滬科版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十四章《圓》教案

/24.1旋轉(zhuǎn)第1課時旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)對稱圖形1．了解圖形旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念并理解它的基本性質(zhì)(重點(diǎn))；2．了解旋轉(zhuǎn)對稱圖形的有關(guān)概念及特點(diǎn)(難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入飛行中的飛機(jī)的螺旋槳、高速運(yùn)轉(zhuǎn)中的電風(fēng)扇等均屬于旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象．你還能舉出類似現(xiàn)象嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)【類型一】旋轉(zhuǎn)的概念下列事件中，屬于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的是()A．小明向北走了4米B．小朋友們在蕩秋千時做的運(yùn)動C．電梯從1樓上升到12樓D．一物體從高空墜下解析：A.是平移運(yùn)動；B.是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動；C.是平移運(yùn)動；D.是平移運(yùn)動．故選B.方法總結(jié)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的概念，圖形的旋轉(zhuǎn)即是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞某個固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動．其中對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變.【類型二】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)如圖，△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)80°得到△AEF，若∠B＝100°，∠F＝50°，則∠α的度數(shù)是()A．40°B．50°C．60°D．70°解析：∵△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)80°得到△AEF，∴△ABC≌△AEF，∠C＝∠F＝50°，∠BAE＝80°.又∵∠B＝100°，∴∠BAC＝30°，∴∠α＝∠BAE－∠BAC＝50°.故選B.方法總結(jié)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點(diǎn)——旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．【類型三】與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的作圖在圖中，將大寫字母A繞它上側(cè)的頂點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，作出旋轉(zhuǎn)后的圖案，同時作出字母A向左平移5個單位的圖案．解：方法總結(jié)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及平移變換，得出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．探究點(diǎn)二：旋轉(zhuǎn)對稱圖形【類型一】認(rèn)識旋轉(zhuǎn)對稱圖形下圖中不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形的是()解析：A.360°÷5＝72°，圖形旋轉(zhuǎn)72°的整數(shù)倍即可與原圖形重合，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；B.不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項(xiàng)正確；C.360°÷8＝45°，圖形旋轉(zhuǎn)45°的整數(shù)倍即可與原圖形重合，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；D.360°÷4＝90°，圖形旋轉(zhuǎn)90°的整數(shù)倍即可與原圖形重合，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤．故選B.方法總結(jié)：本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念及性質(zhì)，把一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形繞著一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度后與初始圖形重合，可據(jù)此判定一個圖形是否為旋轉(zhuǎn)對稱圖形．【類型二】旋轉(zhuǎn)對稱圖形的特點(diǎn)如圖是一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形，要使它旋轉(zhuǎn)后與自身重合，至少應(yīng)將它繞中心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為()A．30°B．60°C．120°D．180°解析：圖形可看作是正六邊形被平分成六部分，故每部分被分成的角是60°，故旋轉(zhuǎn)60°的整數(shù)倍就可以與自身重合．故選B.方法總結(jié)：解題關(guān)鍵在于對旋轉(zhuǎn)對稱圖形的旋轉(zhuǎn)角的概念的理解，通過計(jì)算旋轉(zhuǎn)角可得出答案．三、板書設(shè)計(jì)1．旋轉(zhuǎn)的概念(1)旋轉(zhuǎn)中心；(2)旋轉(zhuǎn)角；(3)對應(yīng)點(diǎn)．2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)在一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；兩組對應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中線的連線所成的角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動的點(diǎn)．3．旋轉(zhuǎn)對稱圖形本課時所學(xué)習(xí)的內(nèi)容概念性較強(qiáng)，在教學(xué)時可借助多媒體軟件，形象生動的展示旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，使學(xué)生能夠深刻理解，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，應(yīng)突出學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的主體地位，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，增強(qiáng)動手能力，培養(yǎng)探究精神.

24.1旋轉(zhuǎn)第2課時中心對稱與中心對稱圖形1．理解中心對稱和中心對稱圖形的定義，掌握中心對稱圖形的性質(zhì)(重點(diǎn))；2．能夠依據(jù)中心對稱圖形的定義判斷某圖形是否為中心對稱圖形(難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入剪紙，又叫刻紙，是中國漢族最古老的民間藝術(shù)之一，它的歷史可追溯到公元6世紀(jì)．如圖剪紙中兩個金魚之間有什么關(guān)系呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：中心對稱的性質(zhì)如圖，已知△AOB與△DOC成中心對稱，△AOB的面積是12，AB＝3，則△DOC中CD邊上的高是()A．3B．6C．8D．12解析：設(shè)AB邊上的高為h，因?yàn)椤鰽OB的面積是12，AB＝3，所以eq\f(1,2)×3×h＝12，所以h＝8.又因?yàn)椤鰽OB與△DOC成中心對稱，△COD≌△AOB，所以△DOC中CD邊上的高是8.故選C.方法總結(jié)：成中心對稱的兩個圖形全等，全等三角形的對應(yīng)高相等．探究點(diǎn)二：中心對稱圖形的性質(zhì)與識別【類型一】中心對稱圖形的識別下列標(biāo)志圖中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()解析：根據(jù)軸對稱和中心對稱的概念和性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷，選項(xiàng)A是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；選項(xiàng)B既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；選項(xiàng)C是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；選項(xiàng)D既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形．故選B.方法總結(jié)：識別中心對稱圖形的方法是根據(jù)概念，將這個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與自身重合，那么這個圖形就是中心對稱圖形．【類型二】與中心對稱圖形有關(guān)的作圖如圖，網(wǎng)格中有一個四邊形和兩個三角形．(1)請你分別畫出三個圖形關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形；(2)將(1)中畫出的圖形與原圖形看成一個整體圖形，請寫出這個整體圖形對稱軸的條數(shù)；這個整體圖形至少旋轉(zhuǎn)多少度能與自身重合？解：(1)如圖所示；(2)這個整體圖形的對稱軸有4條；此圖形最少旋轉(zhuǎn)90°能與自身重合．方法總結(jié)：作中心對稱圖形的一般步驟：(1)確定具有代表性的點(diǎn)(如線段的端點(diǎn))；(2)作出每個代表性點(diǎn)的對稱點(diǎn)；(3)按照原圖形的形狀順次連接各個對稱點(diǎn)．【類型三】中心對稱圖形的性質(zhì)及應(yīng)用如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AD和BC于點(diǎn)E、F，AB＝2，BC＝3，試求圖中陰影部分的面積．解析：觀察圖中陰影部分，可以利用中心對稱圖形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜問題簡單化．解：因?yàn)榫匦蜛BCD是中心對稱圖形，所以△BOF與△DOE關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，所以圖中陰影部分的三個三角形就可以轉(zhuǎn)化到直角△ADC中．又因?yàn)锳B＝2，BC＝3，所以Rt△ADC的面積為eq\f(1,2)×3×2＝3，即圖中陰影部分的面積為3.方法總結(jié)：利用中心對稱的性質(zhì)將陰影部分轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中來解決更簡單．【類型四】平面直角坐標(biāo)系中的中心對稱已知：如圖，E(－4，2)，F(xiàn)(－1，－1)，以O(shè)為中心，作△EFO的中心對稱圖形，則點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為________．解析：由中心對稱可得到新的點(diǎn)與原來的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱．∵E(－4，2)，∴點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為(4，－2)，故答案為(4，－2)．方法總結(jié)：兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).三、板書設(shè)計(jì)1．中心對稱的定義與性質(zhì)成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分．2．中心對稱圖形把一個圖形繞某一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原來圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個定點(diǎn)就是對稱中心．在教學(xué)過程中，應(yīng)該鼓勵學(xué)生進(jìn)行自主探究，自己動手去探索中心對稱和中心對稱圖形的特點(diǎn)，加深對新知識的認(rèn)識和理解．教師在課堂上起輔助作用，引導(dǎo)學(xué)生自己解決問題，注重培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立意識.

