平面解析幾何大單元卷（解析版）

平面解析幾何大單元卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到所求直線(xiàn)的斜率，結(jié)合直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】由題意知，直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)樗笾本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以所求直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足，即，又因?yàn)樗笾本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以方程為，即.故選：C.2．橢圓的焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】由，得為等邊三角形，則可得，所以，再由橢圓方程求得，代入可求出的值【詳解】由，得，則，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，，所以為等邊三角形，所以，所以，所以，所以，所以，解得，故選：C3．已知直線(xiàn)和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】應(yīng)用點(diǎn)線(xiàn)距離公式及幾何法求圓的弦長(zhǎng)公式列方程求半徑即可.【詳解】由圓心為原點(diǎn)，則圓心到直線(xiàn)距離，又，

所以.故選：C4．已知雙曲線(xiàn)：的左?右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，，，則雙曲線(xiàn)的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)且，，，利用余弦定理求得c，再利用雙曲線(xiàn)的定義求得a即可.【詳解】解：設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為.由題意，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義得，解得，故雙曲線(xiàn)的離心率.故選：D5．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)為軸正半軸上一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B．64 C． D．80【答案】A【分析】線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于兩點(diǎn),結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得與互相平分,則四邊形為菱形,可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),通過(guò)幾何關(guān)系求出點(diǎn)坐標(biāo),在代入拋物線(xiàn)方程即可求解.【詳解】因?yàn)榫€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于兩點(diǎn)，所以結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得與互相平分,則四邊形為菱形.設(shè)點(diǎn)且則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，令與軸交于點(diǎn),又，則在直角三角形中繼而可得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)，可得，解得，直角三角形中,所以四邊形的周長(zhǎng)為.故選：A.6．已知離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為該橢圓上位于軸上方一點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則直線(xiàn)的斜率為（

）A．或B．或C．或D．或【答案】C【分析】由離心率可求出，可得出，設(shè)，則，可得出、的方程，即可得到、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出.【詳解】由，得，則、，設(shè)，則，設(shè)，則，直線(xiàn)的方程為，則的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的方程為，則的坐標(biāo)為，所以，解得或．故選：C.7．已知A，B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)P到直線(xiàn)AB距離的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】D【分析】設(shè)P、C到直線(xiàn)AB的距離分別為，根據(jù)題意結(jié)合垂徑定理可得，再根據(jù)結(jié)合幾何關(guān)系分析求解.【詳解】由題意可知：圓C：的圓心，半徑，則，設(shè)P、C到直線(xiàn)AB的距離分別為，因?yàn)?，解得，分別過(guò)P、C作，垂足分別為，再過(guò)C作，垂足為，顯然當(dāng)P、C位于直線(xiàn)AB的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離較大，

