專題1.1 等腰三角形（學生版）

專題1.1等腰三角形1.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)及其推論，并應用他們解決基本的幾何問題；2.進一步學習等腰三角形的相關性質(zhì)，了解等腰三角形兩底角的角平分線（兩腰上的高，中線）的性質(zhì)；3.掌握等腰三角形的判定定理及其運用；4.學習等邊三角形的性質(zhì)與判定定理，并能夠運用其解決問題；5.理解并掌握反證法的思想，能夠運用反證法進行證明；6.掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)并解決有關問題?！局R點】定理：等腰三角形的兩個底角相等.簡述：等邊對等角。推論：等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線底邊上的高互相重合(三線合一)。補充：1）等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的中線相等，兩腰上的高相等；2）過底邊的端點且與底邊夾角相等的兩線段相等；3）兩腰上距頂點等距的兩點與底邊頂點的連線段相等?！局R拓展1】利用等邊對等角計算角度例1．（2022·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將大小不同的兩塊量角器的零度線對齊，且小量角器的中心恰好在大量角器的圓周上，設圖中兩圓周的交點為且點在小量角器上對應的刻度為，那么點在大量角器上對應的刻度為只考慮小于的角(

)A． B． C． D．【即學即練】1．（2022春·成都市·八年級期中）如圖，已知，…，以此類推，若，則______．【知識拓展2】等腰三角形的性質(zhì)：“三線合一”求角度例2．（2022春·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【即學即練】2．（2022春·遼寧大連·八年級期末）如圖，在中，，D為的中點，，，求的度數(shù)．【知識拓展3】等腰三角形的性質(zhì)：“三線合一”求長度例3．（2022春·廣東梅州·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，是邊上除，點外的任意一點，則____．【即學即練3】3．（2022春·浙江寧波·八年級校考期中）如圖，在中，，平分．若，，則的周長為（

）A．11 B．14 C．16 D．18知識點02等腰三角形的判定【知識點】有兩個角相等的三角形是等腰三角形.(簡稱“等角對等邊”).等腰三角形的判定方法：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(定義法)②有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）在證明時，先假設命題的結論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結論一定成立．這種證明方法稱為反證法．【知識拓展1】網(wǎng)格中的等腰三角形個數(shù)判斷例1．（2022春·浙江衢州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知每個小方格的邊長為1，、兩點都在小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點，使為等腰三角形，則這樣的頂點有（）A．9個 B．8個 C．7個 D．6個【即學即練】1．（2022春·浙江臺州·八年級臺州市書生中學?？计谥校┤鐖D，在的網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知圖中，兩個格點，請在圖中再尋找另一個格點，使成為等腰三角形，則滿足條件的點有（

）個．A． B． C． D．【知識拓展2】根據(jù)等角對等邊判定等腰三角形例2．（2022春·廣東東莞·八年級期中）已知：如圖中，，平分，平分，過作直線平行于，交，于，．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的周長．【即學即練】2．（2022春·福建廈門·八年級?？计谥校┤鐖D，點E、F在BC上，，，，與交于點G，求證：是等腰三角形．【知識拓展3】根據(jù)等角對等邊證明邊相等例3．（2022·貴州遵義·三模）如圖，在中，平分，，，，則的周長為（）A．2 B．24 C．27 D．3【即學即練3】3．（2022春·遼寧大連·八年級期末）是等邊三角形，點是上一點，點在的延長線上，且．(1)如圖1，當點是的中點時，求證：；(2)如圖2，當點是上任意一點時，取的中點，連接．求的度數(shù)【知識拓展4】等腰三角形的相關操作類問題例4．（2022·吉林長春·八年級期中）如圖，下列4個三角形中，均有AB=AC，則經(jīng)過三角形的一個頂點的一條直線能夠?qū)⑦@個三角形分成兩個小等腰三角形的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【即學即練4】4．（2022春·吉林長春·八年級期末）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．線段的端點在格點上．(1)在圖①中畫出一個以為腰的等腰直角三角形；(2)在圖②中畫出一個以為底的等腰三角形，其面積為______．知識點03等邊三角形的性質(zhì)與判定【知識點】定理：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°等邊三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性質(zhì)。等邊三角形的判定(1)三邊相等的三角形是等邊三角形.(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形(3)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形定理：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半?！局R拓展1】等邊三角形的性質(zhì)例1．（2022春·重慶合川·八年級期末）如圖，等邊中，是邊上的高，交于點E，若，則的邊長為（

）A．3 B．4 C．5 D．無法確定【即學即練1】1．（2022春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，垂足為，延長到，使，若的周長為12，，則的周長是___________（用含的代數(shù)式表示）【知識拓展2】等邊三角形的判定例2．（2022春·遼寧葫蘆島·八年級期中）如圖，中，．點D，E在邊上，且．(1)求的度數(shù)；(2)求證：是等邊三角形．【即學即練2】2．（2022春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，點分別在邊上，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)當時,求的度數(shù)；(3)若，判斷是何種三角形．【知識拓展3】含30°的直角三角形的性質(zhì)例3．（2022春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，大樹垂直于地面，為測樹高，小明在C處，測得，他沿方向走了20米，到達D處，測得，則大樹的高度為（）米.A．6 B．8 C．10 D．20【即學即練3】3．（2022·福州·八年級校考期末）如圖，在等腰中，，為上一點，且，若，，則的長是______．【知識拓展4】等邊三角形性質(zhì)與判定綜合例4．（2022西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等邊中，，分別在，邊上，且，與交于點，于點，下列結論：①；②；③是等腰三角形；④，其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【即學即練4】4．（2022·廣東·八年級考期中）如圖，在中，分別以、為邊作等邊三角形與等邊三角形，連接、，與交于點，連接．有以下四個結論：①；②平分；③；④．其中結論一定正確的個數(shù)有（