24.1旋轉(zhuǎn)第3課時在平面直角坐標(biāo)系中對圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換1．理解并掌握旋轉(zhuǎn)變化的特點(diǎn)，能夠解決坐標(biāo)平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)變換問題(重點(diǎn)，難點(diǎn))；2．能夠運(yùn)用旋轉(zhuǎn)、軸對稱或平移進(jìn)行簡單的圖案設(shè)計(jì)(難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入2016年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會會徽是由三人牽手相連的標(biāo)志，以代表巴西的著名景點(diǎn)“面包山”作為圖形的基礎(chǔ)，融合充滿激情的卡里奧克舞，并且呼應(yīng)了巴西國旗的綠黃藍(lán)三色．標(biāo)志象征著團(tuán)結(jié)、轉(zhuǎn)變、激情及活力，在和諧動感中共同協(xié)力，同時也體現(xiàn)了里約的特色和這座城市多樣的文化，展示了熱情友好的里約人和這座美麗的上帝之城．二、合作探究探究點(diǎn)一：坐標(biāo)平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)變換【類型一】坐標(biāo)平面內(nèi)圖形的旋轉(zhuǎn)變換如圖，在方格紙上建立的平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△A′B′O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為()A．(3，1)B．(3，2)C．(2，3)D．(1，3)解析：根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A′、B′的位置，然后與點(diǎn)O順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)．如圖，點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(1，3)，故選D.方法總結(jié)：本題考查了坐標(biāo)與圖形旋轉(zhuǎn)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出旋轉(zhuǎn)后的三角形，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．【類型二】坐標(biāo)平面內(nèi)線段的旋轉(zhuǎn)變換如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，0)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，將線段BA繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BA′，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是__________．解析：過點(diǎn)A作AC⊥x軸，過點(diǎn)A′作A′D⊥x軸，垂足分別為C、D，顯然Rt△ABC≌Rt△BA′D.∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，0)，∴OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1.∵點(diǎn)A′在第四象限，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(b＋1，－a＋1)．故答案為(b＋1，－a＋1)．方法總結(jié)：本題考查了坐標(biāo)與線段的變化，作出全等三角形，利用全等三角形對應(yīng)邊相等求出點(diǎn)A′到坐標(biāo)軸的距離是解題的關(guān)鍵，書寫坐標(biāo)時要注意點(diǎn)所在的象限．探究點(diǎn)二：動態(tài)圖形的操作與圖案設(shè)計(jì)【類型一】圖形的變換用四塊如圖(1)所示的正方形卡片拼成一個新的正方形，使拼成的圖案是一個軸對稱圖形，請你在圖(2)、圖(3)、圖(4)中各畫出一種拼法(要求三種畫法各不相同，且其中至少有一個既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形)．解：解法不唯一．例如：方法總結(jié)：求解時只要符合題意即可，另外，在平時的學(xué)習(xí)生活中一定要留意身邊的各種形狀的圖案，這樣才能在具體求解問題時如魚得水，一蹴而就．【類型二】圖案設(shè)計(jì)如圖，是一個4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1.請你在網(wǎng)格中以左上角的三角形為基本圖形，通過平移、對稱或旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)計(jì)一個精美圖案，使其滿足：①既是軸對稱圖形，又是以點(diǎn)O為對稱中心的中心對稱圖形；②所作圖案用陰影標(biāo)識，且陰影部分面積為4.解析：所給左上角的三角形的面積為eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，故設(shè)計(jì)圖案總共需要三角形4÷eq\f(1,2)＝8(個)，以O(shè)為對稱中心的中心對稱圖形，同時又是軸對稱圖形的設(shè)計(jì)方案有很多．答案：答案不唯一，以下各圖供參考：方法總結(jié)：在讀清要求后，進(jìn)行方案的嘗試設(shè)計(jì)，一般要經(jīng)歷一個不斷修改的過程，使問題在修正中得以解決．三、板書設(shè)計(jì)1．坐標(biāo)平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)變換2．動態(tài)圖形的操作與圖案設(shè)計(jì)教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，鼓勵學(xué)生自己動手操作，經(jīng)歷運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的組合進(jìn)行簡單的圖案設(shè)計(jì)過程，體會圖形的欣賞與設(shè)計(jì)的奇妙.

24.2圓的基本性質(zhì)第1課時圓的有關(guān)概念及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．認(rèn)識圓及圓有關(guān)的概念，并了解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系(重點(diǎn))；2．理解并掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并能夠進(jìn)行簡單的證明和計(jì)算(重點(diǎn)，難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入在我們?nèi)粘Ｉ钪谐３？梢钥吹接性S多圓形物體，例如茶碗的碗口、鍋蓋、太陽、車輪、射擊用的靶子等都是圓的，怎樣畫出一個圓呢？木工師傅是用一根黑線來畫圓的，給你一根細(xì)繩、一個圖釘和一支鉛筆，你能畫出一個圓嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：與圓相關(guān)的概念【類型一】圓的有關(guān)概念的理解有下列五個說法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓；⑤任意一條直徑都是圓的對稱軸．其中錯誤的說法個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析：根據(jù)圓、直徑、弦、半圓等概念來判斷．半徑確定了，只能說明圓的大小確定了，但是位置沒有確定；直徑是弦，但弦不一定是直徑；圓的對稱軸是一條直線，每一條直徑所在的直線是圓的對稱軸，所以①③⑤的說法是錯誤的．故選C.方法總結(jié)：對稱軸是直線，不能說成每條直徑就是圓的對稱軸；注意圓的對稱軸有無數(shù)條．【類型二】利用圓的相關(guān)概念進(jìn)行線段的證明如圖所示，OA、OB是⊙O的半徑，點(diǎn)C、D分別為OA、OB的中點(diǎn)，求證：AD＝BC.解析：先挖掘隱含的“同圓的半徑相等”“公共角”兩個條件，再探求證明△AOD≌△BOC的第三個條件，從而可證出△AOD≌△BOC，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出結(jié)論．證明：∵OA、OB是⊙O的半徑，∴OA＝OB.∵點(diǎn)C、D分別為OA、OB的中點(diǎn)，∴OC＝eq\f(1,2)OA，OD＝eq\f(1,2)OB，∴OC＝OD.又∵∠O＝∠O，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD.方法總結(jié)：“同圓的半徑相等”“公共角”“直徑是半徑的2倍”等都是圓中隱含的條件．在解決問題時，要充分利用圖形的直觀性挖掘出這些隱含的條件，將復(fù)雜問題簡單化，使問題迎刃而解．【類型三】利用圓的相關(guān)概念進(jìn)行角的計(jì)算如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB，CD的延長線交于點(diǎn)E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度數(shù)．解析：要求∠AOC的度數(shù)，由圖可知∠AOC＝∠C＋∠E，故只需求出∠C的度數(shù)，而由AB＝2DE知DE與⊙O的半徑相等，從而想到連接OD構(gòu)造等腰△ODE和等腰△OCD.解：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，OC，OD是⊙O的半徑，AB＝2DE，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E＝18°，∴∠ODC＝∠DOE＋∠E＝36°.∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，∠AOC＝∠C＋∠E＝36°＋18°＝54°.方法總結(jié)：本題考查了圓的相關(guān)概念與等腰三角形的綜合，解題時結(jié)合題設(shè)條件，運(yùn)用半徑構(gòu)造出等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．探究點(diǎn)二：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【類型一】判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝3cm，AD＝4cm.(1)以點(diǎn)A為圓心，4cm為半徑作⊙A，則點(diǎn)B，C，D與⊙A的位置關(guān)系如何？(2)若以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使B，C，D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)且至少有一點(diǎn)在圓外，則⊙A的半徑r的取值范圍是什么？解：(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴點(diǎn)B在⊙A內(nèi)．∵AD＝4cm，∴點(diǎn)D在⊙A上．∵AC＝eq\r(32＋42)＝5cm＞4cm，∴點(diǎn)C在⊙A外；(2)由題意得，點(diǎn)B一定在圓內(nèi)，點(diǎn)C一定在圓外，∴3cm＜r＜5cm.方法總結(jié)：平面上一點(diǎn)P與⊙O(半徑為r)的關(guān)系有以下三種情況：(1)點(diǎn)P在⊙O上，OP＝r；(2)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，OP<r；(3)點(diǎn)P在⊙O外，OP>r.【類型二】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用如圖，點(diǎn)O處有一燈塔，警示⊙O內(nèi)部為危險區(qū)，一漁船誤入危險區(qū)點(diǎn)P處，該漁船應(yīng)該按什么方向航行才能盡快離開危險區(qū)？試說明理由．解：漁船應(yīng)沿著燈塔O過點(diǎn)P的射線OP方向航行才能盡快離開危險區(qū)．理由如下：設(shè)射線OP交⊙O與點(diǎn)A，過點(diǎn)P任意作一條弦CD，連接OD，在△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD＝OA，∴OA－OP＜PD，∴PA＜PD，即漁船沿射線OP方向航行才能盡快離開危險區(qū)．方法總結(jié)：解決實(shí)際問題時，應(yīng)選取合適的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合所學(xué)知識求解．本題應(yīng)用到的是點(diǎn)和圓及三角形三邊關(guān)系的相關(guān)知識．三、板書設(shè)計(jì)1．與圓有關(guān)的概念圓心、半徑、弦、直徑、圓弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等?。?．點(diǎn)和圓的位置(1)點(diǎn)P在⊙O上，OP＝r；(2)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，OP<r；(3)點(diǎn)P在⊙O外，OP>r.教學(xué)過程中，應(yīng)鼓勵學(xué)生自己動手畫圓，探究圓形成的過程，同時小組討論、交流各自發(fā)現(xiàn)的圓的有關(guān)性質(zhì)，使學(xué)生成為課堂的主人，進(jìn)一步提升學(xué)生獨(dú)立思考問題的能力及探究能力.

