2024屆新教材二輪復(fù)習(xí) 空間向量與立體幾何 作業(yè)

單元疑難突破練(一)(60分鐘100分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共6小題，每小題5分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起點(diǎn)M和終點(diǎn)A，B，C互不重合且無三點(diǎn)共線，則能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成為空間一組基底的關(guān)系是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))【解析】選C.對于選項(xiàng)A，由結(jié)論eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面，即eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面；對于B，D選項(xiàng)，易知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，故只有選項(xiàng)C中eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面．2．(2023·寧波高二檢測)已知空間向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，n，2))，b＝(－2，1，2)，若2a－b與b垂直，則|a|等于()A．eq\f(3\r(5),2)B．eq\f(5\r(3),2)C．eq\f(\r(37),2)D．eq\f(\r(21),2)【解析】選A.由空間向量a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，若2a－b與b垂直，則(2a－b)·b＝0，即2a·b＝b2，即2n＋4＝9，即n＝eq\f(5,2)，即a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)，2))即|a|＝eq\r(1＋\f(25,4)＋4)＝eq\f(3\r(5),2).3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且eq\o(BP,\s\up6(→))⊥平面ABC，則eq\o(BP,\s\up6(→))等于()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，\f(15,7)，－3)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,7)，－\f(15,7)，－3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,7)，\f(15,7)，－3))【解析】選B.由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0得3＋5－2z＝0，所以z＝4.又因?yàn)閑q\o(BP,\s\up6(→))⊥平面ABC，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(BP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,\o(BP,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＋5y＋6＝0，,3x－3＋y－12＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7)．))所以eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3)).4．已知A(1，2，1)，B(－1，3，4)，C(1，1，1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則|eq\o(PC,\s\up6(→))|為()A．eq\f(\r(77),3)B．eq\r(5)C．eq\f(\r(77),9)D．eq\f(77,9)【解析】選A.設(shè)P(x，y，z)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))得(x－1，y－2，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，所以x＝－eq\f(1,3)，y＝eq\f(8,3)，z＝3，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(8,3)，3))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(5,3)，－2))，所以|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(77),3).5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是所在棱的中點(diǎn)，AB1與平面B1D1EF所成的角的大小是()A.30°B．45°C．60°D．90°【解析】選B.以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，D1A1，D1C1，D1D為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，1)，B1(1，1，0)，D1(0，0，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，設(shè)平面B1D1EF的法向量為n＝(x，y，z)，則，可取n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2)))，又＝(0，1，－1)，設(shè)AB1與平面B1D1EF所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，〉|＝eq\f(\r(2),2)，故AB1與平面B1D1EF所成的角為45°.6．如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點(diǎn)，且AE＝BF.當(dāng)A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面時(shí)，平面A1DE與平面C1DF夾角的余弦值為()A.eq\f(\r(2),2)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,5)D．eq\f(2\r(6),5)【解析】選B.以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知當(dāng)E(6，3，0)、F(3，6，0)時(shí)，A1，E，F(xiàn)，C1共面，設(shè)平面A1DE的法向量為n1＝(a，b，c)，依題意得可取n1＝(－1，2，1)，同理可得平面C1DF的一個(gè)法向量為n2＝(2，－1，1)，故平面A1DE與平面C1DF夾角的余弦值為eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(1,2).二、多項(xiàng)選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分．7．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4，2，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1).對于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正確的是()A．①B．②C．③D．④【解析】選ABC.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，則A，B正確．又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))不平行，所以eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，則C正確．由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3，4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(AP,\s\up6(→))不平行，故D錯(cuò)誤．8．如圖，已知在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，H分別是AB，DD1，BC1的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是()A.C1D1∥平面CHDB．AC1⊥平面BDA1C．三棱錐D-BA1C1的體積為eq\f(5,6)D．直線EF與BC1所成的角為30°【解析】選ABD.由題意，C1D1∥CD，C1D1?平面CHD，CD?平面CHD，所以D1C1∥平面CHD，所以A正確；建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；由AB＝1，則＝(－1，1，1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，＝(1，0，1)；所以·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1－1＋0＝0，·＝－1＋0＋1＝0，所以⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，⊥DA1，所以⊥平面BDA1，所以B正確；三棱錐D-BA1C1的體積為V三棱錐D-BA1C1＝V正方體ABCD-A1B1C1D1－4V三棱錐A1-ABD＝1－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)，所以C錯(cuò)誤；Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)，\f(1,2)))，＝(－1，0，1)，所以cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·BC1,|\o(EF,\s\up6(→))|·|BC1|)＝eq\f(1＋0＋\f(1,2),\r(\f(3,2))×\r(2))＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))與所成的角是30°，所以D正確．