人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 24.31 弧長及扇形的面積（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

專題24.31弧長及扇形的面積（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．已知扇形的半徑為6，圓心角為20°，則扇形的面積為（）A． B． C． D．2．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則的長為（

）A．6π B．2π C．π D．π3．若扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為（

）A． B．6 C．12 D．4．如果一弧長是其所在圓周長的，那么這條弧長所對的圓心角為（

）A．15度 B．16度 C．20度 D．24度5．如圖是邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則頂點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長為（

）A． B． C． D．6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=2，在以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB所在直線為x軸建立的平面直角坐標(biāo)系中，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至y軸正半軸上的A′處，則圖中陰影部分面積為（）A．－2 B． C． D．－27．如圖，在扇形中，∠，，則陰影部分的面積是（

）A． B．C． D．8．如圖，正方形中，分別以，為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的面積為（

）A． B． C． D．9．如圖，在邊長為6的正方形中，以為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（

）A．9 B．6 C．3 D．1210．如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩條竹條AB、AC的夾角為120°，AB長為30cm，AD＝10cm，貼紙部分的面積為（）A．πcm2 B．πcm2 C．800πcm2 D．500πcm2二、填空題11．已知扇形的圓心角的度數(shù)是120?，半徑為9，則此扇形弧長是______．12．在活動(dòng)課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計(jì)風(fēng)車．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點(diǎn)通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為_____．（結(jié)果保留π）13．如圖，與軸相切，與軸相交于點(diǎn)，．（1）的半徑______；（2）扇形的面積為______．14．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________．15．如圖．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以點(diǎn)B為圓心，BC的長度為半徑畫孤，交AB于點(diǎn)E；以點(diǎn)A為圓心，AE的長度為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)F．則圖中陰影部分的面積為______．（結(jié)果保留）16．如圖，用一個(gè)半徑為6cm的定滑輪拉動(dòng)重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與輪滑之間沒有滑動(dòng)，則重物上升了_________cm．（結(jié)果保留）17．如圖，線段AB與AC是⊙O的兩條弦，且AB＝AC，∠ABC＝75°，BC＝4，則圖中陰影部分的面積是_____．18．如圖，在矩形中，，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，線段掃過的面積為___________．三、解答題19．如圖，點(diǎn)A，B，C在直徑為2的⊙O上，∠BAC＝45°．(1)求弧BC的長度；(2)求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果中保留π）20．如圖,在⊙O中,AB、CD是兩條弦,⊙O的半徑長為rcm,弧AB的長度為cm,弧CD的長度為cm(溫馨提醒:弧的度數(shù)相等,弧的長度相等,弧相等,有聯(lián)系也有區(qū)別)當(dāng)=時(shí),求證:AB=CD21．如圖，△ABC中，∠C=90°．(1)將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB1C1；（不寫畫法，保留畫圖痕跡）(2)若AB=10，BC=6，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長．22．如圖，一根長的繩子，一端拴在柱子上，另一端拴著一只羊（羊只能在草地上活動(dòng)），請畫出羊的活動(dòng)區(qū)域．23．如圖Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB上，以AE為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D．(1)求證：直線BC是⊙O的切線．(2)若AC=6，∠B=30°，求圖中陰影部分的面積．24．