24.2圓的基本性質(zhì)第2課時垂徑分弦1．理解并掌握垂徑定理及其推論，并能應(yīng)用其解決一些簡單的計(jì)算和證明問題(重點(diǎn)，難點(diǎn))；2．認(rèn)識垂徑定理及其推論在實(shí)際問題中的應(yīng)用，會用添加輔助線的方法解決實(shí)際問題(難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入你知道趙州橋嗎？它又名“安濟(jì)橋”，位于河北省趙縣，是我國現(xiàn)存的著名的古代石拱橋，距今已有1400多年了，是隋代大業(yè)年間(公元605～618年)由著名匠師李春建造的，是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶．它的主橋拱是圓弧形，全長50.82米，橋?qū)捈s10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是當(dāng)今世界上跨徑最大、建造最早的單孔敞肩石拱橋．你知道主橋拱的圓弧所在圓的半徑是多少嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：垂徑定理及應(yīng)用【類型一】利用垂徑定理求線段長如圖所示，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，且P是半徑OB的中點(diǎn)，CD＝6cm，則直徑AB的長是()A．2eq\r(3)cmB．3eq\r(2)cmC．4eq\r(2)cmD．4eq\r(3)cm解析：∵直徑AB⊥DC，CD＝6cm，∴DP＝3cm.連接OD，∵P是OB的中點(diǎn)，設(shè)OP為x，則OD為2x，在Rt△DOP中，根據(jù)勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝eq\r(3).∴OD＝2eq\r(3)cm，∴AB＝4eq\r(3)cm.故選D.方法總結(jié)：我們常常連接半徑，利用半徑、弦、垂直于弦的直徑構(gòu)造出直角三角形，然后應(yīng)用勾股定理解決問題．【類型二】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(圖中的eq\o(AB,\s\up8(︵)))，點(diǎn)O是這段弧的圓心，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為D，AB＝300m，CD＝50m，則這段彎路的半徑是________m.解析：本題考查垂徑定理的應(yīng)用，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.設(shè)半徑為R，在Rt△ADO中，根據(jù)勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案為250.方法總結(jié)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用我們學(xué)過的垂徑定理、勾股定理等知識進(jìn)行解答．【類型三】動點(diǎn)問題如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個動點(diǎn)，求OP的長度范圍．解析：當(dāng)點(diǎn)P處于弦AB的端點(diǎn)時，OP最長，此時OP為半徑的長；當(dāng)OP⊥AB時，OP最短，利用垂徑定理及勾股定理可求得此時OP的長．解：作直徑MN⊥弦AB，交AB于點(diǎn)D，由垂徑定理，得AD＝DB＝eq\f(1,2)AB＝4cm.又∵⊙O的直徑為10cm，連接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝eq\r(OA2－AD2)＝3cm.∵垂線段最短，半徑最長，∴OP的長度范圍是3cm≤OP≤5cm．方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是明確OP最長、最短時的情況，靈活利用垂徑定理求解．容易出錯的地方是不能確定最值時的情況．探究點(diǎn)二：垂徑定理的推論的應(yīng)用【類型一】利用垂徑定理的推論求角如圖所示，⊙O的弦AB、AC的夾角為50°，M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，則∠MON的度數(shù)是()A．100°B．110°C．120°D．130°解析：已知M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，由“平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四邊形內(nèi)角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故選D.【類型二】利用垂徑定理的推論求邊如圖，⊙O的直徑CD過弦AB的中點(diǎn)E，且CE＝2，DE＝8，則AB的長為()A．9B．8C．6D．4解析：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3.∵直徑CD過弦AB的中點(diǎn)E，∴CD⊥AB，∴AE＝BE.在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，∴BE＝eq\r(OB2－OE2)＝4，∴AB＝2BE＝8.故選B.方法總結(jié)：垂徑定理的推論雖是圓的知識，但也不是孤立的，它常和三角形等知識綜合來解決問題，我們一定要把知識融會貫通，在解決問題時才能得心應(yīng)手．三、板書設(shè)計(jì)1．垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條?。?．垂徑定理的推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。虒W(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生探究垂徑定理及其推論時，強(qiáng)調(diào)垂徑定理的得出跟圓的軸對稱密切相關(guān)．在練習(xí)過程中，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際運(yùn)用垂徑定理，使學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

