第01講 銳角三角函數(shù)和特殊角（原卷版）

第01講銳角三角函數(shù)和特殊角目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解銳角三角形（正切、正弦、余弦）的意義，會(huì)表述正切（正弦、余弦）與梯子傾斜程度的關(guān)系。2.能夠運(yùn)用tanA，sinA和cosA表示直角三角形中兩邊的比。3.能夠根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。4.知道坡度的意義，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。5.會(huì)推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值。

6．理解并能熟練運(yùn)用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”。7.利用特殊角的三角函數(shù)值解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01銳角的正切1．正切的定義如圖所示，在中，，如果銳角A確定，那么的的比便隨之確定，這個(gè)比叫做的正切值。記作tanA，即tanA=。2．注意事項(xiàng)（1）tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示的正切，不能寫(xiě)成。①對(duì)于用一個(gè)大寫(xiě)英文字母或希臘字母，等表示的角，表示正切時(shí)習(xí)慣省去角的符號(hào)“”，如tanA，tan等。②對(duì)于用三個(gè)大寫(xiě)英文字母或阿拉伯?dāng)?shù)字表示的角，角的符號(hào)“”不能省略，如tan，tan等。（2）tanA沒(méi)有單位，它的值只與的大小有關(guān)，與所在的直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)。（3）tanA的平方用“”表示，的2倍用“2”表示。提示：①銳角A的大小確定之后，它所在的直角三角形的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定，即銳角的正切值的大小只與銳角的大小有關(guān)，與其所在的直角三角形的大小無(wú)關(guān)。②對(duì)于銳角A來(lái)說(shuō)，的取值范圍是，的值隨銳角A的增大而增大。知識(shí)點(diǎn)02坡度與坡角1．定義如圖所示，我們通常把坡面的的比叫做坡度（或坡比），坡度常用字母i表示。把坡面與水平面的夾角稱為坡角。2．兩者之間的關(guān)系坡度是坡角的，即。知識(shí)點(diǎn)03銳角的正弦、余弦1．正弦如圖所示，在中，，如果銳角A確定，那么的的比便隨之確定，這個(gè)比叫做的正弦。記作sinA，即sinA=。2．余弦如圖所示，在中，，如果銳角A確定，那么的的比便隨之確定，這個(gè)比叫做的余弦。記作cosA，即cosA=。注意：(1)正弦、余弦的定義與正切一樣，是在直角三角形中對(duì)其銳角定義的，它們實(shí)質(zhì)上是兩條線段的長(zhǎng)度之比，是一個(gè)數(shù)值，沒(méi)有單位，其大小與角的大小有關(guān)，與所在的直角三角形的三條邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)。

(2)對(duì)于用一個(gè)希臘字母或一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示的角，角的符號(hào)“”習(xí)慣上省略不寫(xiě)，但對(duì)于用三個(gè)大寫(xiě)英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示的角，角的符號(hào)“”不能省略，如sinABC，sin1。

