實(shí)際問(wèn)題．★知識(shí)點(diǎn)5:利潤(rùn)類典例分析【例1】（2018·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）隨著龍蝦節(jié)的火熱舉辦，某龍蝦養(yǎng)殖大戶為了發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢(shì)，一次性收購(gòu)了10000kg小龍蝦，計(jì)劃養(yǎng)殖一段時(shí)間后再出售．已知每天養(yǎng)殖龍蝦的成本相同，放養(yǎng)10天的總成本為166000，放養(yǎng)30天的總成本為178000元．設(shè)這批小龍蝦放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為akg，銷售單價(jià)為y元/kg，根據(jù)往年的行情預(yù)測(cè)，a與t的函數(shù)關(guān)系為a=，y與t的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）設(shè)每天的養(yǎng)殖成本為m元，收購(gòu)成本為n元，求m與n的值；（2）求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果將這批小龍蝦放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤(rùn)為W元．問(wèn)該龍蝦養(yǎng)殖大戶將這批小龍蝦放養(yǎng)多少天后一次性出售所得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（總成本=放養(yǎng)總費(fèi)用+收購(gòu)成本；利潤(rùn)=銷售總額﹣總成本）【答案】（1）m=600，n=160000；（2）；（3）該龍蝦養(yǎng)殖大戶將這批小龍蝦放養(yǎng)25天后一次性出售所得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是108500元.【詳解】【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出方程組的解得到m與n的值即可；（2）根據(jù)圖象，分類討論利用待定系數(shù)法求出y與P的解析式即可；（3）根據(jù)W=ya﹣mt﹣n，表示出W與t的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求出所求即可．【詳解】（1）依題意得，解得：；（2）當(dāng)0≤t≤20時(shí)，設(shè)y=k1t+b1，由圖象得：，解得：∴y=t+16；當(dāng)20＜t≤50時(shí)，設(shè)y=k2t+b2，由圖象得：，解得：，∴y=﹣t+32，綜上，；（3）W=ya﹣mt﹣n，當(dāng)0≤t≤20時(shí)，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t，∵5400＞0，∴當(dāng)t=20時(shí)，W最大=5400×20=108000，當(dāng)20＜t≤50時(shí)，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500，∵﹣20＜0，拋物線開(kāi)口向下，∴當(dāng)t=25，W最大=108500，∵108500＞108000，∴當(dāng)t=25時(shí)，W取得最大值，該最大值為108500元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，具體考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2021秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某商店以每件5元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種文具，由試銷知，該文具每天的銷售量m（件）與單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．（1）寫出商店每天銷售這種文具的利潤(rùn)y（元）與單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式？（2）商店要想每天獲得利潤(rùn)21元，單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3）商店要想每天獲得最大利潤(rùn)，單價(jià)應(yīng)定為多少元？最大利潤(rùn)為多少？【答案】（1）；（2）單價(jià)應(yīng)定為元或元；（3）單價(jià)應(yīng)定為每件元，最大利潤(rùn)為元．【分析】（1）根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量”可得函數(shù)解析式；（2）把代入（1）中函數(shù)解析式，可得一元二次方程，解方程可得答案；（3）將（1）中所得函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意知：