如圖，在△ABC中，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的⊙O與邊BC交于點(diǎn)E，圓心O在BC上，過點(diǎn)O作OD⊥BC交⊙O于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)F，且AC＝FC．（1）試判斷AC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若FC＝，CE＝1．求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．參考答案1．D【分析】根據(jù)扇形的面積公式即可得．解：扇形的半徑為6，圓心角為，扇形的面積為，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了扇形的面積，熟記公式是解題關(guān)鍵．2．D【分析】先根據(jù)圓周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半徑OB，再根據(jù)弧長公式求出答案即可．解：∵直徑AB=6，∴半徑OB=3，∵圓周角∠A=30°，∴圓心角∠BOC=2∠A=60°，∴的長是=π，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了弧長公式和圓周角定理，能熟記弧長公式是解此題的關(guān)鍵，注意：半徑為r，圓心角為n°的弧的長度是．3．B【分析】根據(jù)弧長公式可以求得該扇形的半徑的長度．解：根據(jù)弧長的公式，知=6，即該扇形的半徑為6．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了弧長的計(jì)算．解題時(shí)，主要是根據(jù)弧長公式列出關(guān)于半徑r的方程，通過解方程即可求得r的值．4．C【分析】根據(jù)弧長公式和圓的周長公式的關(guān)系即可得出答案解：∵一弧長是其所在圓周長的，∴∴∴這條弧長所對的圓心角為故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了弧長的計(jì)算，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=，頂點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑為弧，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得弧所對的圓心角為60°，然后根據(jù)弧長公式求解．解：BC==，所以頂點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長=．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了弧長公式．6．C解：試題分析：陰影部分的面積等于扇形ABA′的面積+Rt△A′C′B的面積－Rt△ABC的面積－扇形BCC′的面積.考點(diǎn)：面積的計(jì)算.7．D【分析】利用陰影部分的面積等于扇形面積減去的面積即可求解.解：=故選D【點(diǎn)撥】本題主要考查扇形面積和三角形面積，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.8．B【分析】由圖可知，樹葉形圖案的面積是兩個(gè)圓心角為90°，且半徑為a的扇形的面積與正方形的面積的差，可據(jù)此求出樹葉形圖案的面積．解：樹葉形圖案的面積為：．故選：B．【點(diǎn)撥】本題利用了扇形的面積公式，正方形的面積公式求解，得出樹葉形圖案的面積等于是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】設(shè)AC與半圓交于點(diǎn)E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，證明BE=CE，得到弓形BE的面積=弓形CE的面積，則．解：設(shè)AC與半圓交于點(diǎn)E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OCE=45°，∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE=45°，∴∠EOC=90°，∴OE垂直平分BC，∴BE=CE，∴弓形BE的面積=弓形CE的面積，∴，故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了求不規(guī)則圖形的面積，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】貼紙部分的面積為大扇形面積減去小扇形面積，根據(jù)扇形面積公式解答．解：貼紙部分的面積為（cm2），故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查扇形的面積，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．11．6π【分析】根據(jù)扇形的弧長公式計(jì)算即可．解：∵圓心角的度數(shù)是120?，半徑為9，∴扇形的弧長為：．故答案為：6π．【點(diǎn)撥】本題考查扇形的弧長公式，解題關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式．12．【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑是圓弧，根據(jù)直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，易知AB=4，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圓弧的長度即可．解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，∴B點(diǎn)通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圓弧的求法，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．13．

