2021年滬教版數(shù)學(xué)必修二同步第18講 復(fù)數(shù)全章復(fù)習(xí)（練習(xí)）教師版

第18講復(fù)數(shù)全章復(fù)習(xí)（練習(xí)）

夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2020?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三期中）已知復(fù)數(shù)2=@+?（ad"）,則下面結(jié)論正確

的是（）

A.z=-a^i

B.|z|2l

C.z一定不是純虛數(shù)

D.在復(fù)平面上，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能在第三象限

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)基本概念逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【詳解】解：?.,znq+imeR）,,2=故A錯(cuò)誤；

\z\=yja2+i.A.故B正確；

當(dāng)。=0時(shí)，z為純虛數(shù)，故。錯(cuò)誤；

???虛部為1大于0,二在復(fù)平面上，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

2.（2020?上海高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)為=/一,，z2=-l+xi,XGR,若z1+z?為純虛

數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為（）.

A.-1B.0C.1D.1或一1

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【詳解】由Z1=1,z2=-l+xi,

22

貝ljz,+z2=x-z+（-l+xz）=x-1+（x-l）z,

x2—1=0

若4+Z?為純虛數(shù)，則〈，解得x=-l.

x—1#0

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的概念，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

3.（2020?上海市川沙中學(xué)高一期末）已知復(fù)數(shù)Z1=l+3i,Z2=3+i（i為虛數(shù)單位），

在復(fù)平面內(nèi)，4-Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的減法求出復(fù)數(shù)4-22,即可得出復(fù)數(shù)4-z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.

【詳解】:,復(fù)數(shù)Z1=l+3i,z2=3+z,Zj-z2=（l+3z）—（3+z）=—2+2z,

因此，復(fù)數(shù)4-Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，同時(shí)也考查/復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2021?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)高二期末）“0WaW4”是“實(shí)系數(shù)一元二次方程

x?+ox+a=0有虛根”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】。=0時(shí)，方程為丁=0,只有實(shí)根，無虛根，不充分，

一元二次方程/+以+。=0有虛根，則A=〃—4。＜0，0＜。＜4,是必要的，

因此是必要不充分條件.

故選：B.

5.（2021?上海市松江二中高二期末）設(shè)有下面四個(gè)命題：

（1）若復(fù)數(shù)z滿足則zeR；

Z

（2）若復(fù)數(shù)z滿足Z26R,則zeR；

⑶若復(fù)數(shù)z滿足zeR則NeR；

（4）若復(fù)數(shù)馬、Z2滿足ZKeR,則4=名.

則正確命題的個(gè)數(shù)為（)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)Z,依次表示出L,z2,Z|Z,,令虛部為0,即可判斷.

Z

1IZ-**1

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)Z=〃+初，則一=一1=一三)，對(duì)于(1),因?yàn)橐弧攴菜?/p>

za+bicr+bz

-b

2222

77^=o,z?=o,則z=aeR,故⑴正確;z=(a+bi)=a-b+2abi,因?yàn)?/p>

z2eR,所以ab=0,a=0或力=0，當(dāng)a=0力#0時(shí)，z=次為純虛數(shù)，故⑵不正確;

因?yàn)閦eR,所以方=0,z=a1=aeR,故(3)正確；設(shè)

zt=a+bi,z2=c+di,z]z2=(ac-bd)+(ad+bc)i,因?yàn)閆R?eR,所以加+慶=0,當(dāng)

Z2=-a+bi,顯然滿足條件，但z尸當(dāng)，故⑷不正確，所以正確命題的個(gè)數(shù)為2.

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、共輒復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

6.(2021?徐匯區(qū)?上海中學(xué)高二期末)函數(shù)〃x)=〃?廠'(”eN,i是虛數(shù)單位)的

值域可用集合表示為.

【答案】{1}

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可函數(shù)的值域.

【詳解】7(x)=廣?廠"=inJ‘3"(！[=廣.5=1,

I〃i

故答案為：{1}.

7.(2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二期末)設(shè)i為虛數(shù)單位，則」一的虛部是

2-z

【答案】|

【分析】利用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則化簡」一，再利用虛部的定義求解即可.

2-z

12+z2+z21.

