新教材數(shù)學人教a數(shù)學必修第二冊配套學案6.4.3第4課時余弦定理正弦定理應用舉例

第4課時余弦定理、正弦定理應用舉例學習目標核心素養(yǎng)1.能將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．(難點)2．能夠用正、余弦定理求解與距離、高度、角度有關的實際應用問題．(重點)1.通過利用正、余弦定理解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．2．通過求解距離、高度等實際問題，提升數(shù)學運算的素養(yǎng).在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事．明月高懸，我們仰望夜空，會有無限遐想．問題：月亮離我們地球有多遠呢？科學家們是怎樣測出來的呢？1．基線的概念與選擇原則(1)定義在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線．(2)性質(zhì)在測量過程中，應根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．思考1：在本課時情境引入中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？[提示]利用正弦定理和余弦定理．2．測量中的有關角的概念(1)仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖所示)(2)方向角從指定方向線到目標方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.(如圖所示)思考2：李堯出校向南前進了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認為李堯的家在學校的哪個方向？[提示]東南方向．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)已知三角形的三個角，能夠求其三條邊． ()(2)兩個不可能到達的點之間的距離無法求得． ()(3)若P在Q的北偏東44°，則Q在P的東偏北44°方向． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．小強站在地面上觀察一個建在山頂上的建筑物，測得其視角為α，同時測得觀察該建筑物頂部的仰角為β，則小強觀測山頂?shù)难鼋菫?)A．α＋β B．α－βC．β－α D．αC[如圖所示，設小強觀測山頂?shù)难鼋菫棣?，則β－γ＝α，因此γ＝β－α，故選C項．]3．某人先向正東方向走了xkm，然后他向右轉(zhuǎn)150°，向新的方向走了3km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好為eq\r(3)km，那么x的值為()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3)D．3C[如圖，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝2eq\r(3)或eq\r(3).]測量距離問題【例1】海上有A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是()A．10eq\r(3)海里 B．eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里D[根據(jù)題意，可得如圖．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq\r(6)(海里)．]三角形中與距離有關問題的求解策略1解決與距離有關的問題，若所求的線段在一個三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個三角形中，要根據(jù)條件選擇適當?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求?(2)解決與距離有關的問題的關鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應用正、余弦定理來解決．eq\o([跟進訓練])1．為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸標記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度為________m.60[由題意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC為等腰三角形．河寬即AB邊上的高，這與AC邊上的高相等，過B作BD⊥AC于D，∴河寬：BD＝120·sin30°＝60(m)．]測量高度問題【例2】濟南泉城廣場上的泉標模仿的是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟南的標志和象征．李明同學想測量泉標的高度，于是他在廣場的A點測得泉標頂端的仰角為60°，他又沿著泉標底部方向前進15.2m，到達B點，又測得泉標頂部仰角為80°.你能幫助李明同學求出泉標的高度嗎？(精確到1m)[解]如圖所示，點C，D分別為泉標的底部和頂端．依題意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，則∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根據(jù)正弦定理，eq\f(BD,sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB).∴BD＝eq\f(ABsin60°,sin20°)＝eq\f(15.2×sin60°,sin20°)≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5×sin80°≈38(m)，即泉城廣場上泉標的高約為38m.解決測量高度問題的一般步驟1畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖.2分析三角形：分析與問題有關的三角形.3求解：運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解.在解題中，要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運用.eq\o([跟進訓練])2．某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)．如圖所示，豎直放置的標桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.該小組已測得一組α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請據(jù)此算出H的值．[解]由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124.因此電視塔的高度H是124m.角度問題[探究問題]1．某物流投遞員沿一條大路前進，從A到B，方位角是60°，距離是4km，從B到C，方位角是120°，距離是8km，從C到D，方位角是150°，距離是3km，試畫出示意圖．[提示]如圖所示：2．在探究1中，若投遞員想在半小時之內(nèi)，沿小路直接從A點到C點，則此人的速度至少是多少？[提示]在探究1圖中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°)＝4eq\r(7)，則此人的最小速度為v＝eq\f(4\r(7),\f(1,2))＝8eq\r(7)(km/h)．3．在探究1中若投遞員以24km/h的速度勻速沿大路從A到D前進，10分鐘后某人以16eq\r(7)km/h的速度沿小路直接由A到C追投遞員，問在C點此人能否與投遞員相遇？[提示]投遞員到達C點的時間為t1＝eq\f(4＋8,24)＝eq\f(1,2)(小時)＝30(分鐘)，追投遞員的人所用時間由探究2可知t2＝eq\f(4\r(7),16\r(7))＝eq\f(1,4)(小時)＝15分鐘；由于30>15＋10，所以此人在C點能與投遞員相遇．【例3】如圖，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船沿南偏東θ度的方向，并以28海里每小時的速度行駛，恰能在C處追上乙船．問用多少小時追上乙船，并求sinθ的值．(結(jié)果保留根號，無需求近似值)[思路探究]根據(jù)題意明確已知條件與幾何量間的對應關系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，運用正、余弦定理解決．[解]設用t小時，甲船追上乙船，且在C處相遇，則在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即128t2－60t－27＝0，解得t＝eq\f(3,4)或t＝－eq\f(9,32)(舍去)，∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．根據(jù)正弦定理，得sin∠BAC＝eq\f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq\f(5\r(3),14)，則cos∠BAC＝eq\r(1－\f(75,142))＝eq\f(11,14).又∠ABC＝120°，∠BAC為銳角，∴θ＝45°－∠BAC，sinθ＝sin(45°－∠BAC)＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC＝eq\f(11\r(2)－5\r(6),28).(變條件，變結(jié)論)在本例中，若乙船向正南方向行駛，速度未知，而甲船沿南偏東15°的方向行駛恰能與乙船相遇，其他條件不變，試求乙船的速度．[解]設乙船的速度為x海里每小時，用t小時甲船追上乙船，且在C處相遇(如圖所示)，則在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°.由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，即eq\f(28t,sin135°)＝eq\f(xt,sin30°).所以x＝eq\f(28×sin30°,sin135°)＝eq\f(28×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝14eq\r(2)(海里/小時)．故乙船的速度為14eq\r(2)海里解決實際問題應注意的問題1首先明確題中所給各個角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵最主要的一步.2將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題后，要正確使用正、余弦定理解決問題.一、知識必備1．基線；2．仰角和俯角；3．方向角．二、方法必備正弦、余弦定理在實際測量中的應用的一般步驟(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖．(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解三角形的數(shù)學模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解．(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解．1．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東5° B．北偏西10°C．南偏東5° D．南偏西10°B[由題意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，從而可知燈塔A在燈塔B的北偏西10°.]2．如圖，D，C，B三點在地面同一直線上，DC＝100米，從C，D兩點測得A點仰角分別是60°，30°，則A點離地面的高度AB等于()A．50eq\r(3)米 B．100eq\r(3)米C．50米 D．100米A[因為∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC為等腰三角形，所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50eq\3．一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，此船的航速是()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時D[由題意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))，因此此船的航速為eq\f(8\r(6)－\r(2),\f(1,2))＝16(eq\r(6)－eq\r(2))(海里/小時)．]4．在高出海平面200m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時兩船間的距離為________m.200(eq\r(3)＋1)[過點A作AH⊥BC于點H，由圖易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，則BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200eq\故兩船距離BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m．]5．(一題兩空)海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)海里；貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B在北偏東120°，則：(1)A處與D處之間的距離為________；(2)燈塔C