24.2圓的基本性質(zhì)第3課時圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系1．結(jié)合圖形了解圓心角的概念，掌握圓心角的相關(guān)性質(zhì)；2．能夠發(fā)現(xiàn)圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系，并會初步運(yùn)用這些關(guān)系解決有關(guān)問題(重點(diǎn)，難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入人類為了獲得健康和長壽，經(jīng)過不斷的實(shí)踐探索，到十九世紀(jì)末才提出“生命在于運(yùn)動”的口號．要健康長壽，更重要的是每天要攝取均衡的營養(yǎng)包括蛋白質(zhì)、糖類、脂肪、維生素、礦物質(zhì)、纖維和水．根據(jù)中國營養(yǎng)學(xué)會公布的“中國居民平衡膳食指南”，每人每日攝取量如圖．你能求出各扇形的圓心角嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：圓心角定理及其推論【類型一】圓心角與弧的關(guān)系如圖，已知：AB是⊙O的直徑，C、D是eq\o(BE,\s\up8(︵))的三等分點(diǎn)，∠AOE＝60°，則∠COE的大小是()A．40°B．60°C．80°D．120°解析：∵C、D是eq\o(BE,\s\up8(︵))的三等分點(diǎn)，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝eq\f(1,3)×(180°－60°)＝40°，∴∠COE＝80°.故選C.方法總結(jié)：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．【類型二】圓心角與弦、弦心距間的關(guān)系如圖所示，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∠B＝70°，則∠A＝________．解析：由eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，得這兩條弧所對的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因?yàn)椤螧＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的內(nèi)角和定理可得∠A的度數(shù)為40°.故答案為40°.方法總結(jié)：在應(yīng)用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理時，注意根據(jù)具體的需要選擇有關(guān)部分，本題只需由兩弧相等，得到兩弦相等就可以了．【類型三】圓心角定理及其推論的應(yīng)用如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，M，N分別是OA，OB的中點(diǎn)，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N.求證：eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).解析：根據(jù)圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系，可先證明它們所對的圓心角相等或它們所對的弦相等．證法1：如圖所示，連接OC，OD，則OC＝OD.∵OA＝OB，又M，N分別是OA，OB的中點(diǎn)，∴OM＝ON.又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.∴Rt△CMO≌Rt△DNO，∴∠1＝∠2，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).證法2：如圖①所示，分別延長CM，DN交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn).∵OA＝OB，OM＝eq\f(1,2)OA，ON＝eq\f(1,2)OB，∴OM＝ON.又∵OM⊥CE，ON⊥DF，∴CE＝DF，∴eq\o(CE,\s\up8(︵))＝eq\o(DF,\s\up8(︵)).又∵eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(CE,\s\up8(︵))，eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(DF,\s\up8(︵))，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).圖①圖②證法3：如圖②所示，連接AC，BD.由證法1，知CM＝DN.又∵AM＝BN，∠AMC＝∠BND＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BND.∴AC＝BD，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).方法歸納：在同圓或等圓中，要證明圓心角、弧、弦、弦心距這四組量中的某一組量相等，通常是轉(zhuǎn)化成證明另外三組量中的某一組量相等.三、板書設(shè)計(jì)1．圓心角定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．2．圓心角定理推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及這兩個角所對的弧、所對的弦、所對的弦的弦心距中，有一組量相等，那么其余各組量都分別相等．教學(xué)過程中，向?qū)W生強(qiáng)調(diào)弧、弦、圓心角及弦心距之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生探究時，要鼓勵學(xué)生大膽猜想，使其體會數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的魅力之處，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

24.2圓的基本性質(zhì)第4課時圓的確定1．理解并掌握確定圓的條件；2．理解三角形的外接圓，三角形外心的概念，能夠運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算(重點(diǎn)，難點(diǎn))；3．理解反證法的思想，能夠運(yùn)用反證法證明命題(難點(diǎn)).一、情境導(dǎo)入小明不慎把家中的一塊圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃應(yīng)該是哪一塊？二、合作探究探究點(diǎn)一：確定圓的條件已知：不在同一直線上的三個已知點(diǎn)A，B，C(如圖)，求作：⊙O，使它經(jīng)過點(diǎn)A，B，C.解析：根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，作出邊AB、BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑，作出圓即可．解：(1)連接AB、BC；(2)分別作出線段AB、BC的垂直平分線DE、GF，兩垂直平分線相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O就是所求作的⊙O的圓心；(3)以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作圓，則⊙O就是所求作的圓．方法總結(jié)：作經(jīng)過三點(diǎn)的圓，即作這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外接圓，根據(jù)三角形的外接圓的性質(zhì)可知，其圓心為三邊垂直平分線的交點(diǎn)，依據(jù)此作圖即可求解．探究點(diǎn)二：三角形的外接圓【類型一】與圓的內(nèi)接三角形有關(guān)的坐標(biāo)的計(jì)算如圖，△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)是________．解析：由圖可知△ABC外接圓的圓心在BC的垂直平分線上，即外接圓圓心在直線y＝－1上，也在線段AB的垂直平分線上，即外接圓圓心在直線y＝x＋1上，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－1，,y＝x＋1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1，))則兩線交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－1)，故填(－2，－1)．方法總結(jié)：解題時可根據(jù)外接圓的圓心的性質(zhì)：三角形外接圓圓心為三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，列出相應(yīng)的等式關(guān)系求解．【類型二】與圓的內(nèi)接三角形有關(guān)線段的計(jì)算如圖，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距離是5cm，求△ABC的外接圓的半徑．解：連接OB，過點(diǎn)O作OD⊥BC，則OD＝5cm，BD＝eq\f(1,2)BC＝12cm.在Rt△OBD中，OB＝eq\r(OD2＋BD2)＝eq\r(52＋122)＝13cm.即△ABC的外接圓的半徑為13cm.方法總結(jié)：由外心的定義可知外接圓的半徑等于OB，過點(diǎn)O作OD⊥BC，易得BD＝12cm.由此可求它的外接圓的半徑．探究點(diǎn)三：反證法用反證法證明：一個圓只有一個圓心．解析：反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此得出假設(shè)與已知定理矛盾，進(jìn)而得出答案．證明：假設(shè)⊙O有兩個圓心O及O′，在圓內(nèi)任作一弦AB，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P，連結(jié)OP，O′P，則OP⊥AB，O′P⊥AB，過直線AB上一點(diǎn)P，同時有兩條直線OP，O′P都垂直于AB，與垂線的性質(zhì)矛盾，故一個圓只有一個圓心．方法總結(jié)：此題主要考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的步驟．反證法的步驟是：(1)假設(shè)結(jié)論不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；(3)假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．三、板書設(shè)計(jì)1．確定圓的條件不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓．2．三角形的外接圓經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等．3．反證法證明的一般步驟(1)反設(shè)；(2)推理；(3)結(jié)論．教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)三角形的外接圓的圓心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．在圓中充分利用這一點(diǎn)可解決相關(guān)的計(jì)算問題.

24.3圓周角第1課時圓周角定理及其推論1．理解圓周角的概念，學(xué)會識別圓周角；2．了解圓周角與圓心角的關(guān)系，能夠理解和掌握圓周角定理及推論，并進(jìn)行簡單的計(jì)算與證明(重點(diǎn)，難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入你喜歡看足球比賽嗎？你踢過足球嗎？第六屆東亞四強(qiáng)賽于2015年在武漢舉行，共有來自亞洲的8支球隊(duì)參加賽事，共進(jìn)行24場比賽決定冠軍隊(duì)伍．比賽如圖所示，甲隊(duì)員在圓心O處，乙隊(duì)員在圓上C處，丙隊(duì)員帶球突破防守把球傳給乙，乙依然把球傳給了甲，你知道為什么嗎？你能用數(shù)學(xué)知識解釋一下嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：圓周角定理【類型一】利用圓周角定理求角如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為圓上兩點(diǎn)，∠AOC＝130°，則∠D等于()A．25°B．30°C．35°D．50°解析：本題考查同弧所對圓周角與圓心角的關(guān)系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故選A.方法總結(jié)：在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．【類型二】同弦所對圓周角中的分類討論思想已知⊙O的弦AB長等于⊙O的半徑，求此弦AB所對的圓周角的度數(shù)．解析：弦AB的長恰好等于⊙O的半徑，則△OAB是等邊三角形，則∠AOB＝60°.而弦AB所對的弧有兩段，一段是優(yōu)弧，一段是劣弧，因此本題要分類討論．解：分下面兩種情況：如圖①所示，連接OA，OB，在⊙O上任取一點(diǎn)C，連接CA，CB.∵AB＝OA＝OB，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝eq\f(1,2)∠AOB＝30°.即弦AB所對的圓周角等于30°.如圖②所示，連接OA，OB，在劣弧上任取一點(diǎn)D，連接AD，OD，BD，則∠BAD＝eq\f(1,2)∠BOD，∠ABD＝eq\f(1,2)∠AOD.∴∠BAD＋∠ABD＝eq\f(1,2)(∠BOD＋∠AOD)＝eq\f(1,2)∠AOB.∵AB的長等于⊙O的半徑，∴△AOB為等邊三角形，∠AOB＝60°.∴∠BAD＋∠ABD＝30°，∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，即弦AB所對的圓周角為150°.綜上所述，弦AB所對的圓周角的度數(shù)是30°或150°.方法總結(jié)：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．要注意的是弦AB所對的圓周角有兩種情況，需分類討論，解題時可分別作圖，結(jié)合圖形求解，以免漏解．探究點(diǎn)二：圓周角定理的推論【類型一】利用圓周角定理的推論1解題如圖所示，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點(diǎn)上，則∠AED的正切值等于()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C．2D.eq\f(1,2)解析：根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等來求解，∵∠E＝∠ABD，∴tan∠AED＝tan∠ABD＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).故選D.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是在同圓或等圓中，相等的兩條弧所對的圓周角也相等．注意與三角函數(shù)的結(jié)合．【類型二】利用圓周角定理的推論2解題如圖所示，已知△ABC的頂點(diǎn)在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，求證：∠BAE＝∠CAD.解析：連接BE構(gòu)造Rt△ABE，由AD是△ABC的高得Rt△ACD，要證∠BAE＝∠CAD，只要證出它們的余角∠E與∠C相等，而∠E與∠C是同弧AB所對的圓周角．證明：連接BE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AB,\s\up8(︵))，∴∠E＝∠C.∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.方法總結(jié)：涉及直徑時，通常是利用“直徑所對的圓周角是直角”來構(gòu)造直角三角形，并借助直角三角形的性質(zhì)來解決問題．三、板書設(shè)計(jì)1．圓周角的概念2．圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．3．圓周角定理的推論推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．教學(xué)過程中，經(jīng)歷圓周角定理及其推論的探究，使學(xué)生掌握圓周角的相關(guān)性質(zhì)；配合練習(xí)，鞏固所學(xué)知識，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用來提升學(xué)生的思維能力.

