高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)

高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)/高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)高中數(shù)學(xué)之概率與統(tǒng)計(jì)求等可能性事件、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率解此類題目常應(yīng)用以下知識(shí):(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;等可能事件概率的計(jì)算步驟：計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件總數(shù);設(shè)所求事件A，并計(jì)算事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù);依公式求值;答，即給問(wèn)題一個(gè)明確的答復(fù).(2)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);特例：對(duì)立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.(3)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);特例：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率：(k)＝.其中P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式為二項(xiàng)式[(1)]n展開(kāi)的第1項(xiàng).(4)解決概率問(wèn)題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運(yùn)算即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件.第三步，運(yùn)用公式求解第四步，答，即給提出的問(wèn)題有一個(gè)明確的答復(fù).在五個(gè)數(shù)字中，。若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率是（結(jié)果用數(shù)值表示）．[解答過(guò)程]0.3提示:例2．一個(gè)總體含有100個(gè)個(gè)體，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為．[解答過(guò)程]提示:例3.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.（精確到0.01）[考查目的]本題主要考查運(yùn)用組合、概率的基本知識(shí)和分類計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力，以與推理和運(yùn)算能力.[解答提示]至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.故填0.94.離散型隨機(jī)變量的分布列1.隨機(jī)變量與相關(guān)概念①隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，這樣的變量叫做隨機(jī)變量，常用希臘字母ξ、η等表示.②隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.③隨機(jī)變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列①離散型隨機(jī)變量的分布列的概念和性質(zhì)一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為，，……，，……，取每一個(gè)值（1，2，……）的概率P（）=，則稱下表.……PP1P2……為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱的分布列.由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：（1），1，2，…;（2）…=1.②常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布列：（1）二項(xiàng)分布次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能的取值為0，1，2，…n，并且，其中，，隨機(jī)變量的分布列如下：01……P…稱這樣隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，其中、為參數(shù)，并記：.（2）幾何分布在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)取值為正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量，“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.隨機(jī)變量的概率分布為：123…k…Pp……例1．廠家在產(chǎn)品出廠前,需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn),廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí),商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn),以決定是否接收這批產(chǎn)品.（Ⅰ）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn),求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件.都進(jìn)行檢驗(yàn),只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品.否則拒收,求出該商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列與期望,并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.[解答過(guò)程]（Ⅰ）記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)，其中至少有1件是合格品”為事件A用對(duì)立事件A來(lái)算，有（Ⅱ）可能的取值為．，，．記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)，都合格”為事件B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率．所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為．例12．某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為、、,且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.（Ⅰ）求該選手被淘汰的概率;（Ⅱ）該選手在選拔中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）[解答過(guò)程]解法一：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第輪的問(wèn)題”的事件為，則，，，該選手被淘汰的概率．（Ⅱ）的可能值為，，，．的分布列為123．解法二：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第輪的問(wèn)題”的事件為，則，，．該選手被淘汰的概率．（Ⅱ）同解法一．（3）離散型隨機(jī)變量的期望與方差隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 (1)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：…；期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平.⑵離散型隨機(jī)變量的方差：……；方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.⑶基本性質(zhì)：；.(4)若～B(n，p)，則;D（這里1）;如果隨機(jī)變量服從幾何分布，，則，D=其中1.例1．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為ε、η，ε和η的分布列如下：ε012η012PP則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為.思路：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動(dòng)情況，即方差值的大小.解答過(guò)程：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)ε的期望和方差分別為：，；工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)η的期望和方差分別為：，由Eεη知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但Dε>Dη，可見(jiàn)乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.小結(jié)：期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平；方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.例2.某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為123450.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元．表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)．（Ⅰ）求事件：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（Ⅱ）求的分布列與期望．[解答過(guò)程]（Ⅰ）由表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”，．（Ⅱ）的可能取值為元，元，元．，，．的分布列為（元）．抽樣方法與總體分布的估計(jì)抽樣方法1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N，如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.2．系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機(jī)械抽樣）.3．分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.總體分布的估計(jì)由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布，一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確.總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí)，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值與相應(yīng)的頻率表示，幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.當(dāng)總體中的個(gè)體取值在某個(gè)區(qū)間上時(shí)用頻率分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)樣本的頻率分布.總體密度曲線：當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.典型例題例1.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量.解答過(guò)程：A種型號(hào)的總體是，則樣本容量.例2．一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)0，1，2，…，99，依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組，組號(hào)依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為，那么在第組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，若，則在第7組中抽取的號(hào)碼是．解答過(guò)程：第K組的號(hào)碼為，，…，，當(dāng)6時(shí)，第k組抽取的號(hào)的個(gè)位數(shù)字為的個(gè)位數(shù)字，所以第7組中抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)字為3，所以抽取號(hào)碼為63．正態(tài)分布與線性回歸1.正態(tài)分布的概念與主要性質(zhì)（1）正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，x其中、為常數(shù)，并且＞0，則稱服從正態(tài)分布，記為（，）.（2）期望E=μ，方差.（3）正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):①曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱.②曲線在μ時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低.③曲線的對(duì)稱軸位置由μ確定；曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”；反之越“高瘦”.三σ原則即為

數(shù)值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率為0.6526

數(shù)值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率為0.9544

數(shù)值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率為0.9974（4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)=0，=1時(shí)服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作（0，1）（5）兩個(gè)重要的公式①,②.（6）與二者聯(lián)系.若，則;②若，則.2.線性回歸簡(jiǎn)單的說(shuō)，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個(gè)變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計(jì)方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式.具體說(shuō)來(lái)，對(duì)n個(gè)樣本數(shù)據(jù)（），（），…，（），其回歸直線方程，或經(jīng)驗(yàn)公式為：.其中，其中分別為、的平均數(shù).例1.如果隨機(jī)變量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，則P（－1＜ξ≤1＝等于()A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2）C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）解答過(guò)程：對(duì)正態(tài)分布，μξ=3，σ2ξ=1，故P（－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）.答案：B例2.將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d℃，液體的溫度ξ（單位：℃）是一個(gè)隨機(jī)變量，且ξ～N（d，0.52）.（1）若90°，則ξ<89的概率為；（2）若要保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，則d至少是?（其中若η～N（0，1），則Φ（2）（η<2）=0.9772，Φ（－2.327）（η<－2.327）=0.01）.解答過(guò)程：（1