四川省宜賓市興文縣興文第二中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)（文）試題

興文二中高2021級高三一診模擬考試數(shù)學(xué)（文史類）本試卷共4頁，23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，用補集和交集的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】因為集合，所以．又，所以．故選：A．2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】進行分母有理化，利用共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題知，.所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為：.故選：A.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的周期與奇偶性，綜合即可得答案【詳解】對于A，是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)，則A錯誤；對于B，為周期為的函數(shù)，但不是偶函數(shù)，則B錯誤；對于C，既不是偶函數(shù)也不是周期函數(shù)，則C錯誤；對于D，，即為周期為的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，則D滿足.故選：D.4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B.8 C.32 D.【答案】C【解析】【分析】由三視圖可知，幾何體為斜棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)利用棱柱體積公式計算體積.【詳解】由幾何體的三視圖可知幾何體的直觀圖如下：圖形為底面是矩形的斜棱柱，底面矩形長為4寬為2，棱柱的高為4，所以幾何體的體積為．故選：C5.已知，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】分子分母同時除以進行弦切互化即可求解.【詳解】由題知，，則.故選：C.6.若函數(shù)是奇函數(shù)，則=（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)是奇函數(shù)，則構(gòu)造方程，解得的值.【詳解】解：因為函數(shù)是奇函數(shù)所以即得故選：【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中根據(jù)定義域為的奇函數(shù)圖象必要原點，構(gòu)造出一個關(guān)于的方程，是解答本題的關(guān)鍵．7.某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程y與時間t的函數(shù)圖象如圖.記該車在時間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，則平均速度最小的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均速度的定義和兩點求斜率公式，可得平均速度為經(jīng)過兩點所對應(yīng)直線的斜率，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由題意知，汽車在時間的平均速度大小分別為，設(shè)路程y與時間t的函數(shù)關(guān)系為，則，即為經(jīng)過點的直線的斜率，同理為經(jīng)過點的直線的斜率，為經(jīng)過點的直線的斜率，為經(jīng)過點的直線的斜率，如圖，由圖可知，最小，即最小.故選：C.8.如圖，正方體的棱長為1，O是底面的中心，則點O到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分析可得，要求的到平面的距離，就是到平面的距離的一半，就是到的距離的一半，計算可得答案．【詳解】因為是的中點，求到平面的距離，就是到平面的距離的一半，就是到的距離的一半．所以，連接與的交點為，則的距離是到平面的距離的2倍，到平面的距離：.故選：B.9.濟南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國務(wù)院列為全國重點文物保護單位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特點之一就是窗門處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如圖2，和所在圓的圓心都在線段AB上，若，，則的長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過作，設(shè)圓弧AC的圓心為O，半徑為，則，表示出，由求出，再進一步求出，即可求出答案.【詳解】過作，設(shè)圓弧AC的圓心為O，半徑為，則，在中，，所以，，所以在直角三角形中，，所以，所以，而，所以，所以.故選：A.10.已知三棱錐底面ABC是邊長為2的等邊三角形，頂點S與AB邊中點D的連線SD垂直于底面ABC，且，則三棱錐S－ABC外接球的表面積為（）A. B. C.12π D.60π【答案】B【解析】【分析】由題意畫出圖形，找出四面體外接球的球心，求解三角形可得外接球的半徑，代入球的表面積公式求解即可.【詳解】如圖：設(shè)底面正三角形的外心為，三角形的外心為，分別過、作所在面的垂線相交于，則為三棱錐外接球的球心，再設(shè)底面正三角形外接圓的半徑為，則.由已知求得，可得也為邊長是的正三角形，所以外接圓的半徑為，則.所以三棱錐外接球的半徑滿足：.則三棱錐外接球的表面積為.故選：B.11.在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，則的值為（）A.2023 B.2022 C.2021 D.2024【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，利用余弦定理得到，再利用三角恒等變換，結(jié)合正弦定理求解.【詳解】解：因為，由余弦定理得，所以，所以，，，故選：A12.已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的的零點，，，，且，則（）A.a取值范圍是(0,) B.的取值范圍是(0,1)C. D.【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有四個不同的交點，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想判斷各交點橫坐標(biāo)的范圍及數(shù)量關(guān)系，即可判斷各選項的正誤.【詳解】有四個不同的零點、、、，即有四個不同的解．的圖象如下圖示，由圖知：，所以，即的取值范圍是(0,＋∞)．由二次函數(shù)的對稱性得：，因為，即，故．故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷交點橫坐標(biāo)的范圍或數(shù)量關(guān)系.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知點在冪函數(shù)的圖象上，則的表達式是__．