杭州第二中學(xué)等四校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年第二學(xué)期四校聯(lián)盟期中考試試卷高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校?班級(jí)?姓名?試場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第I卷（選擇題）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.-1【答案】A【解析】【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，所以，解得，故選：A.2.已知等比數(shù)列的公比，前3項(xiàng)和為，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到，即可求出，從而求出.詳解】依題意，即，解得或，又，所以，所以.故選：D3.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于今年在杭州舉行.你在西湖邊遇到了志愿者裝扮的吉祥物“琮琮”?“蓮蓮”和“宸宸”.假如你要和三個(gè)吉祥物一起拍合照,且你不希望站在兩端,則共有()種不同的站法.A.24 B.18 C.12 D.9【答案】C【解析】【分析】利用間接法求解即可.【詳解】4人站成一排共有種排法,你站在左右兩端的排法有種,所以滿足題意的有種.故選:C.4.如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別為棱?中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離為.故選：B.5.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.一定有極大值B.當(dāng)時(shí)，有極小值C.當(dāng)時(shí)，可能無零點(diǎn)D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)含參討論函數(shù)的單調(diào)性，判定極值與最值即可.【詳解】由題意可得：，若，則恒成立，即在定義域上單調(diào)遞增，無極值，故A錯(cuò)誤；若，令，易得：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即有極大值，故B錯(cuò)誤；若，由上知在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故使得，故C錯(cuò)誤；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則由上可知①時(shí)，恒成立，滿足題意；②時(shí)，則，即，綜上可得，故D正確.故選：D6.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得表示直線上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離運(yùn)算求解.【詳解】已知圓的圓心為，半徑，由題意可知：直線過圓心，即，表示直線上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，故的最小值即為到直線的距離.故選：B.7.已知，則的大小為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而可得最大，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)比較的大小即可.【詳解】解：因?yàn)?，，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，，又因?yàn)?，所?故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于較復(fù)雜的對(duì)數(shù)、指數(shù)式的大小比較，通常構(gòu)造函數(shù)，利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性即可解答問題.8.已知雙曲線，以右頂點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上一點(diǎn)（不在軸上）處的切線與交于兩點(diǎn)，且為中點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求雙曲線的漸近線，利用雙曲線中點(diǎn)弦及切線斜率可得答案.【詳解】由題意得雙曲線漸近線，，圓，切點(diǎn)在雙曲線左支和右支之間，由對(duì)稱性，不妨設(shè)切點(diǎn)在軸上方；設(shè)，，，則，因?yàn)橹本€的斜率，所以切線斜率.因?yàn)棰?，②；②—①得，可得，所以，，，?又在圓上，所以.因?yàn)榍悬c(diǎn)在軸的上方，切線與雙曲線交于兩點(diǎn)，一條漸近線的斜率為，所以有，代入，可得，故，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是利用點(diǎn)差法找到半徑與的關(guān)系式；二是利用直線與雙曲線的位置關(guān)系確定的范圍.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和為32，則下列說法正確的是（）A. B.含的項(xiàng)系數(shù)為90C.第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為10 D.常數(shù)項(xiàng)為1【答案】AC【解析】【分析】用賦值法判斷A；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的定義判斷C；根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的公式判斷B，D.【詳解】解：對(duì)于A，將代入得，解得，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以的展開式中第項(xiàng)為：，所以當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，即常數(shù)項(xiàng)為-1，故錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A. B.是周期函數(shù)C.在單調(diào)遞減 D.【答案】ACD【解析】【分析】求出，分析得到和的周期性，然后利用導(dǎo)數(shù)法得到在單調(diào)性，最后通過證明得出.【詳解】定義域?yàn)椋?，?duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由于不是周期函數(shù)，不具備周期性，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞減.C正確；對(duì)于D，要證，即證.令，即證.當(dāng)時(shí)，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，.D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列滿足，其中是給定的實(shí)數(shù).設(shè)，以下判斷正確的是（）A.是等差數(shù)列B.C.的通項(xiàng)公式為D.數(shù)列的最小項(xiàng)是【答案】BCD【解析】【分析】先將條件變形得出的遞推公式，再利用累加法得出的通項(xiàng)公式，確定C正確,A錯(cuò)誤；根據(jù)的通項(xiàng)公式依次求出數(shù)列前三項(xiàng)，進(jìn)而求出，確定B正確；再根據(jù)數(shù)列單調(diào)性列出不等式組求解出最小項(xiàng)下標(biāo)，得出D正確.【詳解】由已知條件，得，即，所以，，…，，將這個(gè)式子左右兩邊分別相加可得，即，代入驗(yàn)證也符合，所以C正確；根據(jù)的通項(xiàng)公式依次求出數(shù)列前三項(xiàng)，，，顯然不是等差數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；再由，，得，同理根據(jù)，，得，所以B正確；設(shè)數(shù)列的最小項(xiàng)為，則，即，所以，解得，由于，，所以，即數(shù)列的最小項(xiàng)是.故選：BCD.12.二次曲線，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.曲線在處的切線為C.曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)D.曲線與圓有四個(gè)交點(diǎn)【答案】CD【解析】【分析】利用關(guān)于軸對(duì)稱的一般方法，設(shè)點(diǎn)為二次曲線上任意一點(diǎn)，分別將代入曲線方程，驗(yàn)證即可得出；聯(lián)立方程，判斷方程的解的個(gè)數(shù)，并結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系，即可判斷其交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)點(diǎn)為二次曲線上任意一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)代入曲線方程，得，所以點(diǎn)不在二次曲線上，所以曲線不關(guān)于軸對(duì)稱，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B，聯(lián)立方程，得到或，直線與二次曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)和，所以曲線在處不相切，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立方程，得到或，所以曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)和，故選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立方程，得到，即，所以，解得，當(dāng)時(shí)，直線過，又因?yàn)樵诘膬?nèi)部，所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線過，又因?yàn)樵趦?nèi)部，所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；所以兩條直線與圓有四個(gè)交點(diǎn)，曲線與圓有四個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是聯(lián)立兩個(gè)曲線方程，找到的線性關(guān)系，利用直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判定.