24.3圓周角第2課時圓內(nèi)接四邊形1．理解圓內(nèi)接多邊形的概念；2．掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用其進(jìn)行簡單的計(jì)算與證明(重點(diǎn)、難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入如圖是一個圓形笑臉，給你一個三角板，你有辦法確定這個圓形笑臉的圓心嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：與圓內(nèi)接四邊形有關(guān)的計(jì)算【類型一】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，點(diǎn)O在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD＋∠OCD＝________度．解析：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四邊形OABC為平行四邊形，∴∠AOC＝∠B.又由題意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC＝180°÷3＝60°.連接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.方法總結(jié)：解決圓中角度計(jì)算問題關(guān)鍵是掌握弧的角度、弧所對圓心角的度數(shù)和弧所對圓周角度數(shù)之間的關(guān)系，巧妙地利用弧的度數(shù)作橋梁進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找出相應(yīng)的等量關(guān)系．【類型二】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，延長DC，AB相交于點(diǎn)E.若BC＝BE.求證：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的補(bǔ)角相等，得∠A＝∠BCE，則∠E＝∠A.證明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形．方法總結(jié)：在運(yùn)用圓的內(nèi)接四邊形進(jìn)行解題時，要牢記圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．三、板書設(shè)計(jì)1．圓的內(nèi)接多邊形2．圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角．教學(xué)過程中，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自己探究圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，在探究的過程中體會轉(zhuǎn)化思想．在解決問題時能通過聯(lián)想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，提升學(xué)生的邏輯思維能力.

24.4直線與圓的位置關(guān)系第1課時直線與圓的三種位置關(guān)系、切線的性質(zhì)定理1．了解并掌握直線與圓的不同位置關(guān)系時的有關(guān)概念；2．能夠運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系解決實(shí)際問題(重點(diǎn)、難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入你看過日出嗎，如圖是海上日出的一組圖片，如果把海平面看做一條直線，太陽看做一個圓，在日出過程中，二者會出現(xiàn)幾種位置關(guān)系呢？二、合作探究探究點(diǎn)：直線與圓的位關(guān)系【類型一】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在直線l上，且OP＝5，直線l與⊙O的位置關(guān)系是()A．相切B．相交C．相離D．相切或相交解析：分兩種情況討論：(1)OP⊥直線l，則圓心到直線l的距離為5，此時直線l與⊙O相切；(2)若OP與直線l不垂直，則圓心到直線的距離小于5，此時直線l與⊙O相交．所以本題選D.方法總結(jié)：判斷直線與圓的位置關(guān)系，主要看該圓心到直線的距離，所以要判斷直線與圓的位置關(guān)系，我們先確定圓心到直線的距離．【類型二】由直線和圓的位置關(guān)系確定圓心到直線的距離已知圓的半徑等于5，直線l與圓沒有交點(diǎn)，則圓心到直線l的距離d的取值范圍是________．解析：因?yàn)橹本€l與圓沒有交點(diǎn)，所以直線l與圓相離，所以圓心到直線的距離大于圓的半徑，即d＞5.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第2題【類型三】直線與圓的位置關(guān)系與一元二次方程的綜合已知⊙O的半徑為R，點(diǎn)O到直線m的距離為d，R、d是方程x2－2x＋a＝0的兩根，當(dāng)直線m與⊙O相切時，求a的值．解析：由直線m與⊙O相切可得出d＝R，即方程x2－2x＋a＝0有兩個相等的根，由Δ＝0即可求出a的值．解：∵直線m與⊙O相切，∴d＝R.即方程x2－2x＋a＝0有兩個相等的根，∴Δ＝4－4a＝0，∴a＝1.方法總結(jié)：由直線與圓的位置關(guān)系可知：當(dāng)直線與圓相切時，d＝R.再結(jié)合一元二次方程根的判別式的知識，列出關(guān)于未知數(shù)的方程，即可得解．【類型四】坐標(biāo)系內(nèi)直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與y軸相切于原點(diǎn)O，平行于x軸的直線交⊙A于M、N兩點(diǎn)．若點(diǎn)M的坐標(biāo)是(－4，－2)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A．(－1，－2)B．(1，2)C．(－1.5，－2)D．(1.5，－2)解析：過點(diǎn)A作AQ⊥MN于點(diǎn)Q，連接AN，設(shè)半徑為r，由垂徑定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理得r2＝4＋(4－r)2，解得r＝2.5，可以求出NQ＝1.5，所以N點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－2)．故選A.方法總結(jié)：在圓中如果有弦要求線段的長度，通常要將經(jīng)過圓心的半徑畫出，利用垂徑定理和勾股定理解決問題．【類型五】直線與圓的位置關(guān)系中的移動問題如圖，∠ABC＝80°，O為射線BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，eq\f(1,2)OB長為半徑作⊙O，要使射線BA與⊙O相切，應(yīng)將射線BA繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)()A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°解析：如圖，①當(dāng)BA′與⊙O相切，且BA′位于BC上方時，設(shè)切點(diǎn)為P，連接OP，則∠OPB＝90°；Rt△OPB中，OB＝2OP，∴∠A′BO＝30°，∴∠ABA′＝50°；②當(dāng)BA′與⊙O相切，且BA′位于BC下方時同①，可求得∠A′BO＝30°，此時∠ABA′＝80°＋30°＝110°.故旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為50°或110°，故選C.方法總結(jié)：此題主要考查的是切線的性質(zhì)，以及解直角三角形的應(yīng)用，需注意切線的位置有兩種情況，不要漏解．當(dāng)BA′與⊙O相切時，可連接圓心與切點(diǎn)，通過構(gòu)建的直角三角形，求出∠A′BO的度數(shù)，然后再根據(jù)BA′的不同位置分類討論．三、板書設(shè)計(jì)直線與圓的位置關(guān)系(1)相交：直線與圓有兩個交點(diǎn)，直線l與⊙O相交d<r；(2)相切：直線與圓只有一個交點(diǎn)，直線l與⊙O相切d＝r；(3)相離：直線與圓沒有公共點(diǎn)，直線l與⊙O相離d>r.教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生從實(shí)際生活中感受、體會直線與圓的幾種位置關(guān)系，并會用數(shù)學(xué)語言來描述歸納，經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，提升學(xué)生獨(dú)立思考問題的能力.