【答案】【解析】【分析】本題首先可根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)設(shè)為，然后帶入點，通過計算即可得出結(jié)果．【詳解】因為函數(shù)冪函數(shù)，所以設(shè)，因為點在冪函數(shù)的圖像上，所以，，即故答案為：．14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③，且定義域為實數(shù)集的函數(shù)__________.①最小正周期為2；②；③無零點.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)周期,對稱性,零點等性質(zhì)判斷寫出符合條件的一個函數(shù)即可.【詳解】的定義域為，最小正周期為，因為，所以，所以無零點，綜上，符合題意故答案為：.15.若，則的值為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式得出結(jié)果.詳解】由，得，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】.【解析】【分析】利用奇偶性及單調(diào)性去函數(shù)符號解一元二次不等式即可.【詳解】易知，且，即為奇函數(shù)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故為增函數(shù)，對于，所以，故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知是第二象限內(nèi)的角，（1）求的值；（2）已知函數(shù)，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及平方和關(guān)系即可求得，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式可計算出結(jié)果.（2）根據(jù)二倍角公式化簡可得，代入計算可求出答案.【小問1詳解】因為α是第二象限內(nèi)的角，即又，所以可得所以；即.【小問2詳解】易知，所以；即.18.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則t的取值范圍．【答案】（1）在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負區(qū)間，進而確定的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求導(dǎo)得到函數(shù)的極值點，利用極值點在區(qū)間（t，t＋1）內(nèi)可滿足條件，再建立不等式即可求解.小問1詳解】由題意知，由得x＝1或x＝3，時，；時，或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，【小問2詳解】由（1）函數(shù)f(x)的極值點為x＝1,3.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上不單調(diào)，所以或解得或，即t的取值范圍為19.在四棱錐PABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=2，DC=3，平面PDC⊥平面ABCD，E在棱PC上且PE=2EC．()證明：BE∥平面PAD；(1)若ΔPDC是正三角形，求三棱錐PDBE的體積．【答案】(1)見證明；(2)【解析】【分析】(1)作EF∥DC交PD于點F，連接AF，利用PE=2EC可得FE=2，再利用AB∥DC即可證得四邊形ABEF為平行四邊形，問題得證．(2)利用平面PDC⊥平面ABCD及AD⊥DC即可證得：AD⊥平面PDC，利用體積轉(zhuǎn)化可得：，再利用錐體體積計算公式即可得解．【詳解】(1)證明：作EF∥DC交PD于點F，連接AF，因為E在棱PC上且PE=2EC，所以FE=DC=2，又因為AB∥DC，AB=2，所以AB∥FE，且AB=FE，所以四邊形ABEF為平行四邊形，從而有AF∥BE又因為BE平面PAD，AF平面PAD，所以BE∥平面PAD(2)因為平面PDC⊥平面ABCD，且交線為DC，AD⊥DC，AD平面ABCD所以AD⊥平面PDC.因為PE=2EC所以即三棱錐PDBE的體積為．【點睛】本題主要考查了線面平行的證明，還考查了面面垂直的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力及錐體體積計算公式，屬于中檔題．20.從①；②條件中任選一個，補充到下面橫線處，并解答在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C對邊，.（1）求角A；（2）若外接圓的圓心為O，，求BC的長.注：如果選擇多個條件分別解答；按第一個解答計分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇條件①可以用正弦定理進行角化邊即可求解，選擇條件②利用輔助角公式進行三角恒等變換即可.（2）利用圓的角度關(guān)系和正弦定理即可求解.【小問1詳解】解：選擇條件①：因為，由正弦定理，可得，即，所以.因為，所以.選擇條件②：因為所以，即.因為所以所以，.【小問2詳解】由題意，O是外接圓的圓心，所以，所以故此.在中，由正弦定理，，即，解得.21.已知函數(shù)，．（1）若，求的最小值；（2）若當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最小值，（2）設(shè)，由題意對任意恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值大于零即可【小問1詳解】當(dāng)時，，所以，易知單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．【小問2詳解】設(shè)，由題意對任意恒成立．，若，則，則存在，使得當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，不符合題意．若，由知當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時，．綜上，的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，然后分和兩種情況利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，使其大于零即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思，屬于較難題（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中,曲線（t為參數(shù),且）,其中,在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線（Ⅰ）求與交點的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）若與相交于點A,與相交于點B,求最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】【詳解】（Ⅰ）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．聯(lián)立解得或所以與交點的直角坐標(biāo)為和．（Ⅱ）曲線的極坐標(biāo)方程為，其中．因此得到極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為．所