第一章綜合測(cè)試

第一章綜合測(cè)試考試時(shí)間：100分鐘滿分：100分一、選擇題(共10個(gè)小題，每小題4分，共40分)1．(2019年棗莊模擬)已知在△ABC中，若AC＝eq\r(3)BC，C＝eq\f(π,6)，S△ABC＝eq\r(3)sin2A，則S△ABC＝()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D．2解析：由余弦定理，可得AB2＝BC2＋3BC2－2×BC×eq\r(3)BC×eq\f(\r(3),2)＝BC2，所以AB＝BC，故A＝C＝eq\f(π,6)，所以S△ABC＝eq\r(3)sin2A＝eq\f(\r(3),4)，故選A.答案：A2．在△ABC中，a2＋b2－c2＝eq\r(3)ab，則角C為()A．30° B．45°C．60° D．120°解析：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3)ab,2ab)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝30°.答案：A3．已知△ABC中，b＝10，A＝60°，C＝75°，則a＝()A．5eq\r(2) B．5eq\r(6)C．5eq\r(3) D．10eq\r(2)解析：B＝45°，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)?eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(a,\f(\r(3),2))，∴a＝5eq\r(6).答案：B4．在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2(A＋B)，則C的范圍是()A．(0，π) B．(0，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,2)，π) D．不能確定解析：依題意有sin2A＋sin2B<sin2C，由正弦定理有a2＋b2<c2，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0.∴C為鈍角，選C.答案：C5．E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則tan∠ECF＝()A.eq\f(16,27) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(3,4)解析：圖1如圖1，取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，則∠ECF＝2∠ECD，設(shè)AB＝2a，則CD＝AD＝a，ED＝eq\f(a,3)，tan∠ECD＝eq\f(DE,CD)＝eq\f(1,3)，∴tan∠ECF＝tan2∠ECD＝eq\f(2×\f(1,3),1－（\f(1,3)）2)＝eq\f(3,4).答案：D6.在一幢20m高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°，那么這座塔的高是()圖2A．20(1＋eq\f(\r(3),3))mB．20(1＋eq\r(3))mC．10(eq\r(6)＋eq\r(2))mD．20(eq\r(6)＋eq\r(2))m解析：∵BC＝EC＝AE＝20m，∴CD＝tan60°×20＝20eq\r(3)m，∴BD＝BC＋CD＝20＋20eq\r(3)＝20(1＋eq\r(3))m.答案：B7．在△ABC中，lga－lgb＝lgsinB＝－lgeq\r(2)，B為銳角，則A的值是()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝45°，eq\f(a,b)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(sinA,sinB)，∴sinA＝eq\f(1,2)，即A＝30°.答案：A8．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)＝()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：本題雖可兩邊同時(shí)除以a，得出eq\f(b,a)的表達(dá)式，但無法繼續(xù)求值，此思路受阻．注意觀察到兩邊的表達(dá)式中邊較齊，所以由正弦定理化邊為角比較直接．將asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a兩邊同時(shí)除以2R，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R可得sin2A·sinB＋sinB·cos2A＝eq\r(2)sinA，∴sinB＝eq\r(2)sinA，∴eq\f(sinB,sinA)＝eq\r(2)＝eq\f(b,a).答案：D9．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這只船的速度是每小時(shí)()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里解析：如圖3，BC＝10，∠BAD＝75°，∠CAD＝60°.∴∠BAC＝15°，∠BCA＝150°.圖3在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，∴AB＝eq\f(10sin150°,sin15°).在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABD＝AB·sin15°＝10sin150°＝5，∴速度v＝eq\f(AD,0.5)＝10(海里/小時(shí))，選C.答案：C10．△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D為BC上一點(diǎn)，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3)－1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，則AD＝()A．4(eq\r(3)－1) B．4(eq\r(3)＋1)C．4(3－eq\r(3)) D．4(3＋eq\r(3))解析：|BD|＝4(eq\r(3)－1)，|AB|＝8(eq\r(3)－1)，|AD|＝4(3－eq\r(3))．答案：C二、填空題(共4個(gè)小題，每小題5分，共20分)11．平行四邊形ABCD中，AB＝4eq\r(6)，AC＝4eq\r(3)，∠BAC＝45°，則AD＝__________．解析：AD2＝BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos45°＝(4eq\r(6))2＋(4eq\r(3))2－2×4eq\r(6)×4eq\r(3)×eq\f(\r(2),2)＝48，∴AD＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)12．(2019年紹興月考)江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得兩條船的俯角分別為45°與60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部的兩條連線成30°角，則兩條船之間的距離為__________m.解析：設(shè)炮臺(tái)頂部為A，炮臺(tái)底部為D，兩條船分別為B、C，∠BAD＝45°，則∠CAD＝90°－60°＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30.