2；

##【分析】作AF⊥BC，假設(shè)⊙A與x軸相切于E點(diǎn)，連接AE，做BD⊥AE，利用垂徑定理的內(nèi)容得出BF=CF，進(jìn)而得出AD與半徑的關(guān)系，從而得出△ABC為等邊三角形，然后計(jì)算半徑，再利用扇形面積公式求出即可．解：作AF⊥BC，假設(shè)⊙A與x軸相切于E點(diǎn)，連接AE，BD⊥AE，假設(shè)AE=x，圖象與y軸相交于點(diǎn)B（0，1）、C（0，3），∴OB=DE=1，AD=x-1，∵AC=AB，AF⊥BC，∴BF=CF=1，∴AD=BF=1=x-1，解得：x=2，∴AB=BC=AC=2，△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴扇形BAC的面積=，故答案為：2；．【點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的判定方法以及扇形的面積求法等知識，利用已知得出BF=AD是解決問題的關(guān)鍵．14．

##【分析】根據(jù)弧長公式可求得的長；根據(jù)圖形可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．解：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．∴的長為:2π；∵AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，∴AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′，∴AB掃過的圖形的面積=．故答案為：2π；．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，弧長公式以及扇形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．15．##-5π+24【分析】利用分割法求解即可．解：在矩形ABCD中AB=6，BC=4，∴BE=BC=4，∴AE=AB-BE=6-4=2，∴S陰=S矩形ABCD-S扇形AEF-S扇形BEC=6×4-=24-5π，故答案為：24-5π．【點(diǎn)撥】本題考查扇形的面積，矩形的面積，明確S陰=S矩形ABCD-S扇形AEF-S扇形BEC是解題的關(guān)鍵．16．【分析】利用題意得到重物上升的高度為定滑輪中120°所對應(yīng)的弧長，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．解：根據(jù)題意，重物的高度為（cm）．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了弧長公式：（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．17．8【分析】如圖，連接OA，OB，OC，延長AO交BC于點(diǎn)H．根據(jù)S陰＝S△ABC﹣S△OBC+S扇形OBC，求解即可．解：如圖，連接OA，OB，OC，延長AO交BC于點(diǎn)H．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=OC=BC=4，∴OA=4，∵AB＝AC，∴，∴AO⊥BC，∴BH＝CH＝2，∴OH＝2，∴AH=4+2，∴S△ABC?BC?AH4×（4+2）＝8+4，S△OBC4，S扇形OBC∴S陰＝S△ABC﹣S△OBC+S扇形OBC＝8．故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理，求扇形面積，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得到S陰＝S△ABC﹣S△OBC+S扇形OBC是解題的關(guān)鍵．18．##【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得由銳角三角函數(shù)可求從而得出由扇形面積公式即可求解．解：∵矩形中，由旋轉(zhuǎn)可知，∵，∴∴線段AB掃過的面積故答案為：【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，扇形面積公式，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解此題的關(guān)鍵．19．(1)(2)【分析】（1）連接OB，OC．根據(jù)∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根據(jù)⊙O的直徑為2，可得OB＝OC＝1，即利用弧長公式即可求解答案；（2）根據(jù)∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根據(jù)OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面積和扇形OBC的面積，再根據(jù)S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解．解：（1）如圖，連接OB，OC．∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴；（2）∵∠BOC＝90°，∴△BOC是直角三角形，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴△BOC的面積為，∵，即S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理、弧長公式、扇形面積公式等知識，掌握圓周角定理證明出∠BOC＝90°是解答本題的關(guān)鍵．20．見分析【分析】利用弧長公式得出圓心角相等，再利用圓心角，弧，弦之間的關(guān)系即可證明.解：令∠AOB=α，∠COD=β.∵=∴∵AB和CD在同圓中，r1=r2∴α=β∴AB=CD【點(diǎn)撥】本題主要考查弧長公式及圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，掌握圓心角，弧，弦之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21．(1)見分析(2)【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)勾股定理知AC=8，再根據(jù)弧長公式計(jì)算可得．（1）解：點(diǎn)C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C1，點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)B1，連結(jié)AB1，B1C1，AC1如圖，△AB1C1為所畫三角形；；（2）解：在中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，∴．∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴．∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)及弧長公式．22．見分析【分析】根據(jù)題意畫出兩個(gè)扇形即可得到羊的活動(dòng)區(qū)域．解：如圖，以點(diǎn)O為圓心，5m長的繩子為半徑畫弧交草地左邊界于點(diǎn)A，交OD的延長線于點(diǎn)B，再以D為圓心，DB長為半徑畫弧交草地的右邊界于點(diǎn)C，則扇形AOB和扇形BDC部分即為羊的活動(dòng)區(qū)域．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、扇形面積，根據(jù)題意畫扇形是解決本題的關(guān)鍵．23．(1)見分析(2)陰影部分的面積為π-4．【分析】（1）連接OD，由AD平分∠BAC，可知∠OAD=∠CAD，易證∠ODA=∠OAD，所以∠ODA=∠CAD，所以O(shè)D∥AD，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，從而可證直線BC是⊙O的切線；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)可求出