（2）當(dāng)時(shí)，即商店要想每天獲得利潤(rùn)21元，單價(jià)應(yīng)定為每件元或元．（3）∵∴當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為，答：商店要想每天獲得最大利潤(rùn)，單價(jià)應(yīng)定為每件元，最大利潤(rùn)為元．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，列二次函數(shù)關(guān)系式，一元二次方程的解法，二次函數(shù)的最值，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2020秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）2015年9月19日第九屆合肥文博會(huì)開(kāi)幕．開(kāi)幕前夕，我市某工藝廠設(shè)計(jì)了一款成本為10元/件的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷．經(jīng)過(guò)調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：銷售單價(jià)x（元/件）…2030405060…每天銷售量（y件）…500400300200100…（1）把上表中x、y的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，猜想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）開(kāi)幕后，合肥市物價(jià)部門規(guī)定，該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過(guò)38元/件，那么銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠銷售該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）一次函數(shù)，y=-10x+700；(2)銷售單價(jià)定為40元∕件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大．最大利潤(rùn)是9000元；(3)銷售單價(jià)定為38元∕件時(shí)，工藝廠銷售該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大．最大利潤(rùn)是8960元．【分析】（1）利用表中x、y的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出即可，再根據(jù)點(diǎn)的分布得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出即可；（2）根據(jù)利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本總價(jià)，由（1）中函數(shù)關(guān)系式得出W=（x-10）（-10x+700），進(jìn)而利用二次函數(shù)最值求法得出即可；（3）利用二次函數(shù)的增減性，結(jié)合對(duì)稱軸即可得出答案．【詳解】（1）畫圖：由圖可知，這幾個(gè)點(diǎn)在一條直線上，所以猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系．設(shè)這個(gè)一次函數(shù)為y=kx+b（k≠0），∵這個(gè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（20，500）、（30，400）這兩點(diǎn)，∴，解得：，∴此函數(shù)關(guān)系式是y=-10x+700．（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)是W元，依題意得：W=（x-10）(-10x+700）=-10x2+800x-7000=-10（x-40）2+9000，∴當(dāng)x=40時(shí)，W有最大值9000．答：銷售單價(jià)定為40元∕件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大．最大利潤(rùn)是9000元．（3）對(duì)于函數(shù)W=-10（x-40）2+9000，當(dāng)x≤38時(shí)，W的值隨著x值的增大而增大，∴當(dāng)x=38時(shí)，最大=-10×（38-40）2+9000=8960，答：銷售單價(jià)定為38元∕件時(shí)，工藝廠銷售該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大．最大利潤(rùn)是8960元．2．（2023春·山東泰安·九年級(jí)?？计谀┠成唐返倪M(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元），設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式為；x的取值范圍為，且x為正整數(shù)；（2）每件商品的售價(jià)定為55元或56元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)，最大的月利潤(rùn)是2400元.【分析】（1）先求出每件商品的售價(jià)上漲x元后的月銷量，再根據(jù)“月利潤(rùn)=每件利潤(rùn)月銷量”列出等式即可；根據(jù)x為正整數(shù)，和每件售價(jià)不能高于65元寫成x的取值范圍；（2）根據(jù)題（1）的結(jié)論，利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元，則商品的售價(jià)為元，月銷量為件由題意得：整理得：由每件售價(jià)不能高于65元得：，即又因x為正整數(shù)則x的取值范圍為：，且x為正整數(shù)綜上，y與x的函數(shù)關(guān)系式為；x的取值范圍為，且x為正整數(shù)；（2）的對(duì)稱軸為：則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小因x為正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，y取得最大值；當(dāng)時(shí)，，y取得最大值，比較這兩個(gè)最大值即可得出最大利潤(rùn)將代入得：，此時(shí)售價(jià)為將代入得：，此時(shí)售價(jià)為答：每件商品的售價(jià)定為55元或56元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)，最大的月利潤(rùn)是2400元.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，依據(jù)題意建立等式是解題關(guān)鍵.需要注意的是，在根據(jù)函數(shù)的增減性求最大利潤(rùn)時(shí)，要考慮對(duì)稱軸的兩側(cè)，避免漏解.1．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）五一假期，小王一家從杭州到溫州自駕游，已知杭州到溫州市區(qū)A處的路程為300千米，小王家的車油箱的容積為55升，小王把油箱加滿后駕駛汽車從杭州出發(fā)．

(1)求汽車行駛的總路程s（單位：千米）與平均耗油量b（單位：升/千米）的函數(shù)表達(dá)式．(2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度駕駛汽車到達(dá)溫州市區(qū)A處，休整后沿圖示路線繼續(xù)出發(fā)，先到雁蕩山B處，再到楠溪江C處，最后到洞頭D處．由于下雨，從A處開(kāi)始直到D處小王降低了車速，此時(shí)平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始終以此速度行駛，不需加油能否到達(dá)洞頭D處？如果不能，至少還需加多少油？【答案】(1)(2)不加油不能到達(dá)洞頭D處，還需加油升以上【分析】（1）利用公式：路程總?cè)莘e平均耗油量，即可得的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出到達(dá)溫州市區(qū)A處所需油量與從A處到達(dá)洞頭D處所需油量之和，再和55升比較即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：；（2）從杭州到溫州A處，一共耗油升，從處：，一共耗油升，∴不加油不能到達(dá)洞頭D處，還需：升答：不加油不能到達(dá)洞頭D處，還需加油5升以上．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解平均耗油量與行駛路程的關(guān)系．2．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某醫(yī)藥研究所研制了一種新藥，在試驗(yàn)藥效時(shí)發(fā)現(xiàn)：成人按規(guī)定劑量服用后，檢測(cè)到從第10分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.3微克，第100分鐘達(dá)到最高，接著開(kāi)始衰退．血液中含藥量y（微克）與時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖，并發(fā)現(xiàn)衰退時(shí)y與x成反比例函數(shù)關(guān)系．

(1)______；(2)分別求出當(dāng)和時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)如果每毫升血液中含藥量不低于12微克時(shí)是有效的，求一次服藥后的有效時(shí)間是多少分鐘？【答案】(1)27(2)當(dāng)時(shí)，解析式為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為(3)175分鐘【分析】（1）根據(jù)“從第10分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.3微克”即可求解；（2）利用待定系數(shù)法即可求解；（3）分別令，即可求解．【詳解】（1）解：∵從第10分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.3微克∴（2）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴解得：，∴解析式為；

