高中數學人教A版必修1練習：2-1-2-1《指數函數及其性質》

2.1.2.1一、選擇題1．下列函數中，值域是(0，＋∞)的函數是()A．y＝2eq\f(1,x) B．y＝eq\r(2x－1)C．y＝eq\r(2x＋1) D．y＝(eq\f(1,2))2－x[答案]D[解析]在A中，∵eq\f(1,x)≠0，∴2eq\f(1,x)≠1，所以函數y＝2eq\f(1,x)的值域是{y|y>0，且y≠1}．在B中，∵2x－1≥0，∴eq\r(2x－1)≥0，所以函數y＝eq\r(2x－1)的值域是[0，＋∞)．在C中，∵2x＋1>1，∴eq\r(2x＋1)>1，所以函數y＝eq\r(2x＋1)的值域是(1，＋∞)．在D中，由于函數y＝(eq\f(1,2))2－x的定義域是R，也就是自變量x可以取一切實數，所以2－x也就可以取一切實數，所以(eq\f(1,2))2－x取一切正實數，即函數y＝(eq\f(1,2))2－x的值域為(0，＋∞)，故選D.2．某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次(一個分裂為兩個)．經過3個小時，這種細菌由1個可繁殖成()A．511個 B．512個C．1023個 D．1024個[答案]B[解析]∵每20分鐘分裂一次，故3個小時共分裂了9次，∴29＝512，故選B.3．如果函數y＝(ax－1)－eq\f(1,2)的定義域為(0，＋∞)那么a的取值范圍是()A．a>0 B．0<a<1C．a>1 D．a≥1[答案]C[解析]y＝(ax－1)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(ax－1))，因此ax－1>0∴ax>1，又∵x>0，∴a>1，故選C.4．函數y＝a|x|(0<a<1)的圖象是()[答案]C[解析]y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax(x≥0),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x(x<0)))，∵0<a<1，∴在[0，＋∞)上單減，在(－∞，0)上單增，且y≤1，故選C.[點評]可取a＝eq\f(1,2)畫圖判斷．A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a[答案]B即a>c，∴b>a>c.[點評]指數函數的圖象第一象限內底大圖高，6．函數y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則a等于()A.eq\f(1,2) B．2C．4 D.eq\f(1,4)[答案]B[解析]當a>1時，ymin＝a0＝1；ymax＝a1＝a，由1＋a＝3，所以a＝2.當0<a<1時，ymax＝a0＝1，ymin＝a1＝a.由1＋a＝3，所以a＝2矛盾，綜上所述，有a＝2.7．在同一平面直角坐標系中，函數f(x)＝ax與指數函數g(x)＝ax的圖象可能是()[答案]B[解析]由指數函數的定義知a>0，故f(x)＝ax的圖象經過一、三象限，∴A、D不正確．若g(x)＝ax為增函數，則a>1，與y＝ax的斜率小于1矛盾，故C不正確．B中0<a<1，故B正確．8．函數y＝(eq\f(1,2))x2＋2x的值域是()A．(0，＋∞) B．(0,2]C．(eq\f(1,2)，2] D．(－∞，2][答案]B[解析]∵u＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，y＝(eq\f(1,2))u在[－1，＋∞)上是減函數，∴y≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2.∴y∈(0,2]．二、填空題9．指數函數y＝f(x)的圖象過點(－1，eq\f(1,2))，則f[f(2)]＝________.[答案]16[解析]設f(x)＝ax(a>0且a≠1)，∵f(x)圖象過點(－1，eq\f(1,2))，∴a＝2，∴f(x)＝2x，∴f[f(2)]＝f(22)＝f(4)＝24＝16.10．當x∈[－1,1]時，函數f(x)＝3x－2的值域為__________．[答案]{y|－eq\f(5,3)≤y≤1}[解析]當－1≤x≤1時，eq\f(1,3)≤3x≤3，∴y∈[－eq\f(5,3)，1]，值域為{y|－eq\f(5,3)≤y≤1}．11．已知x>0時，函數y＝(a2－8)x的值恒大于1，則實數a的取值范圍是________．[答案]a>3或a<－3[解析]當x>0時(a2－8)x>1，∴a2－8>1，∴a>3或a<－3.12．(09·江蘇文)已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數f(x)＝ax，若實數m，n滿足f(m)>f(n)，則m，n的大小關系為________．[答案]m<n[解析]∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴0<a<1，∴函數f(x)＝ax在R上單調遞減，∵f(m)>f(n)，∴m<n.三、解答題13．已知f(x)＝eq\f(1,2)(ax－a－x)，g(x)＝eq\f(1,2)(ax＋a－x)，求證：[f(x)]2＋[g(x)]2＝g(2x)．[解析]f2(x)＋g2(x)＝eq\f(1,4)(ax－a－x)2＋eq\f(1,4)(ax＋a－x)2＝eq\f(1,4)(2a2x＋2a－2x)＝eq\f(1,2)(a2x＋a－2x)＝g(2x)成立．14．分別把下列各題中的三個數按從小到大的順序用不等號連接起來．15．已知f(x)＝eq\f(7,3)x＋1，g(x)＝2x，在同一坐標系中畫出這兩個函數的圖象．試問在哪個區(qū)間上，f(x)的值小于g(x)？哪個區(qū)間上，f(x)的值大于g(x)?[解析]在同一坐標系中，畫出函數f(x)＝2x與g(x)＝eq\f(7x,3)＋1的圖象如圖所示，兩函數圖象的交點為(0,1)和(3,8)，顯然當x∈(－∞，0)或x∈(3，＋∞)時，f(x)>g(x)，當x∈(0,3)時，f(x)<g(x)．16．判斷函數f(x)＝eq\f(x,2x－1)＋eq\f(x,2)的奇偶性．[解析]∵2x－1≠0，∴x≠0，定義域{x∈R|x≠0}∵f(x)＝eq\f(x,2x－1)＋eq\f(x,2)＝eq\f(x(2x＋1),2(2x－1))，∴f(－x)＝eq\f(－x(2－x＋1),2(2－x－1))＝eq\f(－x(1＋2x),2(1－2x))＝eq\f(x(2x＋1),2(2x－1))＝f(x)，∴f(x)為偶函數．17．求下列函數的定義域和值域[解析](1)函數的定義域為R，值域為(0，＋∞)(2)要使函數有意義，必須且只須3x－2≥0，即x≥eq\f(2,3)，∴函數的定義域為[eq\f(2,3)，＋∞)設t＝eq\r(3x－2)，則t≥0，y＝5t∴y≥1∴函數的值域為