則，當(dāng)且僅當(dāng)，即直線(xiàn)AB與直線(xiàn)PC垂直時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)AB距離的最大值為7.故選：D.8．2022年12月4日20點(diǎn)10分，神舟十四號(hào)返回艙順利著陸，人們清楚全面地看到了神舟十四號(hào)返回艙成功著陸的直播盛況.根據(jù)搜救和直播的需要，在預(yù)設(shè)著陸場(chǎng)的某個(gè)平面內(nèi)設(shè)置了兩個(gè)固定拍攝機(jī)位和一個(gè)移動(dòng)拍攝機(jī)位.根據(jù)當(dāng)時(shí)氣候與地理特征，點(diǎn)在拋物線(xiàn)（直線(xiàn)與地平線(xiàn)重合，軸垂直于水平面.單位：十米，下同.的橫坐標(biāo)）上，的坐標(biāo)為.設(shè)，線(xiàn)段，分別交于點(diǎn)，，在線(xiàn)段上.則兩固定機(jī)位，的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，，根據(jù)條件，，得出坐標(biāo)間的關(guān)系，表示直線(xiàn)的方程，求出恒過(guò)的定點(diǎn)即為點(diǎn)，計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，，，，，根據(jù)條件有，，,，.∴，.由題意互不相等，把，，分別代入上兩式化簡(jiǎn)得，，消去得.的方程是，即，∴的方程為，則，∴經(jīng)過(guò)定點(diǎn).所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.，即兩固定機(jī)位的距離為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．”后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線(xiàn)的方程為B．直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)C．曲線(xiàn)被軸截得的弦長(zhǎng)為D．面積的最大值為【答案】ACD【分析】通過(guò)阿氏圓的定義結(jié)合，設(shè)，從而可以得到曲線(xiàn)C的方程；通過(guò)計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離是否小于等于半徑，從而判斷B的正確性；計(jì)算圓心到軸的距離，結(jié)合，得到曲線(xiàn)被軸截得的弦長(zhǎng)，從而判斷C的正確性；的長(zhǎng)度確定，所以面積的最大值即為點(diǎn)到距離的最大值，從而判斷C的正確性.【詳解】設(shè)，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榍€(xiàn)C為，所以圓心為，半徑為，計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離為，所以直線(xiàn)與曲線(xiàn)C沒(méi)有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，曲線(xiàn)的圓心在軸上，所以被軸截得的弦即為直徑，所以曲線(xiàn)被軸截得的弦長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所?故，而曲線(xiàn)C為，所以，即的最大值為，故D正確.故選：ACD10．拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)，分別交于另一點(diǎn)和，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)C．上任意一點(diǎn)到和的距離相等 D．【答案】CD【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)得到，即可判斷選項(xiàng)C和D；根據(jù)已知條件直接求出C，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)從而計(jì)算直線(xiàn)CD的斜率和方程，進(jìn)而判斷A和B選項(xiàng).【詳解】拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，，故D正確；所以?huà)佄锞€(xiàn)，上任意一點(diǎn)到和準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等，故C正確；設(shè)，，設(shè)，則，所以的方程為，即，聯(lián)立，得，當(dāng)時(shí)，，得，代換，得到，所以，故A錯(cuò)誤；直線(xiàn)CD：，即，不過(guò)定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.故選：CD11．已知橢圓：（），，分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為B．不存在點(diǎn)，使得C．當(dāng)時(shí)，的最大值為D．的最小值為1【答案】ABC【分析】A：根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部可得，從而可得的取值范圍，從而可求離心率的取值范圍；B：根據(jù)相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用橢圓定義將化為，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】對(duì)于A，由已知可得，，所以，則，故A正確；對(duì)于B，由可知，點(diǎn)為原點(diǎn)，顯然原點(diǎn)不在橢圓上，故B正確；對(duì)于C，由已知，，所以，．又，則．根據(jù)橢圓的定義可得，所以，由圖可知，，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得等號(hào)．故的最大值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以，的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)和橢圓為位置關(guān)系，考查橢圓定義和基本不等式在計(jì)算最值問(wèn)題里面的應(yīng)用.12．雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)雙曲線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的切線(xiàn).平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線(xiàn)的夾角.已知分別為雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)，過(guò)右支上一點(diǎn)作直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).則（

）A．的漸近線(xiàn)方程為 B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則 D．四邊形面積的最小值為4【答案】ACD【分析】根據(jù)方程，可直接求出漸近線(xiàn)方程，即可判斷A項(xiàng)；由已知可得，進(jìn)而結(jié)合雙曲線(xiàn)方程，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可推得，點(diǎn)為的中點(diǎn).進(jìn)而得出，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義，即可判斷C項(xiàng)；由，代入利用基本不等式即可求出面積的最小值，判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，，所以的漸近線(xiàn)方程為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，則，整理可得.又，所以，所以有，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，如上圖，顯然為雙曲線(xiàn)的切線(xiàn).由雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn).則垂直平分，即點(diǎn)為的中點(diǎn).又是的中點(diǎn)，所以，，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，四邊形面積的最小值為4，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：C項(xiàng)中，結(jié)合已知中，給出的雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，即可推出.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓：的離心率為，，分別為的上下頂點(diǎn)，為的右頂點(diǎn)，若，則的方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意求出即可得解.【詳解】，則①，又，所以②，由①②解得，所以的方程為.故答案為：.14．過(guò)作圓與圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，若，則的最小值為．【答案】/【分析】利用圓切線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合代入法、二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓，顯然，半徑為1，圓，顯然，半徑為2，因?yàn)槭欠謩e是圓，圓的切線(xiàn)，所以，因?yàn)?，所以有，即，化?jiǎn)，得代入中，得，所以當(dāng)時(shí)，的最小值，故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用圓的切線(xiàn)性質(zhì)得到等式.15．已知雙曲線(xiàn)：的左焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)的右支交于點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出草圖，由為中點(diǎn)，，故過(guò)做構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相切找到長(zhǎng)度，根據(jù)相似找到的長(zhǎng)度，進(jìn)而找到的長(zhǎng)度，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義找到長(zhǎng)度，在直角三角形中，用勾股定理即可找到之間的關(guān)系，再根據(jù)，即可得到離心率.【詳解】由題知，記右焦點(diǎn)為，過(guò)做如圖所示，與圓相切，，，，，為中點(diǎn)，，故，且相似比為，即，，，，，在雙曲線(xiàn)中，有，，，，為直角三角形，，即，化簡(jiǎn)可得，上式兩邊同時(shí)平方，將代入可得，則，即離心率.故答案為：16．已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，則的最小值為.【答案】/【分析】設(shè)點(diǎn)，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用基本不等式求其最小值即可.【詳解】依題意，，設(shè)，則，因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)上，所以得，即，由，得，，，所以，令，，則，，當(dāng)即時(shí)，，；當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí).綜上所述，的最小值為.故答案為：