在Rt△ABD，Rt△ACD中分別可得DB＝30，DC＝10eq\r(3).在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°＝300，∴BC＝10eq\r(3)，即兩條船之間的距離為10eq\r(3)m.答案：10eq\r(3)13．(2018年高考·北京卷)若△ABC的面積為eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且∠C為鈍角，則∠B＝________；eq\f(c,a)的取值范圍是________．解析：△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)＝eq\f(\r(3),4)×2accosB，所以tanB＝eq\r(3)，因?yàn)?°<∠B<180°，所以∠B＝60°.因?yàn)椤螩為鈍角，所以0°<∠A<30°，所以0<tanA<eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sin（\f(2π,3)－A）,sinA)＝eq\f(sin\f(2π,3)cosA－cos\f(2π,3)sinA,sinA)＝eq\f(\r(3),2tanA)＋eq\f(1,2)>2，故eq\f(c,a)的取值范圍為(2，＋∞)．答案：60°(2，＋∞)14．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為__________．圖4解析：BC＝40sin45°＝20eq\r(2)，BM＝BN＝30，MC＝NC＝10，∴MN＝20，∴t＝eq\f(20,20)＝1(小時(shí))．答案：1小時(shí)三、解答題(共4個(gè)小題，共40分)15．(8分)(2019年巴蜀模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，求證：eq\f(acos2B,b)－eq\f(bcos2A,a)＝c(eq\f(cosB,b)－eq\f(cosA,a))．證明：左邊＝eq\f(a（1－sin2B）,b)－eq\f(b（1－sin2A）,a)＝eq\f(a,b)－eq\f(b,a)－(eq\f(asin2B,b)－eq\f(bsin2A,a))＝eq\f(a,b)－eq\f(b,a)－(eq\f(sinAsin2B,sinB)－eq\f(sinBsin2A,sinA))＝eq\f(a,b)－eq\f(b,a).右邊＝c(eq\f(a2＋c2－b2,2abc)－eq\f(b2＋c2－a2,2abc))＝eq\f(2a2－2b2,2ab)＝eq\f(a2－b2,ab)＝eq\f(a,b)－eq\f(b,a)，所以左邊＝右邊，故原等式成立．16．(10分)(2019年昆明月考)如圖5，在平行四邊形ABCD中，AB＝x，BC＝1，對(duì)角線AC與BD的夾角∠BOC＝45°，記直線AB與CD的距離為h(x)．請(qǐng)求出h(x)的表達(dá)式，并寫出x的取值范圍．圖5解：在△BOC中，由余弦定理，得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OCcos∠BOC，所以O(shè)B2＋OC2－eq\r(2)OB·OC＝1.①在△ABO中，由余弦定理，得BA2＝OB2＋OA2－2OB·OAcos∠BOA，所以O(shè)B2＋OA2＋eq\r(2)OB·OA＝x2.②又OC＝OA，從而由②－①，得OB·OA＝eq\f(x2－1,2\r(2))，所以S△OBA＝eq\f(1,2)OB·OAsin135°＝eq\f(\r(2),4)OB·OA＝eq\f(x2－1,8).又S△OBA＝eq\f(1,2)AB×eq\f(1,2)h(x)，所以h(x)＝eq\f(x2－1,2x).易知0<h(x)≤1，所以可解得1<x≤eq\r(2)＋1.綜上所述，所求h(x)＝eq\f(x2－1,2x)，x的取值范圍為(1，eq\r(2)＋1]．17．(10分)某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：如圖6，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測(cè)點(diǎn)A，B相距100m，∠BAC＝60°，其中A到C的距離比B到C的距離多40m．從A地測(cè)得該儀器在C處時(shí)的俯角為15°，測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)H處時(shí)的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度CH.圖6解：由題意，設(shè)AC＝xm，則BC＝(x－40)m，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝BA2＋AC2－2BA·ACcos∠BAC，即(x－40)2＝10000＋x2－100x，解得x＝420.在△ACH中，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠AHC＝60°，由正弦定理可得CH＝AC·eq\f(sin∠CAH,sin∠AHC)＝140eq\r(6)(m)．即該儀器的垂直彈射高度CH為140eq\r(6)m.(12分)(2019年徐州模擬)如圖7，有一直徑為8m的半圓形空地，現(xiàn)計(jì)劃種植甲、乙兩種水果．已知單位面積種植甲種水果的經(jīng)濟(jì)價(jià)值是種植乙種水果的經(jīng)濟(jì)價(jià)值的5倍，但種植甲種水果需要有輔助光照．半圓周上的C處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足甲種水果生長(zhǎng)的需要，該光源照射的角度∠ECF＝eq\f(π,6)，點(diǎn)E，F(xiàn)在直徑AB上，且∠ABC＝eq\f(π,6).圖7(1)若CE＝eq\r(13)m，求AE的長(zhǎng)；(2)設(shè)∠ACE＝α，求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟(jì)價(jià)值時(shí)種植甲種水果的面積．解：(1)由已知，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓周上，所以△ABC為直角三角形．因?yàn)锳B＝8，∠ABC＝eq\f(π,6)，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，AC＝4，在△ACE中，由余弦定理得CE2＝AC2＋AE2－2AC·AEcos∠BAC，所以13＝16＋AE2－4AE，解得AE＝1或AE＝3.故AE的長(zhǎng)為1m或3m.(2)因?yàn)椤螦CB＝eq\f(π,2)，∠ECF＝eq\f(π,6)，所以∠ACE＝∈[0，eq\f(π,3)]，所以∠AFC＝π－∠BAC－∠ACF＝π－eq\f(π,3)－(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(π,2)－α.在△ACF中，由正弦定理，得eq\f(CF,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠AFC)＝eq\f(AC,sin（\f(π,2)－α）)＝eq\f(AC,cosα)，所以CF＝eq\f(2\r(3),cosα).在△ACE中，由正弦定理，得eq\f(CE,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠AEC)＝eq\f(AC,sin（π－\f(π,3)－α）)＝eq\