【詳解】因?yàn)?=(2一以2+廣虧=丁丁

所以」一的虛部是

2-z5

故答案為：~.

8.(2021?上海楊浦區(qū)?復(fù)旦附中高二期末)若復(fù)數(shù)z滿足方程Z2+4=0,則Z=

【答案】±2i

【分析】首先設(shè)z=a+4,再計(jì)算z2,根據(jù)實(shí)部和虛部的數(shù)值，列式求復(fù)數(shù)..

［詳解］設(shè)z=a+初，則z2-a1-b2+2abi=-4.

a2-h2--4a=0

則《，解得：\所以z=±2i

ab=0b=+2

故答案為：±2i

2

9.(2021?寶山區(qū)?上海交大附中高二期末)復(fù)數(shù)——的虛部為

1-z

【答案】1

【分析】根據(jù)分母實(shí)數(shù)化，將分子分母同乘以分母的共舸復(fù)數(shù)1+i,然后即可判斷出復(fù)數(shù)

的虛部.

22(1+/)

【詳解】因?yàn)?；?7U~7,.'=］+"所以復(fù)數(shù)的虛部為1，

1-z(l-?)(l+z)

故答案為：1.

10.(2021?上海市奉賢中學(xué)高二期末)設(shè)復(fù)數(shù)z(l+3i)8=(3-4i)s滿足(『是虛數(shù)單位),

則|z|=.

【答案】得

【分析】由武1+3爐=(3—旬5可得z=^那，山慟=藍(lán)券="今可得答

案.

【詳解】由z(l+31)8=(3-4i)5可得z=,

55

所l?以,不（3-4薪z）=身|3-4z=|-存5=而5

故答案為：—

16

11.（2021?徐匯區(qū)?上海中學(xué)高二期末）已知復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=l,那么|z+20+i]

的最大值為.

【答案】4

【分析】由目=1,所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上，由卜+2及+，表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

與復(fù)數(shù)-20-i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M卜2枝,-1）之間的距離，根據(jù)圓的性質(zhì)可得答案.

【詳解】因?yàn)槟?1,所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上，

t+2及+，表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)-272—i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M（一2"-1）之間的距離，

而|?！眧=歷1=3.

所以「+2及+，的最大值為|0閘+「=|0射+1=4.

故答案為：4

12.（2021?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)高二期末）設(shè)z=-*—,其中i為虛數(shù)單位，則Imz=

2+i

【答案】-1

【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡得到z的代數(shù)形式，再根據(jù)定義即得結(jié)果.

55（2-/）5（2-/）

【詳解】因?yàn)閆=-----=7------77----r=—z__7_r=2-Z

2+i（2+/）（2-j）22-（-1）

所以Imz=—1.

故答案為：一1.

三、解答題

13.（2021?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)高二期末）已知復(fù)數(shù)Z1滿足（4-2）（l+i）=l-i（i為

虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)Z2的虛部為2,且Z/Z2是純虛數(shù)，求|Z2|.

【答案】75.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，先求出Z1,再山題意設(shè)出Z2,根據(jù)Z「Z2是純虛數(shù)，求出

Z2,進(jìn)而可求出IZ2I.

【詳解】

因?yàn)椋╖1_2）（l+i）=l_j,所以、_2=二=7（!：：）—；?=1+/_2i=_j,則

1+z+-ij2

4=2-i,

乂復(fù)數(shù)Z2的虛部為2,設(shè)Z2=a+2i（aeR）,

2

則z}z2-（2-i）（a+2i）=2a+4/-ai-2i-2a+2+（4-a）i,

12。+2=0

因?yàn)?/2是純虛數(shù)，所以，解得。=一匕即Z2=T+2i,

所以|Z2l=J（—iy+22=5

14.（2021?上海市松江二中高二期末）已知復(fù)數(shù)z=l—2i（i為虛數(shù)單位）.

（1）若z-z（）=2z+Zo，求復(fù)數(shù)z0的共鈍復(fù)數(shù)；

（2）若z是關(guān)于x的方程f一g+5=（）一個(gè)虛根，求實(shí)數(shù)〃?的值.

【答案】（1）2-1；（2）2.