）A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④題組A基礎過關練1．（2022·浙江溫州·模擬預測）如圖，在中，，點是延長線上一點，且，已知，，則的面積為（

）A．7 B．14 C．21 D．282．（2022春·廣西·八年級期中）下列說法中，正確結論的個數(shù)為（

）（1）關于某一條直線對稱的兩個圖形一定全等；（2）有一角為，且腰長相等的兩個等腰三角形全等；（3）有一個外角是的等腰三角形是等邊三角形；（4）如果一個三角形的一個外角的角平分線與這個三角形的一邊平行，那么這個三角形一定是等腰三角形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，D為的中點，于點E，若，則的長為（）A．1.5 B．2 C．1 D．4．（2022春·河北石家莊·八年級期中）用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形，若其中有一邊的長為，則該等腰三角形的底邊長為()A． B． C．或 D．或5．（北京市朝陽區(qū)2022-2023學年八年級上學期期末檢測數(shù)學試題）如圖，在中，平分，則_____________．6．（2022春·江蘇南通·八年級期中）如圖，在中，、分別是和的平分線，過點E作交于D、交于F，若，，則周長為_____．7．（2021春·北京西城·八年級?？计谥校┤鐖D，點D，E在的邊上，，．求證：．8．（2022春·浙江溫州·八年級?？计谥校┰谙铝芯W(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．請按要求畫出格點三角形．(1)在圖1中畫出一個等腰．(2)在圖2中畫出一個，且其三邊都不與網(wǎng)格線重合．9．（2022春·安徽蕪湖·八年級階段練習）如圖，線段AB上兩點C、D，，，，連接DE并延長至點M，連接CF并延長至點N，DM，CN交于點P，；(1)求證：；(2)求證：是等腰三角形．10．（2022春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊中，點D，E分別在邊，上，且，，交于點P，，垂足為點F．(1)求證：；(2)若，求的長．11．（2022·廣東東莞·八年級期中）如圖，是等邊三角形，點、、分別在、、上；若，，求證：(1)；(2)是等邊三角形．題組B能力提升練1．（2020春·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，是的平分線，，交于E，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個2．（2022春·河北邯鄲·八年級校考階段練習）如圖，，，，．則下列4個結論：①；②是等邊三角形；③；④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（北京市朝陽區(qū)2022-2023學年八年級上學期期末檢測數(shù)學試題）如圖，O是射線上一點，，動點P從點C出發(fā)沿射線以的速度運動，動點Q從點O出發(fā)沿射線以的速度運動，點P，Q同時出發(fā)，設運動時間為，當是等腰三角形時，t的值為（

）A．2 B．2或6 C．4或6 D．2或4或64．（2022春·浙江溫州·八年級瑞安市安陽實驗中學?？茧A段練習）如圖，在中，，，平分交于點D，，交于點E，若，則的長為______.5．（2022春·河北承德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，平分，交于點，平分，交于點，，，則的長為______．6．（2022春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊中，點D，E，F(xiàn)分別是邊，，延長線上一點，且，連接，，，則_____．7．（2022春·福建福州·八年級期末）如圖，在中，，．垂足為D，是的角平分線分別交，于點P，E．則下列說法正確的有_____．（寫出所有正確的序號）①；②是等邊三角形；③；④．8．（2022春·吉林長春·七年級吉林省第二實驗學校期末）【感知】如圖①，是等邊三角形，點D、E分別在邊上，且，證明：．【探究】如圖②，是等邊三角形，點D、E分別在邊的延長線上，且，則圖②中全等的三角形是______________________；若此時，，則___________．【拓展】如圖③，在中，，，點D、E分別在的延長線上，且，若，，則的大小為___________．9．（2022春·河北承德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等邊三角形中，點為邊上任意一點，延長至點，使，連接交于點，于點，交于點．(1)求證：是等邊三角形；(2)求證：；(3)若，求線段的長（結果用含的代數(shù)式表示）．10．（2022春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）已知：等邊中．(1)如圖1，點M是BC的中點，點N在AB邊上，滿足，求的值；(2)如圖2，點M在AB邊上（M為非中點，不與A，B重合），點N在CB的延長線上且，求證：．(3)如圖3，點P為AC邊的中點，點E在AB的延長線上，點F在BC的延長線上，滿足，求的值．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022春·江蘇南京·八年級南師附中新城初中?？茧A段練習）如圖，在中，，，在直線BC或AC上取一點P，使得為等腰三角形，則符合條件的點的個數(shù)有（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2021春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，C是線段上的一點，和都是等邊三角形，交于M，交于N，交于O，連接，則①；②；③；④是等邊三角形．其中，正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022春·廣東廣州·八年級廣州市第七十五中學?？计谥校┤鐖D，中，與的平分線交于點F，過點F作交AB于點D，交AC于點E，那么下列結論，其中不正確的有（

）A．是等腰三角形； B．；C．若，則； D．．4．（2021春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，在射線OA，OB上分別截取，連接，在，上分別截取，連接，…按此規(guī)律作下去，記，…，則___________，___________．5．（2022春·廣西·八年級期末）如圖，點A為線段外一動點，，，分別以、為邊作等邊、等邊，連接．則線段長的最大值為_____________．6．（2022春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等邊三角形的邊長為，、、三點在一條直線上，且．若為線段上一動點，則的最小值是______．7．（2022春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，點O為的中點．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點．①如圖1，當點E，F(xiàn)分別在邊和上時，求證：；②如圖2，當點E，F(xiàn)分別在和的延長線上時，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．8．（2022春·重慶大渡口·九年級校考期中）如圖，和都是等