專(zhuān)題12數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用（學(xué)生版）

專(zhuān)題12數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用數(shù)列求和是數(shù)列獨(dú)特的研究?jī)?nèi)容，通過(guò)探索并掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的關(guān)系，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)。求和過(guò)程中需要的代數(shù)變形技巧具有挑戰(zhàn)性，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，從而使數(shù)列成為研究函數(shù)的一個(gè)用力工具?！戏拾酥兄袑W(xué)一級(jí)教師關(guān)良玲名師推薦數(shù)列求和是數(shù)列獨(dú)特的研究?jī)?nèi)容，通過(guò)探索并掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的關(guān)系，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)。求和過(guò)程中需要的代數(shù)變形技巧具有挑戰(zhàn)性，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，從而使數(shù)列成為研究函數(shù)的一個(gè)用力工具。——合肥八中中學(xué)一級(jí)教師關(guān)良玲探究1：裂項(xiàng)相消法【典例剖析】例1.(2022·浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)已知遞增的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=1，且a5，a8，a13成等比數(shù)列.數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：3Sn=2+bn(n∈N*)，其中Sn為{bn}的前n項(xiàng)和．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}，{bn選題意圖:選題意圖:裂項(xiàng)相消法是一種重要的數(shù)列求和的方法，該類(lèi)問(wèn)題背景選擇面廣，可與等差、等比數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識(shí)綜合，在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題.思維引導(dǎo)：第（2）問(wèn)中由cn與an的關(guān)系式呈分式結(jié)構(gòu)，容易聯(lián)想到要利用裂項(xiàng)求和法求Tn，cn通項(xiàng)公式需要借助的【變式訓(xùn)練】練11(2022·江蘇省南通市月考)已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足S6=21，S7=28，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

(1)求數(shù)列練12(2022·山東省濰坊市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an+1=an1+aA.2<S50<3 B.32<S【規(guī)律方法】數(shù)列求和就是通過(guò)觀察分析數(shù)列的類(lèi)型,變形得出熟悉的等差、等比數(shù)列,或者構(gòu)建出數(shù)列的模型,找到求和的方法.裂項(xiàng)相消法較為靈活，一方面對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)求和，故要熟悉常見(jiàn)的裂項(xiàng)的形式；另一方面對(duì)于本來(lái)無(wú)法裂項(xiàng)的數(shù)列，進(jìn)行適當(dāng)放縮使數(shù)列可進(jìn)行裂項(xiàng)求和.技巧策略：(1)常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消法主要是將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩個(gè)式子(或多個(gè)式子)的差的形式,借助裂開(kāi)的項(xiàng)進(jìn)行合理抵消,方便運(yùn)算;(2)裂項(xiàng)相消中要注意抵消了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),不要出現(xiàn)遺漏或增加;(3)消項(xiàng)規(guī)律:對(duì)稱(chēng)抵消(消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)(或第幾項(xiàng)),后邊就剩幾項(xiàng)(或倒數(shù)第幾項(xiàng))).常見(jiàn)方法有：1.常見(jiàn)的裂項(xiàng)形式：要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱(chēng)性，即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng)．=1\*GB3①若an為等差數(shù)列，則1ana=2\*GB3②2n+1n2n+12=1n2-1n+12；=4\*GB3④1n+n+k=n+k-nk；=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥n+2n2+n?2n+1=1n?2n-1=8\*GB3⑧-1n?nn-1n+12.放縮后裂項(xiàng)①1n2<1=3\*GB3③2n+n+1<1n=22n<2n探究2：并項(xiàng)求和【典例剖析】例2.(2022·廣東省模擬)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均不為零，Sn為其前n(1)證明：a(2)若a1=-1，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1=a1選題意圖：并項(xiàng)選題意圖：并項(xiàng)求和最常見(jiàn)的一種類(lèi)型是，若an為等差數(shù)列，則數(shù)列-1n?an中的項(xiàng)，正負(fù)交替，可先思維引導(dǎo)：第（2）問(wèn)由b1=a1,b2=a3，得出bn的通項(xiàng)公式為-1n，故anbn即為【變式訓(xùn)練】練21(2022·江蘇省蘇州市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，且a(1)求{a(2)設(shè)bn=(-1)練22(2022·重慶市模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π4)(其中ω>0)在區(qū)間[π2(2)將f(x)的圖像向左平移π4個(gè)單位就得到函數(shù)g(x)的圖像，記an=n2?g(nπ)，n∈N*.【規(guī)律方法】并項(xiàng)求和法適用范圍：數(shù)列不能直接求和,但是可以將幾項(xiàng)進(jìn)行求和(類(lèi)似于周期性質(zhì)),然后再進(jìn)行整體求和.