【詳解】分析：（1）因?yàn)閦-zo=2z+zo,所以％=二，求出z。，即可得到Z。的共軌

z-1

復(fù)數(shù)；

（2）將z=l—2i代入方程/-皿+5=0,根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求求實(shí)數(shù)用的值.

詳解：（1）因?yàn)閦-Zo=2z+z（）,所以z0=2^.=豈1^竺=2+i,

所以復(fù)數(shù)z0的共規(guī)復(fù)數(shù)為2-i.

（2）因?yàn)閦是關(guān)于x的方程/7nx+5=0的一個(gè)虛根，

所以（1—2。，一加（1—2i）+5=0，即（2—m）+（2m—4）i=0.

乂因?yàn)榧邮菍?shí)數(shù)，所以m=2.

點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等的充要條件、共輾復(fù)數(shù)的定義，考查了計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

能力提升

一、單選題

1.(2021?上海市建平中學(xué)高二期末)已知復(fù)數(shù)z「Z2滿足|z「Z2|=r(r>0),復(fù)數(shù)

?,(14i4n,n&N*)滿足同一馬|=r或者同—I=r，且同一切Nr對(duì)任意

成立，則正整數(shù)n的最大值為()

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】用向量弧前表示MZ，根據(jù)題意，可得而一麗卜網(wǎng)=「，因?yàn)?/p>

|@-4='或者|用一22|=「，根據(jù)其幾何意義可得用的終點(diǎn)的軌跡，且滿足條件的終點(diǎn)

個(gè)數(shù)即為〃，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.

【詳解】用向量麗,而表示.Z，

因?yàn)殁瞑D22|=r(廠〉0),所以|礪-礪|=|麗卜r,

又ty,(l<i<n,n&N*)滿足同-zj=r或者同=r,

則與可表示以。為起點(diǎn)，終點(diǎn)在以力為圓心，半徑為「的圓上的向量，或終點(diǎn)在以8為圓

心，半徑為r的圓上的向量，則終點(diǎn)可能的個(gè)數(shù)即為〃，

因?yàn)橥坏鹕蠌V，所以在同一個(gè)圓上的兩個(gè)點(diǎn)，形成的最小圓心角為60°,

如圖所示，則最多有10個(gè)可能的終點(diǎn)，即爐10.

故選：C

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條件的幾何意義，得到用的終點(diǎn)軌跡，根據(jù)條件，數(shù)形結(jié)

合，即可得答案，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.

2.(2019?上海黃浦區(qū)?格致中學(xué)高三三模)已知zeC,i是虛數(shù)單位，I是z的共枕復(fù)

數(shù)，則下列說法與“z為純虛數(shù)”不等價(jià)的是

2

A.z<0B.z=|z|i或z=-|z|i,且|z|*O

C.Rez=O且ImzwOD.z+z=O

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念逐一判斷.

【詳解】A.若z為純虛數(shù)，則z=bi(beR且人卻)，那么z2=—02<o,故有若

Z2<0.則Z為純虛數(shù)，因此z2<0與"Z為純虛數(shù)”等價(jià)；B.令2=。+沅(a,bwR),

2222

|z|=\/a+b>由z=|z|i或z=一|z|i,得。=0，y]a+b=+b'又lz|w°，故

歷4),B正確；C.Rez=O且Imz#()與“z為純虛數(shù)”等價(jià)：D.若z=W=O,有

z+z=O.與“z為純虛數(shù)”不等價(jià)，故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)基本概念的辨析，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二期末)Z1、Z2是復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

2

A.若z；+z；>0,則z：>一z；B.|Z]-z2|=^(Z)+z2)-4z,-z2

C.z：+z；=()OZ]=z2=()D.|Z|2|=|Z||2

【答案】D

【分析】舉反例4=2+i,Z2=2-i可判斷選項(xiàng)A、B,舉反例4=1,Z2=i可判斷選項(xiàng)

C,設(shè)z=a+A,(a/wR),分別計(jì)算|z：|、即可判斷選項(xiàng)D,進(jìn)而可得正確選

項(xiàng).