24.4直線與圓的位置關(guān)系第2課時切線的判定定理1．掌握判定直線與圓相切的方法，并能運(yùn)用直線與圓相切的方法進(jìn)行計(jì)算與證明(重點(diǎn))；2．掌握直線與圓相切的性質(zhì)，并能運(yùn)用直線與圓相切的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明(重點(diǎn)，難點(diǎn))；3．能運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系解決實(shí)際問題．一、情境導(dǎo)入約在6000年前，美索不達(dá)米亞人做出了世界上第一個輪子——圓形的木盤，你能設(shè)計(jì)一個辦法測量這個圓形物體的半徑嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：切線的性質(zhì)【類型一】切線的性質(zhì)的運(yùn)用如圖，點(diǎn)O是∠BAC的邊AC上的一點(diǎn)，⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，與線段AO相交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，且∠EPD＝35°，則∠BAC的度數(shù)為()A．20°B．35°C．55°D．70°解析：連接OD，∵⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故選A.方法總結(jié)：此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理．解題時要注意運(yùn)用切線的性質(zhì)，注意掌握輔助線的作法，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．【類型二】利用切線的性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)算如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)．直線PO與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，∠P＝30°，連接AO、AB、AC.(1)求證：△ACB≌△APO；(2)若AP＝eq\r(,3)，求⊙O的半徑．(1)證明：∵PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO；(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝eq\r(,3)，∴AO＝1，即⊙O的半徑為1.方法總結(jié)：運(yùn)用切線進(jìn)行證明和計(jì)算時，一般連接切點(diǎn)與圓心，根據(jù)切線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，構(gòu)造出等量關(guān)系求解．【類型三】探究圓的切線的條件如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC＝10，BC＝12，P是eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線交AB的延長線于點(diǎn)D.(1)當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時，DP是⊙O的切線？請說明理由；(2)當(dāng)DP為⊙O的切線時，求線段BP的長．解析：(1)當(dāng)點(diǎn)P是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)時，得eq\o(PBA,\s\up8(︵))＝eq\o(PCA,\s\up8(︵))，得出PA是⊙O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問題得證；(2)利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長，進(jìn)而得出AB的長，在Rt△ABP中再次利用勾股定理即可求出BP的長．解：(1)當(dāng)點(diǎn)P是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)時，DP是⊙O的切線．理由如下：∵AB＝AC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，又∵eq\o(PB,\s\up8(︵))＝eq\o(PC,\s\up8(︵))，∴eq\o(PBA,\s\up8(︵))＝eq\o(PCA,\s\up8(︵))，∴PA是⊙O的直徑．∵eq\o(PB,\s\up8(︵))＝eq\o(PC,\s\up8(︵))，∴∠1＝∠2，又∵AB＝AC，∴PA⊥BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切線．(2)連接OB，設(shè)PA交BC于點(diǎn)E.由垂徑定理，得BE＝eq\f(1,2)BC＝6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝eq\r(AB2－BE2)＝8.設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝8－r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r＝eq\f(25,4).在Rt△ABP中，AP＝2r＝eq\f(25,2)，AB＝10，∴BP＝eq\r(,（\f(25,2)）2－102)＝eq\f(15,2).方法總結(jié)：判定直線是否為圓的切線時要從切線的性質(zhì)入手，結(jié)合垂徑定理與勾股定理，合理轉(zhuǎn)化已知條件，得出結(jié)論．探究點(diǎn)二：切線的判定【類型一】判定圓的切線如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求證：CD是⊙O的切線．證明：連接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線．方法總結(jié)：切線的判定方法有三種：①利用切線的定義，即與圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線；②到圓心距離等于半徑長的直線是圓的切線；③經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【類型二】切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F、C是⊙O上的兩點(diǎn)，且eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))，連接AC、AF，過點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長線于點(diǎn)D，垂足為D.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若CD＝2eq\r(3)，求⊙O的半徑．分析：(1)連接OC，由弧相等得到相等的圓周角，根據(jù)等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，再根據(jù)等量代換得到∠ACO＋∠ACD＝90°，從而證明CD是⊙O的切線；(2)由eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得AB的長，進(jìn)而求得⊙O的半徑．(1)證明：連接OC，BC.∵eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；(2)解：∵eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝2eq\r(3)，∴AC＝4eq\r(3).在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4eq\r(,3)，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半徑為4.方法總結(jié)：若證明切線時有交點(diǎn)，需“連半徑，證垂直”然后利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，在解直角三角形時常運(yùn)用勾股定理求邊長．三、板書設(shè)計(jì)1．切線的性質(zhì)圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．2．切線的判定經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．教學(xué)過程中，經(jīng)歷切線性質(zhì)的探究，從中可得出判定切線的條件，整個學(xué)習(xí)過程是一個逐層深入的過程．因此教師應(yīng)當(dāng)對學(xué)生在探究過程中遇到的問題及時進(jìn)行解決，使學(xué)生能更全面的掌握知識.

24.4直線與圓的位置關(guān)系第3課時切線長定理1．掌握切線長定理，初步學(xué)會運(yùn)用切線長定理進(jìn)行計(jì)算與證明(重點(diǎn)，難點(diǎn))；2．學(xué)會利用方程思想解決幾何問題，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想．一、情境導(dǎo)入新農(nóng)村建設(shè)中，張村計(jì)劃在一個三角形中建一個最大面積的圓形花園，請你設(shè)計(jì)一個建筑方案．二、合作探究探究點(diǎn)：切線長定理及應(yīng)用【類型一】利用切線長定理求線段的長如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，⊙O的切線EF分別交PA、PB于點(diǎn)E、F，切點(diǎn)C在eq\o(AB,\s\up8(︵))上．若PA長為2，則△PEF的周長是________．解析：因?yàn)镻A、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，所以PA＝PB.因?yàn)椤袿的切線EF分別交PA、PB于點(diǎn)E、F，切點(diǎn)為C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周長是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4.方法總結(jié)：在求線段長度時，可以運(yùn)用切線長定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)題設(shè)條件的提示，連接切點(diǎn)與圓心，實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)化．【類型二】利用切線長定理求角的大小如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度數(shù)是________度．解析：如圖所示，連接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易證△POA≌△POB，∴∠OPA＝eq\f(1,2)∠APB＝20°.故答案為20.方法總結(jié)：由公共點(diǎn)引出的兩條切線，可以運(yùn)用切線長定理得到等腰三角形．另外根據(jù)全等三角形的判定，可得到PO平分∠APB.【類型三】切線長定理的實(shí)際應(yīng)用為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一把刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑．若測得PA＝8cm，則鐵環(huán)的半徑長是多少？說一說你是如何判斷的．解：過O作OQ⊥AB于Q，設(shè)鐵環(huán)的圓心為O，連接OP、OA.∵AP、AQ為⊙O的切線，∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO＝∠QAO.又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝8，∠POA＝30°，∴OP＝8eq\r(3)(cm)，即鐵環(huán)的半徑為8eq\r(3)cm.方法總結(jié)：運(yùn)用切線長定理解決實(shí)際問題，要選擇合適的數(shù)學(xué)模型，解題時要結(jié)合切線長的性質(zhì)等求解．三、板書設(shè)計(jì)切線長定理過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，兩條切線長相等，圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．教學(xué)過程中，引入切線長定理后，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)用切線長定理可解決角度和長度問題．使學(xué)生在練習(xí)中鞏固知識，提升學(xué)生的獨(dú)立思考能力.

