圖形與幾何教學(xué)策略初探資料

小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)策略初探“圖形與幾何”這個內(nèi)容是幫助學(xué)生生存并促進其發(fā)展的重要基礎(chǔ)，是幫助學(xué)生形成創(chuàng)新意識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維所必須的土壤。。新課標在圖形與幾何領(lǐng)域有幾個核心概念。主要有空間觀念、幾何直觀、推理能力等?？臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。更直觀的理解如下圖：幾何直觀主要是指利用圖形的描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果，探索思路預(yù)測結(jié)果。案例：《打電話》如果你是老師，有件緊急的事情要通知給同學(xué)，用打電話的方式，每分鐘通知1人，給你3分鐘的時間，能使多少人收到通知？大膽的猜測一下。下面是學(xué)生借助圖形研究的例子。這些學(xué)生都能夠利用線段、點以圖形的形式，來描述打電話來通知這件事情，設(shè)計方案。通過這個數(shù)圖就把這個復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，很簡明很直觀的呈現(xiàn)出來，而且從這個圖本身，就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，就是一分鐘通知一個人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍，否則你算是算不出來，看圖就看出來了。通過線段、點，以及圖形，把通知過程很簡捷的表現(xiàn)出來，把它們之間的關(guān)系，揭示得非常清楚，這就屬于典型的幾何直觀，就是圖形直觀。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。圖形與幾何安排了四個板塊的內(nèi)容：圖形的認識、圖形的測量、圖形的運動、圖形的位置。下面我將從這四個板塊來進行一一說明。板塊一、圖形的認識——抽象圖形特征，發(fā)展空間觀念1、教材的編排體系：第一，現(xiàn)在的教材，在圖形的認識當中，是先講立體，再講平面，再回到立體。從歷史發(fā)展過程上看，實際上我們中國小學(xué)的傳統(tǒng)教材，最初是按點、線、面、體的邏輯關(guān)系講的。到了上個世紀90年代以后，義務(wù)大綱出現(xiàn)就發(fā)生變化了，先講立體以后再講平面，然后又回到立體。為什么當時要改？因為當時很多老師都反映，高年級孩子，對幾何立體圖形，本身的識圖的能力比較低，認識起來比較困難。這部分是個難點，分階段安排可以分散難點。第二，實際上一個人是生活在三維空間當中，一個嬰兒從出生落地，他所有接觸的東西，看到的東西，實際上都是體，他的奶瓶，他玩的積木都是體，住的大大樓里，所有東西都是體，在這個過程中兒童積累了很多立體的物體，因此所有的幾何體，都具有直觀的實物的模型的。那在這種情況之下，低年級孩子，剛開始初步的認識立體圖形是有可能的。所以一是有必要，二是有可能，再加上兒童的空間觀念的形成，必然是有一個長期的反復(fù)的積累的過程，不能一次到位。所以教材安排先講立體圖形，要求直觀認識，然后中間一段是平面圖形，最后再講立體圖形。現(xiàn)在教材也一樣，先講立體，后講平面，再回到立體，但這兩次講立體層次不同，第一次要求辨認，到第二學(xué)段要求是認識。也就是“立體－平面－立體”的混合螺旋編排結(jié)構(gòu)。通過圖形的認識教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念的策略：第一、通過對實物的觀察與操作認識圖形第一學(xué)段要求“能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體”、“通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征”；第二學(xué)段要求“結(jié)合實例了解線段、射線和直線”、“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系”等，這些要求的共同特點是通過觀察與操作認識圖形，直觀地、整體地認識立體圖形和平面圖形。從對實物的觀察與操作過程中來認識圖形的特征和性質(zhì)，既符合學(xué)生認識事物的規(guī)律，也符合數(shù)學(xué)課程的目標要求。這樣的過程有助于學(xué)生發(fā)展能力，初步體會數(shù)學(xué)的思想方法，發(fā)展積極的情感與態(tài)度。人們生活在三維的空間中，常見的樓房、積木、各種包裝盒、皮球…都給我們以長方體、正方體、圓柱體、球體等直觀形象?；谶@樣的生活經(jīng)驗，學(xué)生可以從認識立體圖形開始，“通過實物和模型等辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體”?！氨嬲J”是認識的低級階段，但與以往的經(jīng)驗有所不同，它要經(jīng)歷從實物到幾何圖形的抽象過程。從不同的角度觀察長方體、正方體、圓柱體、球的表面，抽象出長方形、正方形、圓等平面圖形。