三、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．請把正確的答案填在題中的橫線上．9．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝________．【解析】eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－b＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)(a＋c－2b)＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(1,2)c.答案：eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(1,2)c10．已知空間向量a，b，|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，a·b＝－2，則〈a，b〉＝________．【解析】因?yàn)閏os〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(\r(2),2)，〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)11．如圖，已知二面角α-l-β的平面角為θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β內(nèi)，BC在l上，CD在平面α內(nèi)，若AB＝BC＝CD＝1，則AD的長為________．【解析】eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ.所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(3－2cosθ)，即AD的長為eq\r(3－2cosθ).答案：eq\r(3－2cosθ)12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AD＝CD＝PD＝2，AB＝1，E，F(xiàn)分別為棱PC，PB上一點(diǎn)，若BE與平面PCD所成角的正切值為2，則(AF＋EF)2的最小值為________．【解析】取CD的中點(diǎn)H，連接BH，EH.依題意可得，BH⊥CD.因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥BH，從而BH⊥平面PCD，所以BE與平面PCD所成角為∠BEH，且tan∠BEH＝eq\f(BH,EH)＝eq\f(2,EH)＝2，則EH＝1，則E為PC的中點(diǎn)．在Rt△PAB中，cos∠APB＝eq\f(AP,PB)＝eq\f(2\r(2),3).因?yàn)镻B＝3，PC＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(5)，所以cos∠BPC＝eq\f(\r(2),2)，所以∠BPC＝eq\f(π,4).將△PBC翻折至與平面PAB共面，如圖所示，則圖中cos∠APC＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠APB＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)－\f(1,3)))＝eq\f(4－\r(2),6)，當(dāng)F為AE與PB的交點(diǎn)時(shí)，AF＋EF取得最小值，此時(shí)，(AF＋EF)2＝AE2＝(2eq\r(2))2＋(eq\r(2))2－2×2eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(4－\r(2),6)＝eq\f(14＋4\r(2),3).答案：eq\f(14＋4\r(2),3)13．如圖，已知三棱錐A-BCD的所有棱長均相等，點(diǎn)E滿足eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EB,\s\up6(→))，點(diǎn)P在棱AB上運(yùn)動，設(shè)EP與平面BCD所成的角為θ，則sinθ的最大值為____________．【解析】設(shè)棱長為4a，PB＝x(0＜x≤4a)，則PE＝eq\r(x2＋a2－ax).正四面體的高為eq\f(4\r(6),3)a，設(shè)P到平面BCD的距離為h，則eq\f(h,\f(4\r(6),3)a)＝eq\f(x,4a)，所以h＝eq\f(\r(6),3)x，所以sinθ＝eq\f(\f(\r(6),3)x,\r(x2＋a2－ax))＝eq\f(\f(\r(6),3),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4)))，所以x＝2a時(shí)，sinθ的最大值為eq\f(2\r(2),3).答案：eq\f(2\r(2),3)14．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).則|2a＋b|＝________；在直線AB上，存在一點(diǎn)E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________．(第一空2分，第二空3分)【解析】2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝eq\r(02＋（－5）2＋52)＝5eq\r(2).又eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，由eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，則eq\o(OE,\s\up6(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5)，因此，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).答案：5eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5)))四、解答題：本大題共3小題，每小題10分，共30分．15．(10分)已知空間中三點(diǎn)A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c；(2)已知向量ka＋b與b互相垂直，求k的值；(3)求△ABC的面積．【解析】因?yàn)榭臻g中三點(diǎn)A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))，(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，0，－4)－(1，－1，－2)＝(2，1，－2)，因?yàn)閨c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(2，1，－2)＝(2m，m，－2m)，所以|c|＝eq\r(（2m）2＋m2＋（－2m）2)＝3|m|＝3，所以m＝±1，所以c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2).(2)由題得a＝(－1，－1，0)，b＝(1，0，－2)，所以ka＋b＝k(－1，－1，0)＋(1，0，－2)＝(1－k，－k，－2)，因?yàn)橄蛄縦a＋b與b互相垂直，所以(ka＋b)·b＝1－k＋4＝0，解得k＝5.所以k的值是5.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，1，－2)，cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1,\r(2)×\r(5))＝－eq\f(1,\r(10))，sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\r(1－\f(1,10))＝eq\f(3,\r(10))，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×|eq\o(AB,\s\up6(→))|×|eq\o(AC,\s\up6(→))|×sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(5)×eq\f(3,\r(10))＝eq\f(3,2).16．(10分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝eq\f(π,2)，D是棱AC的中點(diǎn)，且AB＝BC＝BB1＝2.(1)求證：AB1∥平面BC1D；(2)求異面直線AB1與BC1所成的角．【解析】(1)如圖，連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD.因?yàn)镺為B1C的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AB1.因?yàn)锳B1?平面BC1D，OD?平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，因此＝(0，－2，2)，＝(2，0，2).所以cos〈，〉＝＝eq\f(0＋0＋4,2\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2)，設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(1,2)，由于θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故θ＝eq\f(π,3).17．(10分)如圖所示，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成角為60°.(1)求證：AC⊥平面BDE；(2)求二