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：取4=2+i,z2=2-/,z；=(2+i)2=3+2i,

2

z2—(2—z)=3-27,

滿足z：+z；=6>0,但z;與z?2是兩個(gè)復(fù)數(shù)，不能比較大小，故選項(xiàng)A不正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：取4=2+i,Z2=2-Z,|Z,-Z2|=|2Z|=2,

22

而^/（Z|+z2）-4z,-z2=^4-4（2+z）（2-z）=J16-20無意義，故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：取4=1,z2=z,則z；+z；=O,但是4力0,Z2^0,故選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)Z]=a+0i,（a,bGR）,則z；=（a+4）？=/一/+2“萬

|z,2|=y/（a2-b2）2+4a2b2=y/（a2+b2）2=〃+/，

z=2212

zt-a-bi>\i\V?+b,所以聞-a+h,所以|z；|=|『，故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

4.（2019?上海大學(xué)市北附屬中學(xué)高二期中）若a、匕為非零實(shí)數(shù)，則以下四個(gè)命題都成

立:①a②（a+b）-=/+2。6+/?2；③若時(shí)=網(wǎng)，則a=±"④若/=ab,則

a=b,則對(duì)于任意非零復(fù)數(shù)a、8上述命題中仍為真命題的個(gè)數(shù)為個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)，利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算法則，即可得出正確選項(xiàng).

【詳解】解：對(duì)于①，當(dāng)a=i時(shí)，?+-=0,即①不成立，

a

對(duì)于②，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，滿足乘法公式，即②在正確，

對(duì)于③，在復(fù)數(shù)。中，|1|=W，則。=11=，時(shí)，a^+b,即③錯(cuò)誤，

對(duì)于④，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則可得，若。2=昉，則。=加即④正確，

綜上可得上述命題中仍為真命題的序號(hào)為②④，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考杳了復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算法則，屬基礎(chǔ)題.

_1-z

5.（2020?上海高三專題練習(xí)）當(dāng)zu]?時(shí)，zi°°+z5°+l=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】D

【分析】根據(jù)zM+z5°+l的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，先由Z=/,得到z2=0；）=T，再代入

Zl°°+z5°+l求解.

1-z

【詳解】因?yàn)閆=Q

所以Z2="￡=T；

2

所以z.5°=(—爐=-/,ZIOO=(-/)50=(-Z)2=-1,

所z儂+z5°+l=—i，

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，還考查了周期性的應(yīng)用，運(yùn)算求解的能力，屬

于基礎(chǔ)題.

二、填空題

6.(2018?上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二期末)已知-l-=則|z+i|的取值范圍

是;

【答案】[逐-1,石+1]

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解，上一1一力=1表示復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)(1,1)距離為1的所有

復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，|z+i|表示復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)(0,-1)的距離，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可求范圍.

【詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)，自一1一4=1表示復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)(1,1)距離為1的所有復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)，即復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在以(1,1)為圓心，半徑為1的圓上；

|z+i|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)(0,-1)的距離，最小值為^(0-1)2+(-1-1)2-1=V5-1.

最大值為J(O一+(—1—1)2+1=75+1.所以|z+i|的取值范圍是-1,75+1].

故答案為：[逐-1,6+1].

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩

點(diǎn)之間的距離公式，若2=%+耳，則|z-a-可我示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(。,份之間的

距離，|z-a-初|=r裝示以(。,切為圓心，以r為半徑的圓上的點(diǎn).

7.(2019?上海黃浦區(qū)?格致中學(xué)高三三模)已知復(fù)數(shù)z=?*(x,y€R,i是虛數(shù)單位)

1+i1

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在第四象限，且|z|W&,那么點(diǎn)P(x,y)在平面上形成的區(qū)域面積等于

【答案】n

【分析】先把復(fù)數(shù)分母有理化，再根據(jù)z在第四象限和閉式夜，可得關(guān)于x,y的不等式

組，進(jìn)而可得點(diǎn)P在平面上形成的區(qū)域面積.

(x+y0

【詳解】由題得z=*=94迦，z在第四象限，則有三，整理得匕+［：］

i+i2-兀<0(%—y>U

2

%4-y>0

x-y>0

(“2j.”2V-4

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，如圖陰影部分:

則其面積S=-7T-22=7T.

4

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模，與線性規(guī)劃相結(jié)合，有一定綜合性.