(3)sin，cos都是一個(gè)完整的符號(hào)，不能把sin寫(xiě)成sin，離開(kāi)了的sin是沒(méi)有意義的。

(4)sin2A表示sinA·sinA=(sinA)2，不能寫(xiě)成sinA2；cos2A表示cosA·cosA=(cosA)2，不能寫(xiě)成cos

A2。知識(shí)點(diǎn)04銳角三角函數(shù)的概念（1）銳角A的、和都是的三角函數(shù)。當(dāng)銳角A變化時(shí)，相應(yīng)的正弦、余弦和正切值也隨之變化。（2）同角的正弦、余弦之間的關(guān)系（平方關(guān)系）：。（3）同角的正弦、余弦與正切之間的關(guān)系（商的關(guān)系）：。（4）互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：銳角A，B，且，則，，。知識(shí)點(diǎn)05梯子的傾斜程度與三角函數(shù)的關(guān)系如圖所示，若AB表示傾斜靠墻的梯子，則梯子的傾斜程度與它的傾斜角有關(guān)，傾斜角越大，梯子越陡。tan的值，梯子越陡；sin的值，梯子越陡；cos的值，梯子越陡。知識(shí)點(diǎn)06，，角的三角函數(shù)值1．圖示記憶法根據(jù)正弦、余弦和正切的定義，結(jié)合下圖，可以得到如下幾個(gè)常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。2．表格記憶法角sincostan1提示：銳角三角函數(shù)值的增減變化（1）當(dāng)角度在~之間變化時(shí)，正弦值隨角度的增大而增大；余弦值隨角度的增大而減?。徽兄惦S角度的增大而增大。（2）當(dāng)銳角時(shí)，；當(dāng)銳角時(shí)，；當(dāng)銳角時(shí)，。知識(shí)點(diǎn)07特殊角的三角函數(shù)值的實(shí)際應(yīng)用利用三角函數(shù)解應(yīng)用題的一般步驟：（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，構(gòu)造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函數(shù)模型；（2）利用三角函數(shù)的定義表示題目中相關(guān)的量；（3）找出各個(gè)量之間的關(guān)系；（4）利用已知量與未知量的關(guān)系求出未知量；（5）作答。能力拓展能力拓展考法01利用銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)或面積【典例1】如圖，在Rt△ABC中，直角邊BC的長(zhǎng)為m，∠A＝40°，則斜邊AB的長(zhǎng)是（）A．msin40° B．mcos40° C． D．【即學(xué)即練】已知在中，，，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【典例2】如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)剛好落在直線上，則的面積為（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=2，tan∠ABC=2.以AB為邊向三角形外部作正方形，則該正方形的面積是（）A．8 B．12 C．18 D．20考法02求銳角三角函數(shù)值【典例3】在中，，的余弦是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】在Rt△ABC中，，，，則的余弦值為（）A． B． C． D．【典例4】在中，，，，則的值為（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，以下正確的是（）A． B． C． D．考法03應(yīng)用坡度解決實(shí)際問(wèn)題【典例5】如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1：，壩高BC=4m，則AB的長(zhǎng)度為（）A．2m B．4m C．4m D．6m【即學(xué)即練】河堤橫斷面如圖所示，堤高米，迎水坡的坡比為，則AB的長(zhǎng)為（）A．米 B．米 C．18米 D．21米【典例6】如圖，在山坡上種樹(shù)，坡度i＝1：2，AB＝5m，則相鄰兩樹(shù)的水平距離AC為（）A．5m B．m C．2m D．10m【即學(xué)即練】如圖，在平地上種植樹(shù)木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹(shù)間的水平距離）都為4m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹(shù)，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹(shù)間的坡面距離為（）A．5m B．6m C．7m D．8m考法04特殊角的三角函數(shù)值【典例7】計(jì)算?tan60°的值等于（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】4cos60°的值為（）A． B．2 C． D．2【典例8】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值為（）A．1 B． C． D．【即學(xué)即練】已知∠A，∠B均為銳角，且cosA=，sinB=，則下列結(jié)論中正確的是（）A．∠A=∠B=60° B．∠A=∠B=30°C．∠A=30°，∠B=60° D．∠A=60°，∠B=30°分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，則tanB的值是（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．3．對(duì)角線長(zhǎng)為的正方形，邊長(zhǎng)是多少（）A． B． C． D．4．的值等于（

）A． B． C．1 D．5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA等于（）A． B． C． D．16．市防控辦準(zhǔn)備制作一批如圖所示的核酸檢測(cè)點(diǎn)指示牌，若指示牌的傾斜角為，鉛直高度為h，則指示牌的邊AB的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．7．比較大小：_________（選填“＞”、“＝”或“＜”）．8．有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為20m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=，則此斜坡的水平距離AC=_____m9．計(jì)算：（1）；（2）；（3）．10．如圖，在中，，，．求的三個(gè)三角函數(shù)值．題組B能力提升練1．在中，，則=(

)A． B． C． D．2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，則cosB的值為（）A． B． C． D．23．如圖，舊樓的一樓窗臺(tái)高為1米，在舊樓的正南處有一新樓高25米．已知某日中午12時(shí)太陽(yáng)從正南方照射的光線與水平線的夾角為，光線正好照在舊樓一樓窗臺(tái)上，則兩樓之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米4．圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F，若BC=4，sin∠CEF=，則△AEF的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，在中，，，以為斜邊向外作，、分別為、的中點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點(diǎn)H是高AD和BE的交點(diǎn)，∠CAD＝30°，CD＝4，則線段BH的長(zhǎng)度為（

）A．6 B． C．8 D．7．計(jì)算：__________．8．如圖，在矩形中，為上的點(diǎn)，，，則______．9．如圖，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．(1)求CE的長(zhǎng)；(2)求∠ADE的余弦．10．如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→A的方向以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)若點(diǎn)P在邊AC上，當(dāng)為何值時(shí)，APQ為直角三角形？(2)是否存在這樣的值，使APQ的面積為cm2？若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題組C培優(yōu)拔尖練1．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，將△ABC旋轉(zhuǎn)得到△ADE，且點(diǎn)D恰好在AC上，sin∠DCE的值是（）A． B． C． D．2．如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)O，B，則的值等于（

）A． B． C． D．3．中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1，為直角三角形中的一個(gè)銳角，則（

）A．2 B． C． D．4．在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E為AC上一點(diǎn)，且CE＝5AE，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，則DF的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．25．如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD為△ABC的角平分線，若，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C．4 D．6．如圖，洋洋一家駕車(chē)從A地出發(fā)，沿著北偏東60°的方向行駛，到達(dá)B地后沿著南偏東50°的方向行駛來(lái)到C地，且C地恰好位于A地正東方向，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B地在C地的北偏西40°方向上 B．A地在B地的南偏西30°方向上C． D．7．兩塊全等的等腰直角三角形如圖放置，交于點(diǎn)P，E在斜邊上移動(dòng)，斜邊交于點(diǎn)Q，，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________．8．如圖，CD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長(zhǎng)是______