像這樣從具體到抽象，從實物到圖形，從整體到局部的安排，揭示了立體圖形與平面圖形的關(guān)系，也符合學(xué)生的認知特點。第二學(xué)段要求“結(jié)合實例了解線段、射線和直線”、“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系”。射線和直線涉及到了無限的概念，與長方體、正方體、長方形、正方形等相比，在現(xiàn)實中沒有“直線”的實物原型，這就需要學(xué)生進行抽象與想象。認識線段要容易一些，因為現(xiàn)實生活中有“線段”的實物原型。類似的，學(xué)生理解兩條直線平行的位置關(guān)系也比較困難，可以利用兩根鐵軌作為實物原型來描述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實，都揭示了平行線的本質(zhì)，但鐵軌無法總是筆直的延伸，所以在從實物到幾何圖形的抽象過程中還需要想象，這有助于學(xué)生發(fā)展抽象能力和空間觀念。第二、基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)換，發(fā)展空間觀念教材安排了“視圖和投影、展開與折疊”等內(nèi)容。第一個學(xué)段的要求是根據(jù)具體事物照片或直觀圖，辨認從不同角度觀察到的簡單物體的形狀，這是辨認。很多教材里面是這樣，有的是拿個實物，有的是拿熊貓玩具等，讓孩子們從各種角度去看，看的時候，孩子們就發(fā)現(xiàn)，不同角度看到的熊貓不一樣。第二個學(xué)段的要求能辨認從不同方向，方向是從前面、側(cè)面或者上面來觀察，從不同方向看到物體的形狀圖，這個形狀圖實際上就是一個平面圖，就是從水平方向?qū)ξ矬w所做的一個投影，也就是拍照。例如拍照的結(jié)果，雖然不是真正意義上的視圖，但是它的確實現(xiàn)了，把三維空間向二維空間的一個轉(zhuǎn)化的過程?！罢郫B”和“展開”，過去教材也有，長方體、正方體、圓柱體的展開圖。但是這個做法現(xiàn)在要加強，而且在進行折疊和展開當中，操作過程，必須要通過兒童的想象，這個過程本有什么實際意義呢？這是讓孩子們認識到，立體圖形的結(jié)構(gòu)和展開圖之間的這種對應(yīng)關(guān)系。怎么讓他來認識這個對應(yīng)關(guān)系呢？例如，“正方體展開圖”課例。通過課例可以看到，孩子可以折一折，通過操作找到結(jié)果；也可以不折，先想一想，我們提倡先想象，再動手驗證，這樣有利于發(fā)展學(xué)生的空間想象力，促進空間觀念的形成。讓學(xué)生操作的時候，它不是一個簡單的操作，首先得想象一下，可能會是什么樣子，然后再通過操作，去驗證自己的想法，而這個過程，學(xué)生參與這個想象，包括動手操作，包括把這個過程表現(xiàn)出來，是非常重要的。讓學(xué)生的這種想象也好，操作也好，實際上進一步理解，我們講三維和兩維之間的這樣一種關(guān)系，就是你講的對應(yīng)關(guān)系，是經(jīng)歷了下面過程?！罢J識長方體、正方體和圓柱的展開圖”，體現(xiàn)了三維圖形與二維圖形之間相互轉(zhuǎn)換的具體要求，目標是在圖形轉(zhuǎn)換中引導(dǎo)學(xué)生觀察、抽象、想象，發(fā)展空間觀念。教學(xué)中應(yīng)注重展開與折疊的操作過程，通過想象實現(xiàn)圖形之間的轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生記憶展開圖的數(shù)量或類型的做法是不可取的。認識圖形過程中大量的操作性活動，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生空間觀念教學(xué)中應(yīng)當予以充分的重視。板塊二、圖形的測量——滲透度量意識，掌握測量方法這個內(nèi)容的安排有兩個要點（一）使學(xué)生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性在教學(xué)長度單位的認識時，經(jīng)常有老師問為什么要講統(tǒng)一單位？原來的教學(xué)中學(xué)生就是直接認識長度單位，學(xué)習(xí)度量單位有什么價值？下面以人教版教材為例談一談：二年級學(xué)生第一次學(xué)習(xí)長度單位，教材呈現(xiàn)的例1，并沒有上來就認識厘米，而是創(chuàng)設(shè)了一個活動的情境：讓學(xué)生測量數(shù)學(xué)書封面，有的學(xué)生用兩個硬幣或者兩個三角形，兩個曲別針進行測量。這個活動使學(xué)生感受用不同的測量工具，測量出不同的物體長度。然后例2是開始學(xué)習(xí)厘米的認識。《標準》在第一學(xué)段要求“結(jié)合生活實際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性?！边@種要求對面積、體積的單位也同樣適用。度量單位是度量的核心，建立標準度量單位，有助于學(xué)生從知識本身的邏輯體系出發(fā)，對建立標準單位的意義有客觀地認識。教材這樣編排，不僅突出了統(tǒng)一單位的重要性，也體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，揭示了度量單位是怎么發(fā)生發(fā)展，又是怎么推動社會的前進的。