云南省昆明市重點(diǎn)大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期教學(xué)測評月考（三）數(shù)學(xué)試題(含答案)

級高二年級教學(xué)測評月考卷（三）數(shù) 學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷第1頁至第2頁，第Ⅱ卷第3頁至第4頁．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．在試題卷上作答無效．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項(xiàng)中、只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則A． B． C． D．3．若直線：與：平行，則它們之間的距離為A． B． C． D．4．過點(diǎn)的直線l被圓C：截得的弦長最短，則直線l的斜率是A．1 B．2 C． D．5．雙曲線（，）的離心率為2，則此雙曲線的漸近線的傾斜角可以是A． B． C． D．6．拋物線（）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上，且，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N，若M為線段FN的中點(diǎn)，則A． B．4 C．6 D．87．直線l的方向向量為，且l過點(diǎn)，則點(diǎn)到l的距離為A． B． C． D．8．在橢圓中，已知焦距為4，橢圓上的一點(diǎn)P與兩個焦點(diǎn)，的距離的和等于8，且，則的面積為A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．已知，，，則A． B．C．為鈍角 D．在方向上的投影向量為10．已知圓M的方程為，則關(guān)于圓M的說法正確的是A．圓心M的坐標(biāo)為 B．點(diǎn)在圓M內(nèi)C．直線被圓M截得的弦長為 D．圓M在點(diǎn)處的切線方程為11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．的定義域?yàn)? B．為奇函數(shù)C．在定義域上是減函數(shù) D．的值域?yàn)?2．已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則A． B．的面積等于C．直線l的斜率為 D．C的離心率等于第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．設(shè)直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2，則實(shí)數(shù)m的值是．14．已知是平面的一個法向量，點(diǎn)，在平面內(nèi)，則．15．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為．16．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與C在第二象限內(nèi)相交于點(diǎn)A，與C的漸近線在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)M，且，則C的離心率為；若的面積為8，則C的方程為﹒（第一空2分，第二空3分）四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求△ABC面積的最大值．18．（本小題滿分12分）已知半徑為4的圓C與直線：相切，圓心C在y軸的負(fù)半軸上．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）已知直線：與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC的面積為8，求直線的方程．19．（本小題滿分12分）在四棱錐A-BCFE中，底而BCFE為梯形，BC⊥BE，EF∥BC，，，，AB⊥平面BCFE．（Ⅰ）求證：EF⊥平面ABE；（Ⅱ）求直線AE與平面AFC所成角的正弦值．20．（本小題滿分12分）若拋物線C：（）上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為．（Ⅰ）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線l與拋物線C相交于A，B點(diǎn)，為定值．21．（本小題滿分12分）已知在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，．（Ⅰ）證明：AB⊥BC；（Ⅱ）設(shè)D為棱上的點(diǎn)，當(dāng)為何值時，平面與平面DFE夾角的正弦值最??？22．（本小題滿分12分）已知橢圓C：（）的一個焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線l：（）與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值及此時t的值．2022級高二年級教學(xué)測評月考卷（三）數(shù)學(xué)參考答案第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）題號12345678答案AACDBDCD【解析】1．因?yàn)椋?，又，，所以，得到，故選A．2．因?yàn)閺?fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，所以，所以，故選A．3．直線：與：平行，則，解得，故：與：之間的距離，故選C．4．由圓，可得圓心坐標(biāo)為，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)過點(diǎn)，與圓心C垂直時，此時弦長最短，因?yàn)椋灾本€l的斜率為，故選D．5．