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點(diǎn).(1)求AB邊所在的直線(xiàn)方程；(2)求中線(xiàn)AM的長(zhǎng)；(3)求AB邊的高所在直線(xiàn)方程.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線(xiàn)方程，整理為一般式即可，也可求出斜率，再由點(diǎn)斜式得直線(xiàn)方程；（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得；（3）先求直線(xiàn)AB的斜率，由垂直關(guān)系可得AB邊高線(xiàn)的斜率，可得高線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可.【詳解】（1）法一：由兩點(diǎn)式寫(xiě)方程得，即；法二：直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程為，即；（2）設(shè)的坐標(biāo)為，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，故，所以；（3）直線(xiàn)AB的斜率為，所以由垂直關(guān)系可得AB邊高線(xiàn)的斜率為，故AB邊的高所在直線(xiàn)方程為,化為一般式可得：.18．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，求直線(xiàn)的斜率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式，即可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）由題意可設(shè)切線(xiàn)方程為，聯(lián)立軌跡的方程，根據(jù)求k值，再將所得兩切線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立求，縱坐標(biāo)，結(jié)合求斜率.【詳解】（1）設(shè)，由，，，∴可得：，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為；（2）由題意知，切線(xiàn)斜率存在且不為，設(shè)切線(xiàn)方程為，聯(lián)立，得，化簡(jiǎn)得，，解得，∴切線(xiàn)方程為和，聯(lián)立，，解得，，∴.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)題設(shè)，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求軌跡；（2）設(shè)切線(xiàn)方程(注意斜率是否存在)，根據(jù)與軌跡相切有求斜率，再求兩切線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率19．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為．點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線(xiàn)、分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用橢圓的定義及性質(zhì)計(jì)算即可；（2）設(shè)直線(xiàn)PA的方程為，設(shè)，，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理可得的關(guān)系，再由易知向量線(xiàn)性關(guān)系轉(zhuǎn)化，計(jì)算即可.【詳解】（1）∵，∴，由離心率為得，從而，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）

設(shè)，，則，可設(shè)直線(xiàn)PA的方程為，其中，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則，同理可得，．因?yàn)?，．所以，所以是定?20．已知拋物線(xiàn)E：的焦點(diǎn)為F，拋物線(xiàn)E上一點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為5，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求拋物線(xiàn)E的方程；(2)拋物線(xiàn)上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，當(dāng)AB的中點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)距離最短時(shí)，求弦AB所在直線(xiàn)方程．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義結(jié)合條件求解即可；（2）根據(jù)拋物線(xiàn)弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）∵H縱坐標(biāo)為5，不妨設(shè)在第一象限內(nèi)，∴，過(guò)H做軸于M，∵，∴，∴，解得．∴所以?huà)佄锞€(xiàn)E的方程為．

（2）根據(jù)題意直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，設(shè)，，AB中點(diǎn)，由，，，，，∴，則∴，∵AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于，∴當(dāng)最小時(shí)，AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離最短．∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，解得，則．所以直線(xiàn)AB的方程為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，結(jié)合拋物線(xiàn)弦長(zhǎng)公式、基本不等式是解題的關(guān)鍵.21．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)設(shè)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；(2)記的面積為的面積為，求的最小值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)點(diǎn)，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解作答.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，與拋物線(xiàn)方程