讓學(xué)生體會建立統(tǒng)一的度量單位的重要性，不僅要在長度的測量中給予關(guān)注，在面積和體積的測量中，仍要讓學(xué)生去感受。（二）使學(xué)生理解與把握度量單位的實際意義，對測量結(jié)果有很好的感悟單位不僅僅是一個抽象的概念，對它的體會和認識應(yīng)當通過實踐活動，體驗它的實際意義。例如，生活中哪些物體的長度大約為1米，1厘米的長度可以用什么熟悉的物體來估計，哪些物體的重量大約是1千克，哪些物體的體積大約是1立方米等。對單位的實際意義的理解，還體現(xiàn)在對測量結(jié)果、對量的大小或關(guān)系的感悟。關(guān)于對度量單位的認識，要結(jié)合實際例子體會度量單位的大小，比如，一個成人的身高為175（），應(yīng)當選擇cm而不是mm作為單位，這是對認識長度單位地深化理解。二、教學(xué)策略1.以圖形測量公式推導(dǎo)為載體，讓學(xué)生在操作、實踐中感悟“轉(zhuǎn)化”、“極限”、“函數(shù)”和“積分”的數(shù)學(xué)思想。在直邊圖形公式的推導(dǎo)過程中，教師經(jīng)常讓學(xué)生利用學(xué)具進行操作活動，將新圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的已知圖形，從而找到新舊兩個圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，推導(dǎo)出計算公式，在這個過程中巧妙地滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。圓是第一、二學(xué)段學(xué)習(xí)的平面圖形中唯一的一個曲線圖形，是學(xué)生第一次了解π這個無理數(shù),是學(xué)生第一次正式接觸并運用極限的數(shù)學(xué)思想來解決曲線的長度和圓形的面積等問題，因此對圓的周長以及面積的探索具有一定的挑戰(zhàn)性，這個過程的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會”轉(zhuǎn)化”、“極限”和“函數(shù)”的思想。案例1：圓的周長公式的推導(dǎo)化曲為直--------轉(zhuǎn)化思想我們只需得到圓的周長和直徑有什么關(guān)系就可以了，那么我們又該怎樣研究周長與直徑的關(guān)系呢？老師給每組同學(xué)準備了不同的實物：有圓紙片、紙杯或硬幣。拿出來，就你們小組的實驗材料，誰來說說怎樣得到我們所需要的數(shù)據(jù)（尤其是周長的數(shù)據(jù)）？（討論）為什么要繞線？為什么要滾動？（化曲為直）活動二：在圓的周長教學(xué)中，向?qū)W生介紹“割圓術(shù)”，讓學(xué)生經(jīng)歷正多邊形到圓的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察體驗，隨著邊數(shù)越來越多，正多邊形越來越像圓，感受極限思想。然后又化曲為直：割之彌補，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?；顒尤簻y量尋找周長與直徑的關(guān)系-------函數(shù)思想在測量圓的周長和直徑填寫數(shù)據(jù)的過程中，感受直徑變，圓的大小變，周長也隨之變化，而它們的倍數(shù)關(guān)系不變，從而讓學(xué)生體會到函數(shù)思想。通過課件形象直觀的演示周長和直徑的關(guān)系，體會函數(shù)思想。策略2、以多媒體課件為載體形象直觀的演示，培養(yǎng)學(xué)生的猜測與推理能力以及空間想象能力。案例2：平行四邊形的面積公式的推導(dǎo)通過以上案例地分析，可以看出，數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是基礎(chǔ)知識的靈魂，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過猜測---思考—驗證數(shù)學(xué)思想。同時組織學(xué)生進行大量的操作性活動，有利于學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。這一板塊的教學(xué)以往有這樣的誤區(qū)，就是將主要精力放在套用公式進行計算上，以至于將這部分內(nèi)容簡單地處理為計算問題。實際上，對于規(guī)則圖形周長、面積和體積公式的探索和應(yīng)用，不僅有利于學(xué)生靈活運用多種策略和方法解決實際問題，并且對于學(xué)生認識圖形的特征和圖形間的相互關(guān)系，發(fā)展空間觀念也是大有好處的。板塊三、圖形的運動——體會研究方法，增加直觀能力一、圖形的運動的學(xué)習(xí)價值：運動是世間萬物的基本特征，是物質(zhì)存在的基本形式。所謂圖形的運動，在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中最基本的形式有兩種：一是形狀和大小不變，僅僅位置發(fā)生變化（合同運動）；二是形狀不變而大小變化（相似運動）。1.