8.(2021?上海市奉賢中學(xué)高二期末)復(fù)平面上點(diǎn)Z(a,b)對(duì)應(yīng)著復(fù)數(shù)Z=a+初以及向量

OZ=(a,b),對(duì)于復(fù)數(shù)4/2/3,下列命題都成立;①Z1+z?=z?+Z］；②

|z(+z2|<|zl|+|z2|；③卜］=上「；@1^-ZJI=IZJ-IZJ；⑤若非零復(fù)數(shù)4*2*3，滿足

Z|Z2=Z|Z3,則Z2=Z3.則對(duì)于非零向量西西，西仍然成立的命題的所有序號(hào)是

【答案】①②③

【分析】①根據(jù)平面向量加法交換律判定;

②結(jié)合平面向量加法運(yùn)算法則判定；

③由|0Z||=pz「oz[=|oz”判定；

④結(jié)合平面向量數(shù)量積判定；

⑤結(jié)合平面向量數(shù)量積判定.

【詳解】解：①鬲+運(yùn)=西+西成立，故①正確；

②由平面向量加法運(yùn)算法則可得I西+西k?西?+|阿?,故②正確；

③|西2卜]鬲.阿H西(成立，故③正確；

④|西?西卜\pz\-|oz；||cose\<\pz\?|西卜故④不成立，

⑤若非零向量藥，運(yùn)，藥，滿足鬲.西=西.西，

則|OZ|，OZ21cos4=|oZl|-|(?Z3|cos^2,則|。22卜05。|=|oZ3|cos^2,

所以|西|=|西|不?定成立，故⑤不成立.

故答案為：①②③

9.(2021?上海楊浦區(qū)?復(fù)旦附中高二期末)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足忖=1,且使得關(guān)于x的方程

2/+2羨+3=0有實(shí)根，則這樣的復(fù)數(shù)z的和為.

7

【答案】一一

4

【分析】首先設(shè)z=a+初(a,heR且/+/=1),代入方程，化簡為

(ar2+2ax+3)+(bx2-2bx)i=0,再分b=0和b^O兩種情況求。，x驗(yàn)證是否成立.

【詳解】設(shè)2=。+初，(a,heR且/+匕2=1)

則原方程次2+2五+3=0變?yōu)?"2+2辦+3)+(區(qū)2-2bx)i=0.

所以加+2ax+3=0,①且左一次=0,②；

(1)若6=0,則"=1解得。=±1,當(dāng)a=l時(shí)①無實(shí)數(shù)解，舍去；

從而〃=—1,爐—2%-3=0此時(shí)x=—1或3,故z=—1滿足條件；

(2)若歷4),由②知，%=()或X=2,顯然x=0不滿足，故尤=2,代入①得

八-3,b=±叵,

88

所以一三塔

7

綜上滿足條件的所以復(fù)數(shù)的和為-1+

4

7

故答案為：—

4

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查復(fù)系數(shù)二次方程有實(shí)數(shù)根問題，關(guān)鍵是設(shè)復(fù)數(shù)z=a+初后

代入方程，再進(jìn)行整理轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，注意實(shí)部和虛部為0,建立方程求復(fù)數(shù)z.

10.（2020?上海黃浦區(qū)?格致中學(xué)高二期末）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,則|z+i|+|z-i|

的最大值是.

【答案】20

【分析】設(shè)2=以）58+人苗8,（0?6<2萬），則化簡可得

e00Q

|z+z|+|z-z|=V2sin—+cos—+V2sin--cos-；然后分類討論去絕對(duì)值，在根據(jù)三

角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)2=以與8+匹111仇（048<2萬）.

貝“z+?[+|z-=Jcos：8+（sin夕+1）2+Jcos24+（sin，-1）2

=J2（l+sin6）+也（1-sin6）=

[T00[T,ee

=72sin—Fcos—+5/2sin——cos—

2222

Q

?.?0K8v24，/.0<—<^.

2

小，』。萬"L—.e/丘/e八

|-G（），二肘，0<sm—<——<cos—<1，

214」222

所以|z+i|+|z-i|=2及cosg,|z+i|+|z-i|的最大值是2拉；

時(shí)，—心—<?，,

2222

0

所以卜+,+歸一4=2逝5皿5，上+/[+上-4的最大值是2a：

號(hào)冷”時(shí)，T<c°s1一￥，0<sW<?.00

所以sin—<cos—

22

z+z|+|z-z|=-2\/2cos—|z+z|+|z-?|<2A/2.