24.5三角形的內(nèi)切圓1．了解并掌握有關(guān)三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念；2．學(xué)會解決與三角形的內(nèi)切圓和三角形內(nèi)心有關(guān)的計(jì)算，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想(重點(diǎn)，難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入李明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，且使圓的面積最大．應(yīng)該怎樣畫出裁剪圖？探索：(1)當(dāng)裁得圓最大時，圓與三角形的各邊有什么位置關(guān)系？(2)與三角形的一個角的兩邊都相切的圓的圓心在哪里？(3)如何確定這個圓的圓心？二、合作探究探究點(diǎn)一：與三角形內(nèi)切圓有關(guān)的計(jì)算【類型一】求三角形的內(nèi)切圓的半徑如圖，⊙O是邊長為2的等邊△ABC的內(nèi)切圓，則⊙O的半徑為________．解析：如圖，連接OD.由等邊三角形的內(nèi)心即為中線，底邊高，角平分線的交點(diǎn)．所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝eq\f(1,2)BC，OC＝2OD.又由BC＝2，則CD＝1.在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以O(shè)D2＋12＝(2OD)2，所以O(shè)D＝eq\f(\r(3),3).即⊙O的半徑為eq\f(\r(,3),3).方法總結(jié)：等邊三角形的內(nèi)心為等邊三角形中線，底邊高，角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等．【類型二】求三角形的周長如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與兩直角邊AB，BC分別相切于點(diǎn)D、E，過劣弧eq\o(DE,\s\up8(︵))(不包括端點(diǎn)D、E)上任一點(diǎn)P作⊙O的切線MN與AB、BC分別交于點(diǎn)M、N.若⊙O的半徑為r，則Rt△MBN的周長為()A．rB.eq\f(3,2)rC．2rD.eq\f(5,2)r解析：連接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵M(jìn)D，MP都是⊙O的切線，且D、P是切點(diǎn)，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r，故選C.方法總結(jié)：本題沒有明確告訴數(shù)據(jù)，因此要從轉(zhuǎn)化入手，連接切點(diǎn)與圓心，運(yùn)用三角形內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)，得到等量關(guān)系，從而求解．探究點(diǎn)二：三角形的內(nèi)心及相關(guān)計(jì)算【類型一】根據(jù)三角形的內(nèi)心求角度已知O是△ABC的內(nèi)心，∠A＝50°，則∠BOC等于()A．100°B．115°C．130°D．125°解析：∵O是△ABC的內(nèi)心，∠A＝50°，∴∠OBC＋∠OCB＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝eq\f(1,2)(180°－50°)＝65°，∴∠BOC＝180°－65°＝115°.故選B.方法總結(jié)：在三角形中三個角的角平分線的交點(diǎn)是這個三角形內(nèi)切圓的圓心，而三角形內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心．【類型二】三角形內(nèi)心的有關(guān)判定如圖，⊙O與△ABC的三條邊相交所得的弦長相等，則下列說法正確的是()A．點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心B．點(diǎn)O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形解析：過O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF，由垂徑定理得：DM＝eq\f(1,2)DE，KQ＝eq\f(1,2)KH，F(xiàn)N＝eq\f(1,2)FG，∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN.∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理得OM＝ON＝OQ，即O到△ABC三邊的距離相等，∴點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，故選A.方法總結(jié)：本題考查了垂徑定理、勾股定理和三角形內(nèi)心的綜合應(yīng)用，解題時要注意三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等．三、板書設(shè)計(jì)1．三角形的內(nèi)切圓與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓．2．三角形的內(nèi)心內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，是這個三角形三個內(nèi)角的角平分線交點(diǎn)．三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等．教學(xué)過程中，需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)三角形的內(nèi)切圓圓心的性質(zhì)與特點(diǎn)，針對難以理解的概念性問題，可以在練習(xí)中讓學(xué)生自己探索解題方法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，使學(xué)生成為課堂真正的主人.

24.6正多邊形與圓第1課時正多邊形與圓1．理解并掌握正多邊形和圓的有關(guān)概念，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算(重點(diǎn)，難點(diǎn))；2．學(xué)會通過等分圓周的方法作正多邊形．一、情境導(dǎo)入生日宴會上，佳樂等6位同學(xué)一起過生日，他想把如圖所示的蛋糕平均分成6份，你能幫他做到嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：正多邊形與圓【類型一】圓的內(nèi)接多邊形與外切多邊形的有關(guān)計(jì)算如圖，有一個⊙O和兩個正六邊形T1，T2.T1的6個頂點(diǎn)都在圓周上，T2的6條邊都和⊙O相切．(1)設(shè)T1，T2的邊長分別為a，b，⊙O的半徑為r，求r∶a及r∶b的值；(2)求正六邊形T1，T2的面積比S1∶S2的值．解：(1)連接圓心O和T1的6個頂點(diǎn)可得6個全等的正三角形．所以r∶a＝1∶1；連接圓心O和T2相鄰的兩個頂點(diǎn)，得到以⊙O的半徑為高的正三角形，所以r∶b＝eq\r(3)∶2；(2)正六邊形T1與T2相似，且T1∶T2的邊長比是eq\r(3)∶2，所以S1∶S2＝3∶4.【類型二】圓的內(nèi)接正多邊形的探究題如圖所示，圖①，②，③，…，，M，N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，…正n邊形的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連接OM，ON.(1)求圖①中∠MON的度數(shù)；(2)圖②中∠MON的度數(shù)是________，圖③中∠MON的度數(shù)是________；(3)試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫出答案)．解：(1)取B與M重合，N與C重合，利用O是正三角形的中心，可知∠MON的度數(shù)是120°；(2)取B與M重合，N與C重合，此時三角形MON是直角三角形，∠MON＝eq\f(360°,4)＝90°；取B與M重合，N與C重合，此時∠MON的對應(yīng)角度是整個圓周的eq\f(1,5)，∠MON＝eq\f(360°,5)＝72°；(3)eq\f(360°,n).方法總結(jié)：解決此類問題時可取極限(特殊)位置進(jìn)行分析，本題中可對三個圖都取B與M重合，N與C重合，可得出∠MON為定值且與正多邊形邊數(shù)相關(guān)．【類型三】作正多邊形如圖，已知半徑為R的⊙O，用多種工具、多種方法作出圓內(nèi)接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圓心角是120°的角；尺規(guī)作圖法：先將圓六等分，然后再每兩份合并成一份，將圓三等分．解：方法一：(1)用量角器畫圓心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；(2)連接AB，BC，CA，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．方法二：(1)用量角器畫圓心角∠BOC＝120°；(2)在⊙O上用圓規(guī)截取eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AB,\s\up8(︵))；(3)連接AC，BC，AB，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．方法三：(1)作直徑AD；(2)以D為圓心，OA長為半徑畫弧，交⊙O于B，C；(3)連接AB，BC，CA，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．方法四：(1)作直徑AE；(2)分別以A，E為圓心，OA長為半徑畫弧與⊙O分別交于點(diǎn)D，F(xiàn)，B，C；(3)連接AB，BC，CA(或連接EF，ED，DF)，則△ABC(或△EFD)為圓內(nèi)接正三角形．方法總結(jié)：解正多邊形的作圖問題，通?？梢允褂玫姆椒ㄓ袃纱箢悾憾攘糠ê统咭?guī)作圖法；其中度量法可以畫出任意的多邊形，而尺規(guī)作圖只能作出一些特殊的正多邊形，如邊數(shù)是3、4的整數(shù)倍的正多邊形．【類型四】與正多邊形相關(guān)的證明如圖，直線AC切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)B在⊙O上，且AB＝AC＝AO，OC、BC分別交⊙O于點(diǎn)E、F.求證：EF是圓內(nèi)接正二十四邊形的一邊．證明：∵AC切⊙O于點(diǎn)A，∴∠CAO＝90°.∵AC＝OA，∴∠AOC＝45°.∵AB＝OA，OB＝OA，∴∠BAO＝60°，∠BAC＝60°＋90°＝150°.∵AC＝AB，∴∠ABC＝eq\f(1,2)(180°－150°)＝15°.∵∠AOF是弧AF所對圓心角，∠ABF是弧AF所對圓周角，∴∠AOF＝30°，∴∠EOF＝15°，∵eq\f(360°,15°)＝24，∴EF是圓內(nèi)接正二十四邊形的一邊．方法總結(jié)：此題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)和圓周角定理等知識，根據(jù)已知得出∠EOF的度數(shù)是解題關(guān)鍵．三、板書設(shè)計(jì)1．各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形．2．利用等分圓周作正多邊形．教學(xué)過程中，以學(xué)生自主探索和合作交流為主，以練習(xí)強(qiáng)化學(xué)生對所學(xué)知識的理解，靈活運(yùn)用，提高其獨(dú)立思考和解決問題的能力.

