合情推理與演繹推理題型整理總結(jié)講解

題型一用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律例1：通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假。；；；.解析：猜想：證明：左邊===右邊注；注意觀察四個式子的共同特征或規(guī)律（1）結(jié)構(gòu)的一致性,（2）觀察角的“共性”（1）先猜后證是一種常見題型（2）歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”（周期性）題型二用類比推理猜想新的命題例2：已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是______.解析：原問題的解法為等面積法，即，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高注：（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；圓錐曲線間的類比等（3）在平面和空間的類比中，三角形對應(yīng)三棱錐（即四面體），長度對應(yīng)面積；面積對應(yīng)體積；點對應(yīng)線；線對應(yīng)面；圓對應(yīng)球；梯形對應(yīng)棱臺等。（4）找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊（直線）垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等題型三利用“三段論”進(jìn)行推理例3某校對文明班的評選設(shè)計了五個方面的多元評價指標(biāo)，并通過經(jīng)驗公式樣來計算各班的綜合得分，S的值越高則評價效果越好，若某班在自測過程中各項指標(biāo)顯示出，則下階段要把其中一個指標(biāo)的值增加1個單位，而使得S的值增加最多，那么該指標(biāo)應(yīng)為．（填入中的某個字母）解析：因都為正數(shù)，故分子越大或分母越小時，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小時，S的值增長越多，，所以c增大1個單位會使得S的值增加最多注：從分式的性質(zhì)中尋找S值的變化規(guī)律；此題的大前提是隱含的，需要經(jīng)過思考才能得到1.下列說法正確的是（）A.類比推理是由特殊到一般的推理B.演繹推理是特殊到一般的推理C.歸納推理是個別到一般的推理D.合情推理可以作為證明的步驟答案：C3.已知，考察下列式子：；；.我們可以歸納出，對也成立的類似不等式為答案：4.現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為．類比到空間，有兩個棱長均為的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為．[解析]解法的類比（特殊化）易得兩個正方體重疊部分的體積為5.已知的三邊長為，內(nèi)切圓半徑為（用），則；類比這一結(jié)論有：若三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則三棱錐體積[解析]6.在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為，圓心在的圓的一般方程為；則類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為________________,球心在的球的一般方程為_______________________.答案；；7.（1）已知等差數(shù)列的定義為:在一個數(shù)列中，從第二項起,如果每一項與它的前一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義：；（2）已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為，那么的值為____________．答案：（1）在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和；（2）；8.對大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式：根據(jù)上述分解規(guī)律，則,若的分解中最小的數(shù)是73，則的值為答案：(2014全國I卷)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個城市.由此可判斷乙去過的城市為.1、小王、小劉、小張參加了今年的高考，考完后在一起議論。小王說：“我肯定考上重點大學(xué)。”小劉說：“重點大學(xué)我是考不上了?！毙堈f：“要是不論重點不重點，我考上肯定沒問題?！卑l(fā)榜結(jié)果表明，三人中考取重點大學(xué)、一般大學(xué)和沒考上大學(xué)的各有一個，并且他們?nèi)齻€人的預(yù)言只有一個人是對的，另外兩個人的預(yù)言都同事實恰好相反。可見：（）（A）小王沒考上，小劉考上一般大學(xué)，小張考上重點大學(xué)（B）小王考上一般大學(xué)，小劉沒考上，小張考上重點大學(xué)（C）小王沒考上，小劉考上重點大學(xué)，小張考上一般大學(xué)（D）小王考上一般大學(xué)，小劉考上重點大學(xué)，小張沒考上3、給出下列三個命題：①若；②若正整數(shù)滿足，則；③設(shè)上任意一點，圓以為圓心且半徑為1。當(dāng)時，圓相切。其中假命題的個數(shù)是（）（A）0（B）1（C）2（D）3二、填空題4、設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法，可求得的值為.一、選擇題（1）由推理知識，可知應(yīng)選（C）（3）由不等式的基本性質(zhì)以及圓方程的性質(zhì)，可知應(yīng)選（B）二、填空題（4）分析此題利用類比課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的倒序相加法，觀察每一個因式的特點，嘗試著計算：，，，發(fā)現(xiàn)正好是一個定值，，.【典型例題】例1：（1）迄今為止，人類已借助“網(wǎng)格計算”技術(shù)找到了630萬位的最大質(zhì)數(shù)。小王發(fā)現(xiàn)由8個質(zhì)數(shù)組成的數(shù)列41，43，47，53，61，71，83，97的一個通項公式，并根據(jù)通項公式得出數(shù)列的后幾項，發(fā)現(xiàn)它們也是質(zhì)數(shù)。小王欣喜萬分，但小王按得出的通項公式，再往后寫幾個數(shù)發(fā)現(xiàn)它們不是質(zhì)數(shù)。他寫出不是質(zhì)數(shù)的一個數(shù)是（） A．1643 B．1679 C．1681 D．1697答案：C。