=1\*GB3①當(dāng)數(shù)列中常含有(-1)k或者(-1)k+1等符號(hào)時(shí),則其項(xiàng)常常體現(xiàn)為正負(fù)項(xiàng)間隔出現(xiàn),此時(shí)常將相鄰的正負(fù)兩項(xiàng)(或三項(xiàng)等)并成一組,然后求和，或者考慮將數(shù)列分組為奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列和偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列,然后采用分組求和法；=2\*GB3②當(dāng)數(shù)列中含有an+an+1=fn的形式,或者探究3：數(shù)列求和的其他方法【典例剖析】例3.(2022·福建省泉州市期中)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且{(1)求證：{a(2)用max{p,q}表示p，q中的最大值，若a1=1，bn=max2a選題意圖：選題意圖：求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，容易聯(lián)想到要用錯(cuò)位相減法求和，但該題的第二問(wèn)bn的通項(xiàng)公式，為分段的形式，思維引導(dǎo)：第（2）問(wèn)中表示出bn的通項(xiàng)公式，為分段的形式；故求anbn的前n項(xiàng)和要分段討論；當(dāng)n≥4時(shí)，要利用【變式訓(xùn)練】練31(2022·廣東省月考)已知等差數(shù)列{an}中，a5=3π8，設(shè)函數(shù)f(x)=(4cos2x2A.0 B.10 C.16 D.18練32(2022·浙江省模擬)已知數(shù)列{an}與{bn=2,n(1)設(shè)cn=a2n+1-a2n-1(2)設(shè)Sn為{an}的前【規(guī)律方法】常用的數(shù)列求和方法：直接利用兩個(gè)特殊數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)的前n項(xiàng)和公式、列舉法、分組轉(zhuǎn)化法、并項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法.

=1\*GB3①列舉法：列舉法主要應(yīng)用于數(shù)列項(xiàng)數(shù)較少的數(shù)列求和問(wèn)題,通過(guò)列舉出數(shù)列中的各項(xiàng)后加以數(shù)列求和.而在實(shí)際解題過(guò)程中,若一直沒(méi)有想到其他思路,也可以借助列舉法來(lái)思考,在列舉法的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析與歸納,再采用合適的方法來(lái)處理.=2\*GB3②倒序相加法：若一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)、尾項(xiàng)能構(gòu)建出特殊的關(guān)系,則可以反向構(gòu)建關(guān)系,先把數(shù)列倒著寫(xiě)一遍再和原來(lái)的數(shù)列相加,從而得到題中所證或所求.=3\*GB3③分組求和法：當(dāng)所求解的數(shù)列本身不是特殊數(shù)列,而通過(guò)適當(dāng)拆分并重新組合后,可以分成若干個(gè)特殊數(shù)列，分別求和.

=4\*GB3④錯(cuò)位相減法：對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題,常用錯(cuò)位相減法求和.這種

方法主要用于求數(shù)列an?bn的前n項(xiàng)和,其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,等式兩端同時(shí)乘以公比后進(jìn)行錯(cuò)位相減,再利用等比數(shù)列的求和公式加以轉(zhuǎn)化即可.探究4：數(shù)列求和的綜合問(wèn)題【典例剖析】例4.(2022·江蘇省南京市聯(lián)考·多選)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn4anA.3an+1<an B.選題意圖：選題意圖：數(shù)列的多選題，涉及的數(shù)列知識(shí)較多，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生能否靈活的運(yùn)用數(shù)列的基本概念，基本方法解決問(wèn)題.思維引導(dǎo)：由遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列，求出an的通項(xiàng)公式后逐個(gè)判斷選項(xiàng)，其中D選項(xiàng)涉及求和，an的通項(xiàng)公式不能直接利用上述求和方法，就要通過(guò)放縮將不特殊數(shù)列化為特殊數(shù)列，轉(zhuǎn)化【變式訓(xùn)練】練41(2022·廣東省佛山市模擬)某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，計(jì)劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)600萬(wàn)元的年份是(

)(參考數(shù)據(jù)：lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年練42(2022·江蘇省模擬)若一個(gè)數(shù)列的第m項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前m項(xiàng)的乘積，則稱(chēng)該數(shù)列為“m積數(shù)列”.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}是一個(gè)“2019積數(shù)列”，且a1>1，則當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最大值時(shí)A.1010 B.1009 C.1009或1010 D.1008或1009練43(2022·安徽省皖江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2ln(1)若a=-2，求函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)區(qū)間;(2)求證：1n【規(guī)律方法】將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合的綜合問(wèn)題是近年來(lái)高考的熱門(mén)題型.常見(jiàn)的綜合類(lèi)型有：=1\*GB3①數(shù)列間的綜合；=2\*GB3②將問(wèn)題化歸為基本數(shù)列的求和問(wèn)題；=3\*GB3③數(shù)列與其他知識(shí)的綜合（函數(shù)方程、不等式、導(dǎo)數(shù)、解幾、新情景問(wèn)題等）.考查的思路方法：

1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題：常以基礎(chǔ)知識(shí)的