∵雙曲線（，），的離心率為2，∴，∴，∴此雙曲線的漸近線的斜率為，∴此雙曲線的漸近線的傾斜角是或，故選B．6．如圖1，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)A，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B，由題意得，設(shè)，由拋物線定義可知，，因?yàn)镸為線段FN的中點(diǎn)，所以，所以，將其代入可得：，解得，故選D．圖17．直線l的方向向量為，且l過點(diǎn)，又點(diǎn)，則，則，又∵，∴則點(diǎn)，到l的距離為，故選C．8．由題可知，焦距，則，又橢圓上的一點(diǎn)P與兩個焦點(diǎn)，的距離的和等于8，即，所以，在中，，由余弦定理得：，整理得，所以，則，故的面積，故選D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）題號9101112答案BDABDABCAD【解析】9．因?yàn)椋圆怀闪?，故A錯誤；因?yàn)?，所以，故B正確；，且，不共線，所以，為銳角，故C錯誤；在方向上的投影向量為，故D正確，故選BD．10．由圓M的方程為，知圓心為，半徑為1，故A正確；點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，故B正確；點(diǎn)到的距離為，所以，故C錯誤；由于點(diǎn)在圓M上，點(diǎn)與圓心在垂直于坐標(biāo)軸x的直線上，所以圓M在點(diǎn)的切線直線與x軸平行，其方程為，選項(xiàng)D正確，故選ABD．11．對于A，由，解得，即的定義域?yàn)?，故A正確；對于B，，即為奇函數(shù)，故B正確；對于C，，在上為單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在定義域上是減函數(shù)，故C正確；對于D，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，即，故D錯誤，故選ABC．12．由，不妨設(shè)，，，又，可得，利用橢圓定義可知，所以可得，即，所以點(diǎn)P即為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，如圖2所示，由，，，可知滿足，所以，故A正確；所以為等腰直角三角形，且，因此的面積為，故B錯誤；此時可得直線l的斜率，故C錯誤；在等腰直角中，易知，即可得，故D正確，故選AD．圖2第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）題號13141516答案9；【解析】13．圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，依題意，，則，解得．14．由條件得，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€法向量，點(diǎn)A，B在平面內(nèi)，所以，所以，即：，解得．15．如圖3，∵SA與底面成45°角，∴△SAO為等腰直角三角形，設(shè)，則，，在△SAB中，，∴，∴，解得，∴，即母線長，∴該圓錐的側(cè)面積為．圖316．如圖4，因?yàn)椋裕?，，所以，，則，所以，則，所以；因?yàn)?，到漸近線OM：的距離為，因?yàn)?，所以點(diǎn)M到的距離為b，所以，所以，，則C的方程為．圖4四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）解：（Ⅰ）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫忠驗(yàn)?，可得，則，可得，因?yàn)?，所以．（Ⅱ）因?yàn)椋?，由余弦定理得，即，又由，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以△ABC的面積，即△ABC的面積的最大值為．18．（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）由已知可設(shè)圓心，圓C與直線：相切，所以，解得或（舍），所以圓C的方程為．（Ⅱ）設(shè)圓心C到直線的距離為d，則，，即，解得，又，所以，解得，所以直線的方程為或．19．（本小題滿分12分）（Ⅰ）證明：因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫鍮CFE，平面BCFE，所以，因?yàn)?，AB，平面ABE，所以平面ABE．（Ⅱ）解：因?yàn)槠矫鍮CFE，BC，平面BCFE，所以，，又因?yàn)椋訟B，BE，BC兩兩互相垂直，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系，圖5由，，，則，，，，，所以，，所以直線AE的一個方向向量為，設(shè)平面AFC的法向量為，則，解得：，不妨取，則，，，、設(shè)直線AE與平面AFC所成角為，則，所以直線AE與平面AFC所成角的正弦值為．20．（本小題滿分12分）（Ⅰ）解：拋物線（）的準(zhǔn)線l的方程為，根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)P到它的焦點(diǎn)的距離即為點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離，所以，解得，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）證明：顯然直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立，可得，所以，，，又，同理，所以，所以為定值．21．（本小題滿分12分）（Ⅰ）證明：∵三棱柱是直三棱柱，∴底面ABC，∴，∵，，∴，又，∴平面，又∵BC在平面內(nèi)，∴．（Ⅱ）解：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖6．圖6則，，，，，，，．由題設(shè)（）．…設(shè)平面DFE的