第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，…，則第10條斜線上，各數(shù)之和為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)字之間的關(guān)系找到規(guī)律，然后進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閺纳贤旅織l線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，…，所以可以判斷從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)是它前兩個(gè)數(shù)的和，所以可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，因此第10條斜線上，各數(shù)之和為，故答案為：14.橢圓，直線與橢圓截得的弦的中點(diǎn)分別為，則橢圓的上頂點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】##【解析】【分析】利用條件直接求出，進(jìn)而求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性知，和直線的交點(diǎn)的中點(diǎn)為，設(shè)與橢圓的交點(diǎn)為，由，消去得到，即，由韋達(dá)定理得，所以，所以，所以直線的方程為，又上頂點(diǎn)為，所橢圓的上頂點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：.15.從1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4個(gè)不同的數(shù)，分別記作，若和的奇偶性相同，則的取法共有__________種（用數(shù)字作答）.【答案】912【解析】【分析】分類討論兩組數(shù)的奇偶性即可.【詳解】若和都是奇數(shù)，則為一奇一偶，也一奇一偶，有種取法；若和都是偶數(shù)，則有以下兩種情況：①兩奇（偶）數(shù)，兩奇（偶）數(shù)，有種取法；②兩奇（偶）數(shù)，兩偶（奇）數(shù)，有種取法；共計(jì)576+48+288=912種取法.故答案為：91216.已知不等式恒成立，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】通過同構(gòu)，令，利用其單調(diào)性得到區(qū)間上恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化成恒成立問題，再令，通過求出的最小值，從而求出結(jié)果.【詳解】易知，由，得到，即，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到在區(qū)間上恒成立，令，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以，得到，又，所以，故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.設(shè)數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足，.（1）求、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出等比數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以，對(duì)任意的，.設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，，因此，.【小問2詳解】解：因?yàn)?，所以，，，兩式相減：，于是.18.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（2）利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間和極值，由此求得的取值范圍.小問1詳解】依題意，，，所以，又，所以切線方程為.【小問2詳解】因?yàn)椋裕寒?dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減.所以在處取得極大值也即是最大值，對(duì)于函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的取值范圍是.19.為了保證我國(guó)東海油氣田海域的海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺(tái)的正東方向設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)站和（點(diǎn)在點(diǎn)?點(diǎn)之間），它們到平臺(tái)的距離分別為1海里和4海里，記海平面上到兩觀測(cè)站的距離之比為的點(diǎn)的軌跡為曲線，規(guī)定曲線及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)（如圖）.（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，1海里為單位長(zhǎng)度，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線的方程；（2）海平面上有巡航觀察點(diǎn)可以在過點(diǎn)垂直于的直線上運(yùn)動(dòng).（i）若為的中點(diǎn)，求的最小值；（ii）過作直線與曲線相切于點(diǎn).證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）（i）3；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)出，由直接法得到軌跡方程；（2）（i）結(jié)合第一問中，數(shù)形結(jié)合得到的最小值；（ii）設(shè)，，考慮斜率不存在和存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)得到過點(diǎn)的切線方程，代入后得到，同理得到，故得到直線的方程為，過定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線的方也過點(diǎn)，得到答案,【小問1詳解】設(shè)，則由題意，根據(jù)題意可知，，，故曲線的方程為：；【小問2詳解】（i）直線的方程為.若為的中點(diǎn)，則，，當(dāng)三點(diǎn)共線且重合時(shí)，的最小值為；（ii）設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，斜率不存在，此時(shí)過點(diǎn)的切線方程為或，不妨設(shè)切線方程為，此時(shí)，故，設(shè)過的另一條切線方程為，則，解得，解得，聯(lián)立與，解得，此時(shí)直線為，整理得，當(dāng)時(shí)，斜率為0，此時(shí)過點(diǎn)的切線方程為，此時(shí)與直線無交點(diǎn)，不合要求，當(dāng)且時(shí)，，則過點(diǎn)的切線方程為，整理得，即，因?yàn)?，故切線方程為，因?yàn)樵谇芯€方程上，故，設(shè)，同理可得，則直線的方程為，過定點(diǎn)，顯然也過點(diǎn)，過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】?jī)?nèi)容點(diǎn)睛：過圓上一點(diǎn)的切線方程為：，過圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為：.過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，過雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為20.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，梯形底面，.設(shè)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角余弦為，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）不存在這樣符合條件的點(diǎn)，理由見解析【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，即可得到，再證明，即可得到平面，最后由，即可得證；（2）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，則共面又，所以；由底面是菱形，，所以為正三角形，所以，又，平面，所以平面，又，，所以，所以平面.【小問2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫?，平面平面，所以平面，則以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，設(shè)，則，，設(shè)平面法向量,由，則，則,所以，整理得，由，所以方程無實(shí)數(shù)根，故不存在這樣符合條件的點(diǎn).21.已知是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，.（1）求的方程；（2）設(shè)，直線與交于，若的重心在上，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）是拋物線上一點(diǎn)，到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相等，列等式算出，可得拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦第公式表示出面積，利用的重心在上進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)算式判斷最大值.【小問1詳解】是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，，所以到準(zhǔn)線的距離，解得，拋物線方程為：【小問2詳解】設(shè)直線，F(xiàn)，E為AN，BN中點(diǎn)，D為的重心，如圖所示，由，得到，則，設(shè)重心為，則，重心在上，