當(dāng)時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴解得：，∴函數(shù)的解析式為；（3）解：令解得：，令，解得：∴分鐘，∴服藥后能持續(xù)175分鐘.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式、利用函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題等．將實(shí)際問(wèn)題與函數(shù)建立正確聯(lián)系是解題關(guān)鍵．3．（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考一模）生理學(xué)家發(fā)現(xiàn)每個(gè)人有一條腿邁出的步子比另一條腿邁出的步子長(zhǎng)的特點(diǎn)，這就導(dǎo)致每個(gè)人在蒙上眼睛行走時(shí)，雖然主觀上沿某一方向直線前進(jìn)，但實(shí)際上走出的是一個(gè)大圓圈！這就是有趣的“嗐轉(zhuǎn)圈”現(xiàn)象．經(jīng)研究，某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑y(tǒng)（米）是其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差x（厘米）的反比例函數(shù)，y與x之間有如表關(guān)系，x（厘米）1235y（米）7請(qǐng)根據(jù)表中的信息解決下列問(wèn)題：(1)求出y與x之間的函數(shù)解析式；(2)若某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為35米，則其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差是多少厘米？【答案】(1)y與x之間的函數(shù)解析式為(2)某人走出的大圓圈的半徑為35米，其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差是厘米【分析】（1）將代入函數(shù)解析式為，運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可；（2）令，求得x的值即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為，

將代入得，

∴，∴y與x之間的函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，即，

解得

∴某人走出的大圓圈的半徑為35米，其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差是厘米【點(diǎn)睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與實(shí)際的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，理解反比例函數(shù)的定義及圖象的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，長(zhǎng)，寬，深的長(zhǎng)方體水池被隔成底面分別是和的甲，乙兩池（設(shè)隔墻厚度忽略不計(jì)），兩池隔墻下方有閥門相連．

(1)當(dāng)兩池間的閥門關(guān)閉時(shí)，設(shè)進(jìn)水管每小時(shí)注入甲池放得水量是a立方米，注滿甲池的時(shí)間為，與a之間的函數(shù)關(guān)系式是___________；(2)注滿甲池后，進(jìn)水管自動(dòng)關(guān)閉，同時(shí)兩池間的閥門開(kāi)啟，設(shè)甲池的水每小時(shí)流入乙池的水量也是a立方米，后水流停止，與a之間的函數(shù)關(guān)系式是___________；(3)如果要在內(nèi)能依次完成第（1），（2）題中所述的過(guò)程，那么進(jìn)水管和兩池間的閥門每小時(shí)至少要通過(guò)多少水量？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求得甲池的總水量，再根據(jù)總水量等于注滿水的時(shí)間乘以注水速度可求解；（2）先求得甲池和乙池水面齊平時(shí)的水的深度，進(jìn)而求得流入乙池的總水量，進(jìn)而可求解；（3）根據(jù)題意得，即，解方程即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，則，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，當(dāng)甲池和乙池水面齊平時(shí)水流停止，這時(shí)水的深度為，則乙池總水量為，由得，故答案為：；（3）解：由題意，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，答：進(jìn)水管和兩池間的閥門每小時(shí)至少要通過(guò)水量．【點(diǎn)睛】本題考查求反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．5．（2016·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）保護(hù)生態(tài)環(huán)境，建設(shè)環(huán)境友好型社會(huì)已經(jīng)從理念變?yōu)槿藗兊男袆?dòng)．我市某企業(yè)由于排污超標(biāo)，于2010年2月起適當(dāng)限產(chǎn)，并投入資金進(jìn)行治污改造，5月底治污改造工程順利完工．已知該企業(yè)2010年1月的利潤(rùn)為200萬(wàn)元，設(shè)第x個(gè)月的利潤(rùn)為y萬(wàn)元（2010年1月為第1個(gè)月）．當(dāng)1≤x≤5時(shí)，y與x成反比例；當(dāng)x＞5時(shí)，該企業(yè)每月的利潤(rùn)比前一個(gè)月增加20萬(wàn)元．（1）分別求1≤x≤5和x＞5時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）治污改造工程完工后經(jīng)過(guò)幾個(gè)月，該企業(yè)月利潤(rùn)才能達(dá)到2010年1月的水平？（3）當(dāng)月利潤(rùn)少于100萬(wàn)元時(shí)為該企業(yè)資金緊張期，問(wèn)該企業(yè)資金緊張期共有幾個(gè)月？【答案】（1）當(dāng)1≤≤5時(shí)，；當(dāng)＞5時(shí)，；（2）經(jīng)過(guò)8個(gè)月后，該企業(yè)利潤(rùn)達(dá)到200萬(wàn)元．（3）資金緊張的時(shí)間為：3，4，5，6，7月份，共5個(gè)月.