從學(xué)生角度來看現(xiàn)實生活中存在著大量的圖形的變換的現(xiàn)象，學(xué)生有豐富的生活經(jīng)驗，例如，電梯、地鐵列車在平行移動；鐘面指針、自行車輪、電風(fēng)扇葉片在旋轉(zhuǎn)運動；許多年畫、卡通動物、建筑物的形狀具有對稱性。這些現(xiàn)象為兒童學(xué)習(xí)圖形的變換提供了豐富多彩的現(xiàn)實背景。我們希望提供給學(xué)生一種數(shù)學(xué)的眼光，去認識和把握這些現(xiàn)象。通過圖形的運動探索發(fā)現(xiàn)并確認圖形的一些性質(zhì)，有助于學(xué)生發(fā)展幾何直觀能力和空間觀念，有利于學(xué)生提高研究圖形性質(zhì)的興趣、體會研究圖形性質(zhì)可以有不同的方法。2．從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來看1872年，德國大數(shù)學(xué)家克萊茵發(fā)表“愛爾蘭根綱領(lǐng)”的演說，這個里程碑式的論斷，改變了近兩千年來人們用靜止的觀點研究幾何的傳統(tǒng)方法。與靜態(tài)地研究圖形與幾何的性質(zhì)不同，圖形的變換是從運動變化的角度去探索和認識圖形與幾何的性質(zhì)，欣賞與設(shè)計圖案。是發(fā)展學(xué)生空間觀念和思維能力的重要內(nèi)容。二、“圖形的運動”內(nèi)容常用的教學(xué)策略：策略一：結(jié)合生活實例，在觀察與比較中認識圖形的運動新課標要求課程內(nèi)容要反映社會的需要，數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，也要符合學(xué)生的認知規(guī)律。課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生實際，有利于學(xué)生體驗、思考與探索。因為兒童的抽象思維需要具體形象思維與生活經(jīng)驗給與支撐，對感知圖形運動這樣抽象概念來說尤其重要。小學(xué)階段關(guān)于圖形的圖形的運動定位在積累感性體驗，形成初步認識。因此結(jié)合實例展開教學(xué)是一條相當重要的教學(xué)策略。在生活中有很多圖形或圖案呈現(xiàn)出對稱、平移或旋轉(zhuǎn)的形式，通過對稱、平移、旋轉(zhuǎn)變換同樣可以設(shè)計制作美麗的圖案。因此，在教學(xué)中，多收集一些這樣的素材，通過學(xué)生的觀察、比較，引導(dǎo)學(xué)生從運動變化的角度去發(fā)現(xiàn)不同的圖形變換。例如，教學(xué)“圖形的變換”時豐富教材中的典型素材，注意融入了像道閘，車輪，鐘擺等素材并利用信息技術(shù)動態(tài)呈現(xiàn)，讓學(xué)生進一步感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。在教學(xué)“軸對稱變換時”，借助一組學(xué)生在生活中喜聞樂見的民族特點濃厚的素材。這樣做，一方面有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形運動的興趣，另一方面使學(xué)生進一步體會到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的概括能力。策略二：借助操作活動，加深對圖形運動的認識，幫助學(xué)生體會變換的特征策略三：注重從變換的角度，引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖形、設(shè)計圖案策略四：在解決問題中注重“圖形的運動”和相關(guān)知識的聯(lián)系，發(fā)展空間想象力和解決問題的能力總之，小學(xué)階段有關(guān)圖形的運動的目標的達成是一個循序漸進的過程，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該注重多種策略的運用，并以圖形的運動教學(xué)為載體，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，發(fā)展空間觀念。板塊四、圖形的位置——發(fā)展空間觀念，提高推理能力第一、二學(xué)段“圖形與位置”的內(nèi)容是按兩條線索展開的：一是確定物體的相對位置；二是辨認方向和使用路線圖。（如下圖）把“圖形與位置”的教學(xué)內(nèi)容分成“確定物體的相對位置”、“辨認方向與使用路線圖”兩部分，可以讓我們看出兩方面內(nèi)容是有區(qū)別的。但是它們并非截然分開，而是有聯(lián)系的，無論是上下、前后、左右，還是東、南、西、北，都既可以用來描述物體的相對位置，又可以用來說明方向。例如，“把數(shù)學(xué)書放在作業(yè)本的上面”、“電梯上行”，前者表示相對位置，后者表示方向。圖形與位置”常用的教學(xué)策略：1.充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗。案例一：五年級《用數(shù)對確定位置》教學(xué)前測測試問題：請你在紙上描述出你們班長的位置。下面是學(xué)生的幾種做法：①文字敘述班長的位置班長的位置是第三排第四個班長的位置是第三列第四個班長在從窗戶數(shù)的第三排第四個。從門這邊數(shù)第五組的第四個是班長②畫圖表示班長的位置③還有一個孩子談到了，班長在我的斜后方第