解析：觀察可知：累加可得：，驗證可知1681符合此式，且41×41=1681。（2）下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的四種類比推理：①復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類比多項式的加減法運(yùn)算法則；②由向量a的性質(zhì)|a|2=a2類比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)|z|2=z2；③方程有兩個不同實數(shù)根的條件是可以類比得到：方程有兩個不同復(fù)數(shù)根的條件是；④由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義.其中類比錯誤的是()A.①③B.②④C.①④D.②③答案：D。解析：由復(fù)數(shù)的性質(zhì)可知。（3）定義的運(yùn)算分別對應(yīng)下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的（A）、（B）所對應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是()（1）（2）（3）（4）（A）（B）A.B.C.D.答案：B。例3：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，則△ABC的外接圓的半徑，把上面的結(jié)論推廣到空間，寫出相類似的結(jié)論。答案：本題是“由平面向空間類比”。考慮到平面中的圖形是一個直角三角形，所以在空間中我們可以選取有3個面兩兩垂直的四面體來考慮。取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，則此三棱錐的外接球的半徑是。例4：請你把不等式“若是正實數(shù)，則有”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論。答案：推廣的結(jié)論：若都是正數(shù)，證明：∵都是正數(shù)∴，………，，【課內(nèi)練習(xí)】1．給定集合A、B，定義，若A={4,5,6},B={1,2,3},則集合中的所有元素之和為（）A.15B.14C.27D.-14答案：A。解析：，1+2+3+4+5＝15。2．觀察式子：，…，則可歸納出式子為（）A、B、C、D、答案：C。解析：用n=2代入選項判斷。3．有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為（）A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤答案：A。解析：直線平行于平面,并不平行于平面內(nèi)所有直線。4．古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，……叫做三角數(shù)，它有一定的規(guī)律性，第30個三角數(shù)與第28個三角數(shù)的差為。答案：59。解析：記這一系列三角數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則由歸納猜測，兩式相加得?；蛴?，猜測。5．?dāng)?shù)列是正項等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列.類比上述結(jié)論，寫出正項等比數(shù)列，若=，則數(shù)列{}也為等比數(shù)列.答案：。6．“AC,BD是菱形ABCD的對角線，AC,BD互相垂直且平分?！毖a(bǔ)充以上推理的大前提是。答案：菱形對角線互相垂直且平分。7．在一次珠寶展覽會上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶,第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成如圖1所示的正六邊形,第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所示的正六邊形,第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形,第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4所示的正六邊形,以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應(yīng)有_______________顆珠寶;則前件首飾所用珠寶總數(shù)為________________顆.(結(jié)果用表示)圖1圖1圖2圖3圖4答案：66,。解析：利用歸納推理知。8．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有：設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O—LMN，如果用表示三個側(cè)面面積，表示截面面積，那么你類比得到的結(jié)論是.答案：。9．已知橢圓C：具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是橢圓C上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關(guān)的定值。試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。答案：本題明確要求進(jìn)行“性質(zhì)類比”。類似的性質(zhì)：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關(guān)的定值。證明如下：設(shè)，其中設(shè)，由，得將代入得。10．觀察下面由奇數(shù)組成的數(shù)陣，回答下列問題：（Ⅰ）求第六行的第一個數(shù)．（Ⅱ）求第20行的第一個數(shù)．（Ⅲ）求第20行的所有數(shù)的和．答案：（Ⅰ）第六行的第一個數(shù)為31 （Ⅱ）∵第行的最后一個數(shù)是，第行共有個數(shù)，且這些數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)第行的第一個數(shù)是∴ ∴ ∴第20行的第一個數(shù)為3（Ⅲ）第20行構(gòu)成首項為381，公差為2的等差數(shù)列，且有20個數(shù)設(shè)第20行的所有數(shù)的和為則 【作業(yè)本】A組1．在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25項為 （）A．25 B．6 C．7 D．8答案：C。解析：對于中，當(dāng)n＝６時，有所以第２５項是７。OxABFy2．如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點,F為左焦點,當(dāng)時,其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出”O(jiān)xABFyA.B.C.D.