綜上，|z+i|+|zT|的最大值是20.

故答案為：2M.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，訓(xùn)練了利用三角函

數(shù)求最值,是中檔題.

11.（2019?上海徐匯區(qū)?高三期末）若復(fù)數(shù)z滿足>z=l+2i,其中i是虛數(shù)單位，則

z的實(shí)部為一.

【答案】2

【詳解】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算進(jìn)行化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部概念求結(jié)果.

1.*

詳解：因?yàn)?z=l+2i,則2=--=2-i,則z的實(shí)部為2.

i

點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考杳復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)。+洌（a力eR）的實(shí)部為a、虛部為6、

模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（媚,切、共輒復(fù)數(shù)為歷.

12.（2021?上海市西南位育中學(xué)高二期末）復(fù)數(shù)z=g+z?與它的共規(guī)復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的兩個(gè)

向量的夾角為____.

【答案】60°

7

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算一，再化成三角形式的復(fù)數(shù)，即可得出.

Z

【詳解】解：

zV3+Z(73+Q22+26=_L+烏=cos60°+zsin60°

z—i(V3—z)(V3+/)422

，復(fù)數(shù)z=6+i與它的共輾復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為60°.

故答案為：60°.

三、解答題

13.（2020?上海黃浦區(qū)?格致中學(xué)高三月考）已知復(fù)數(shù)z=l-i.

5-

（1）設(shè)/=f^+3z-4,求①的值；

z2+l

（2）求滿足不等式華士UN立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Ja+23

【答案】（1）5i；（2）（-2,-]U[l,+℃）.

6

5-

【分析】（1）將復(fù)數(shù)z=l-i代入0=F—+3Z—4,利用復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算以及除法運(yùn)算法

z2+l

則，計(jì)算化簡即可，解題過程注意避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤；

（2）將復(fù)數(shù)z=l-,?代入華士”2包，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解即可，解題過程注意

Ja+23

考慮二次根式的有意義的條件.

【詳解】（Dvz=l-z.

5

+3(l+i)—4=

1^21+3z-l

5(l+2i)

=-~'x+3z-l

(l-2z)(l+2z)

=l+2z+3z-l=5z；

Ia+(1-a)z|〉6

(2)不等式為

Ja+23

即擊"+(]―、)>2/s,

y/a+23

3cT+(1—Na+2

即｛L'7J

?+2>0

整理得6“2一7。+120且。＞一2,

解得一2＜?；騩Nl,

6

1

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是1-2,

6-

【點(diǎn)睛】本題綜合考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查了復(fù)數(shù)的模的公式，同時(shí)考查一元二

次不等式的解法，考查J'運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

14.（2020?上海高二課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)Z],Z?滿足Z1=l+2i,Z]-z2=|z2|,求復(fù)數(shù)

z2.

3

【答案】——2i

2

【分析】設(shè)Z2=x+yi,則云=%-卯，然后根據(jù)4-W=L|，由1一x+（2+y）i

=+y2求解.

【詳解】設(shè)Z2=x+yi,z2=x-y1i,

2

所以4-Z2=l-x+（2+y）/=|z2|=1x+,

即卜=7^7

、2+y=0

3

解得，2

J=-2

._3..

??z=-------2i

922

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

15.（2020?上海浦東新區(qū)?華師大二附中高二月考）關(guān)于x的方程

39一（6加-1）%+>+1=0的兩根的模之和為2,求實(shí)數(shù)，然的值.

57

【答案】一或W

66

【分析】若設(shè)方程的兩個(gè)根為花，與，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

6m-1

\+x2=-j-_____________

<2]，由題意可得，2=|七|+,2|=、+*2]=>/（%1+工2）2—4%X2，代入

中2=^—>0

可求得加的值，然后考慮兩個(gè)根不是實(shí)數(shù)時(shí)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可求.

6/n-l

%+x2

3

【詳解】設(shè)方程的兩根為王則韋達(dá)定理可得<

立1>0

小2=