24.6正多邊形與圓第2課時正多邊形的性質(zhì)1．進(jìn)一步了解正多邊形的有關(guān)概念；2．理解并掌握正多邊形與圓之間的關(guān)系，并能運(yùn)用其進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算(重點(diǎn)，難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入如圖，要擰開一個邊長為6cm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口至少是多少？你能想辦法知道嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：正多邊形的性質(zhì)【類型一】求正多邊形的中心角已知一個正多邊形的每個內(nèi)角均為108°，則它的中心角為________度．解析：每個內(nèi)角為108°，則每個外角為72°，根據(jù)多邊形的外角和等于360°，可知正多邊形的邊數(shù)為5，則其中心角為360°÷5＝72°.故填72.【類型二】正多邊形的有關(guān)計(jì)算已知正六邊形ABCDEF的半徑是R，求正六邊形的邊長a和面積S.解：作半徑OA、OB，過O作OH⊥AB，則∠AOH＝eq\f(180°,6)＝30°，∴AH＝eq\f(1,2)R，∴a＝2AH＝R.．設(shè)OH=r，由勾股定理可得r2＝R2－(eq\f(1,2)R)2，∴r＝eq\f(\r(3),2)R，∴S＝eq\f(1,2)·a·r×6＝eq\f(1,2)·R·eq\f(\r(3),2)R·6＝eq\f(3\r(3),2)R2.方法總結(jié)：熟練掌握多邊形的相關(guān)概念以及等邊三角形與圓的有關(guān)計(jì)算．【類型三】與正多邊形有關(guān)的探究題如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1，0)，B(2，0)，正六邊形ABCDEF沿x軸正方向無滑動滾動，保持上述運(yùn)動過程，經(jīng)過(2014，eq\r(3))的正六邊形的頂點(diǎn)是()A．C或EB．B或DC．A或ED．B或F解析：∵點(diǎn)A(1，0)，B(2，0)，∴OA＝1，OB＝2，∴正六邊形的邊長AB＝1，∴當(dāng)點(diǎn)D第一次落在x軸上時，OD＝2＋1＋1＝4，∴此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，0)．如圖①所示，當(dāng)滾動到A′D⊥x軸時，E、F、A的對應(yīng)點(diǎn)分別是E′、F′、A′，連接A′D，過點(diǎn)F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠A′F′G＝30°，∴A′G＝eq\f(1,2)A′F′＝eq\f(1,2)，同理可得HD＝eq\f(1,2)，∴A′D＝2，∴在運(yùn)動過程中，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的最大值是2.如圖①，∵D(2，0)，∴A′(2，2)，OD＝2.∵正六邊形滾動6個單位長度時正好滾動一周，∴從點(diǎn)(2，2)開始到點(diǎn)(2014，eq\r(3))正好滾動2012個單位長度．∵eq\f(2012,6)＝335…2，∴恰好滾動335周多2個，如圖②所示，點(diǎn)F′的縱坐標(biāo)為eq\r(3)，∴會過點(diǎn)(2014，eq\r(3))的是點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)D在(2014，0)位置時，則E點(diǎn)在(2015，0)位置，此時B點(diǎn)在D點(diǎn)的正上方，DB＝eq\r(3)，所以B點(diǎn)符合題意．綜上所示，經(jīng)過(2014，eq\r(3))的正六邊形的頂點(diǎn)是B或F.故選D.方法總結(jié)：本題考查的是正多邊形和圓及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用正六邊形的性質(zhì)求出A′點(diǎn)的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．三、板書設(shè)計(jì)1．正多邊形的有關(guān)概念中心、半徑、邊心距、中心角2．正多邊形的性質(zhì)正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形有n條對稱軸，每一條對稱軸都通過正多邊形的中心.如果一個正多邊形有偶數(shù)條邊，那么它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心．教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)正多邊形與圓的聯(lián)系，將正多邊形放在圓中便于解決、探究更多關(guān)于正多邊形的問題.

24.7弧長與扇形面積第1課時弧長與扇形面積1．經(jīng)歷弧長和扇形面積公式的探求過程；2．會利用弧長和扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算(難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入在我們?nèi)粘Ｉ钪?，弧形隨處可見，大到星體運(yùn)行軌道，小到水管彎管，操場跑道，高速立交的環(huán)形入口等等，你有沒有想過，這些弧形的長度應(yīng)該怎么計(jì)算呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：與弧長有關(guān)的計(jì)算【類型一】求弧長如圖，⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，則劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的長為________cm.解析：連接OB、OC，∵AB是⊙O的切線，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的長為eq\f(60×π×6,180)＝2π.方法總結(jié)：根據(jù)弧長公式l＝eq\f(nπR,180)，求弧長應(yīng)先確定圓弧所在圓的半徑R和它所對的圓心角n的大?。绢愋投坷没￠L求半徑或圓心角(1)已知扇形的圓心角為45°，弧長等于eq\f(π,2)，則該扇形的半徑是________；(2)如果一個扇形的半徑是1，弧長是eq\f(π,3)，那么此扇形的圓心角的大小為________．解析：(1)若設(shè)扇形的半徑為R，則根據(jù)題意，得eq\f(45×π×R,180)＝eq\f(π,2)，解得R＝2.(2)根據(jù)弧長公式得eq\f(n×π×1,180)＝eq\f(π,3)，解得n＝60，故扇形圓心角的大小為60°.方法總結(jié)：逆用弧長的計(jì)算公式可求出相應(yīng)扇形的圓心角和半徑．【類型三】求動點(diǎn)運(yùn)行的弧形軌跡如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC＝eq\r(3)，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由現(xiàn)在的位置向右無滑動地翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第3次落在直線l上時，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長為________(結(jié)果用含π的式子表示)．解析：點(diǎn)A第1次落在直線l上所經(jīng)歷的路線的長為一個半徑為2，圓心角為120°的扇形弧長，此后每落在直線l上一次，都會經(jīng)歷一個半徑長為2，圓心角為120°的扇形弧長和一個半徑為eq\r(3)，圓心角為90°的扇形弧長之和，故點(diǎn)A第3次落在直線l上所經(jīng)過的路線的長為三個半徑為2，圓心角為120°的扇形弧長與兩個半徑為eq\r(,3)，圓心角為90°的扇形弧長之和，即l＝3×eq\f(120π×2,180)＋2×eq\f(90π×\r(3),180)＝4π＋eq\r(3)π.故填(4＋eq\r(3))π.方法總結(jié)：此類翻轉(zhuǎn)求路線長的問題，通過歸納探究出這個點(diǎn)經(jīng)過的路線情況的規(guī)律，并以此推斷整個運(yùn)動途徑，從而利用弧長公式求出運(yùn)動的路線長．探究點(diǎn)二：與扇形面積相關(guān)的計(jì)算【類型一】求扇形面積一個扇形的圓心角為120°，半徑為3，則這個扇形的面積為________(結(jié)果保留π)．解析：把圓心角和半徑