答案：A。解析：猜想出“黃金雙曲線”的離心率等于.事實上對直角△應(yīng)用勾股定理,得,即有,注意到,,變形得.3．下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A、兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A+∠B=180°B、由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體性質(zhì)C、某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推測各班都超過50人D、在數(shù)列中，，由此推出的通項公式答案：A。解析：B是類比推理，C、D是歸納推理。4．由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù)“三段論”推理出一個結(jié)論，則這個結(jié)論是。答案：②③①。解析：②是大前提，③是小前提，①是結(jié)論。5．公比為的等比數(shù)列中，若是數(shù)列的前項積，則有也成等比數(shù)列，且公比為；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為的等差數(shù)列中，若是的前項和，則數(shù)列也成等差數(shù)列,且公差為。答案：，，；300。解析：采用解法類比。6．二十世紀(jì)六十年代，日本數(shù)學(xué)家角谷發(fā)現(xiàn)了一個奇怪現(xiàn)象：一個自然數(shù)，如果它是偶數(shù)就用2除它，如果是奇數(shù)，則將它乘以3后再加1，反復(fù)進(jìn)行這樣兩種運(yùn)算，必然會得到什么結(jié)果，試考查幾個數(shù)并給出猜想。答案：取自然數(shù)6，按角谷的作法有：6÷2=3，3×3+1=10，3×5+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1，其過程簡記為6→3→10→5→16→8→4→2→1。取自然數(shù)7，則有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→……→1。取自然數(shù)100，則100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→……→1。歸納猜想：這樣反復(fù)運(yùn)算，必然會得到1。7．圓的垂徑定理有一個推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，這一性質(zhì)能推廣到橢圓嗎？設(shè)AB是橢圓的任一弦，M是AB的中點，設(shè)OM與AB的斜率都存在，并設(shè)為KOM、KAB，則KOM與KAB之間有何關(guān)系？并證明你的結(jié)論。答案：KOM·KAB=。證明：設(shè)，則=0∵即KOM·KAB=，而，即KOM·KAB≠－1∴OM與AB不垂直，即不能推廣到橢圓中。B組1．為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文對應(yīng)密文,例如,明文對應(yīng)密文.當(dāng)接收方收到密文時,則解密得到的明文為（）A．B．C．D．答案：C。解析：本題考查閱讀獲取信息能力,實則為解方程組，解得，即解密得到的明文為。2．平面上有n個圓，其中每兩個都相交于兩點，每三個都無公共點，它們將平面分成塊區(qū)域，有，則的表達(dá)式為（）A、B、C、D、答案：B。解析：由，利用累加法，得。3．設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法，可求得的值為（）A、B、2C、3D、4答案：C。解析：。4．考察下列一組不等式：.將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是___________________. 答案：（或為正整數(shù)）。解析：填以及是否注明字母的取值符號和關(guān)系，也行。5．如下圖，第（1）個多邊形是由正三角形“擴(kuò)展“而來，第（2）個多邊形是由正四邊形“擴(kuò)展”而來，……如此類推.設(shè)由正邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為，則；＝.答案：42；。6．指出下面推理中的大前提和小前提。（1）5與2可以比較大??；（2）直線。答案：（1）大前提是實數(shù)可以比較大小，小前提是5與是實數(shù)。（2）大前提是平行于同一條直線的兩直線互相平行，小前提是。7．已知函數(shù)，對任意的兩個不相等的實數(shù)，都有成立，且，求的值。答案：∵當(dāng)，由，從而可得：=8．已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1,a2,a3,并推測an的表達(dá)式；(2)證明所得的結(jié)論。答案：(1)a1＝,a2＝,a3＝,猜測an＝2－(2)①由（1）已得當(dāng)n＝1時，命題成立；②假設(shè)n＝k時,命題成立，即ak＝2－,當(dāng)n＝k＋1時,a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－,ak＋1＝2－,即當(dāng)n＝k＋1時,命題成立.根據(jù)①②得n∈N+,an＝2－都成立一、填空題1.如下圖，對大于或等于2的自然數(shù)m的n次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的數(shù)是___________，若的“分裂”中最小的數(shù)是211，則的值為___________.2.下面給出三個類比推理命題（其中為有理數(shù)集，為實數(shù)集，為復(fù)數(shù)集）；①類比推出②類比推出,若③類比推出其中類比結(jié)論正確的序號是_____________（寫出所有正確結(jié)論的序號）3.已知，則中共有項．4.設(shè)(是兩兩不等的常數(shù)),則的值是______________.二、選擇題5.“所有金屬都能導(dǎo)電，鐵是金屬，所以鐵能導(dǎo)電，”此推理類型屬于A．演繹推理B．類比推理C．合情推理D．歸納推理6.用三段論推理命題：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以＞0”，你認(rèn)為這個推理（）A．大前題錯誤B．小前題錯誤C．推理形式錯誤D．是正確的7.已知扇形的弧長為，所在圓的半徑為，類比三角形的面積公式：底高，可得扇形的面積公式為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不可類比8.下列給出的平面圖形中，與空間的平行六面體作為類比對象較為合適的是（）Ａ．三角