3 4電力線通量定理

1

（1）起于正電荷(或無限遠(yuǎn))，止于負(fù)電荷(或無限遠(yuǎn))；（2）不閉合，也不在沒有電荷的地方中斷；（3）兩條電場線在沒有電荷的地方不會相交。

一、電場線(electriclineoffield)1定義：

電場線上各點的切線方向與該點場強(qiáng)的方向一致；

在垂直于電場線的單位面積上穿過的曲線條數(shù)與該處的電場強(qiáng)度的大小成正比。

電場線是為了描述電場所引進(jìn)的輔助概念，它并不真實存在。(與流線相似)2性質(zhì)：§11-3電場線電通量2用一簇空間曲線可以形象地描述場強(qiáng)的分布。場是一定空間范圍內(nèi)連續(xù)分布的客體溫度T

溫度分布——溫度場（標(biāo)量場）流速v流速分布——流速場（矢量場）電荷產(chǎn)生的場具有什么性質(zhì)？

經(jīng)過探索通過與流體類比找到用矢量場論來描述電場類比流線——電場線

流量——電通量

電場線:3點電荷的電場線正電荷負(fù)電荷+電場線非均勻電場4一對等量異號電荷的電場線+電場線5一對等量正點電荷的電場線++電場線6一對異號不等量點電荷的電場線2q+q電場線7帶電平行板電容器的電場+++++++++電場線遠(yuǎn)離邊緣的區(qū)域是均勻電場81.定義二、電通量(electricflux)

通過任一面積元的電場線的條數(shù)稱為通過這一面積元的電場強(qiáng)度通量。（簡稱電通量）

如果垂直于電場強(qiáng)度的面積為dS，穿過的電場線條數(shù)為d

e，那么SE若選擇比例系數(shù)為1，則有d

e=EdS.

如果在電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場中，平面S與電場強(qiáng)度E

相垂直，則

e=ES.

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如果在場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場中，平面S與場強(qiáng)E不垂直，其法線n與場強(qiáng)E成

角。

如果在非勻強(qiáng)電場中有一任意曲面S，可以把曲面S分成許多小面元dS，dS可近似地看為平面，在dS范圍內(nèi)場強(qiáng)E可認(rèn)為處處相同。這樣，穿過面元dS的電場線條數(shù)可以表示為:nEθs10通過任一曲面S的電通量：2.方向的規(guī)定：

閉合曲面的外法線方向為正。(自內(nèi)向外為正)

非閉合曲面電通量的正負(fù)取決于E與n正向夾角的余玄值。通過閉合曲面S的電通量：11s1s2s3s4s5θEnxyz例1：一個三棱柱放在均勻電場中，E=200N/C，沿x方向，求通過此三棱柱體的電場強(qiáng)度通量。解：三棱柱體的表面為一閉合曲面，由S1、S2、S3、S4、S5

構(gòu)成，其電場強(qiáng)度通量為：即：通過閉合曲面的電場強(qiáng)度通量為零。12§11.4高斯定理（Gausstheorem）

靜電場中任意閉合曲面S的電通量，等于該曲面所包圍的電量除以e

0

而與S以外的電荷無關(guān)。這個閉合曲面稱為高斯面。

數(shù)學(xué)表達(dá)式1.包圍點電荷q的同心球面S的電通量球面上各點的場強(qiáng)方向與其徑向相同。球面上各點的場強(qiáng)大小由庫侖定律給出。S反映場和源的關(guān)系。

13

此結(jié)果與球面的半徑無關(guān)。即通過各球面的電力線總條數(shù)相等。從q發(fā)出的電場線連續(xù)地延伸到無窮遠(yuǎn)。2.包圍點電荷q任意閉合曲面S的電通量S1S2S穿過球面S1和S2的電場線，必定也穿過閉合曲面S。所以穿過任意閉合曲面S的電通量必然為q/

0，即14任意閉合曲面S包圍點電荷高斯定理的嚴(yán)格證明

在閉合曲面上任取一面積元dS，通過面元的電場強(qiáng)度通量rS+15S+是dS在垂直于電場方向的投影。dS對電荷所在點的立體角為163.任意閉合曲面S包圍多個點電荷q1,q2,…,qn

根據(jù)電通量的定義和電場強(qiáng)度的疊加原理，其電通量可以表示為:

這表示，閉合曲面S的電通量，等于各個點電荷對曲面S的電通量的代數(shù)和?？梢婋娡恳矟M足疊加原理。根據(jù)以上結(jié)論，通過閉合曲面S的電通量應(yīng)為:174.任意閉合曲面S不包圍電荷，點電荷q處于S之外：如圖所示，由于從q發(fā)出的電場線，凡是穿入S面的，必定又從S面穿出，所以穿過S面的電場線凈條數(shù)必定等于零，曲面S的電通量必定等于零。5.多個點電荷q1,q2,…,qn，其中k個被任意閉合曲面S所包圍，另外n

k個處于S面之外：根據(jù)上一條的證明，閉合曲面S外的n

k個電荷對S面的電通量無貢獻(xiàn)，S面的電通量只決定于其內(nèi)部的k個電荷，并應(yīng)表示為:186.任意閉合曲面S包圍了一個任意的帶電體這時可以把帶電體劃分成很多很小的體元d

，體元所帶的電荷dq=

d

可看作點電荷，與上面第3條的結(jié)果一致，這時S的電通量可表示為根據(jù)矢量分析中的高斯定理，可以將上式寫成下面的微分形式:

高斯定理源自庫侖定律，在靜電學(xué)中，常常利用它來求解電荷分布具有一定對稱性的電場問題。19例2：一無限長均勻帶電細(xì)棒，其線電荷密度為

，求距細(xì)棒為a處的電場強(qiáng)度。

解：以細(xì)棒為軸作一個高為l、截面半徑為a的圓柱面，如圖所示。以該圓柱面為高斯面，運(yùn)用高斯定理，由于對稱性，圓柱側(cè)面上各點的場強(qiáng)E的大小相等,方向都垂直于圓柱側(cè)面向外。

通過高斯面S的電通量可分為圓柱側(cè)面和上、下底面三部分通量的代數(shù)和。S

a20因上、下底面的場強(qiáng)方向與面平行，其電通量為零，即式中后兩項為零。此閉合面包含的電荷總量其方向沿場點到直導(dǎo)線的垂線方向。正負(fù)由電荷的符號決定。S

a21例3：求半徑為R的均勻帶電球體在球內(nèi)外各點的場強(qiáng)分布。設(shè)球體電荷密度為r

，總電量為Q。解：因為電荷分布具有球?qū)ΨQ性。固選取同心的球面為高斯面。QRr22例4：均勻帶電的球殼內(nèi)外的場強(qiáng)分布。設(shè)球殼半徑為R，所帶總電量為Q。解：場源的對稱性決定著場強(qiáng)分布的對稱性。它具有與場源同心的球?qū)ΨQ性。固選同心球面為高斯面。場強(qiáng)的方向沿著徑向，且在球面上的場強(qiáng)處處相等。當(dāng)高斯面內(nèi)電荷為Q，所以當(dāng)高斯面內(nèi)電荷為0高斯面高斯面均勻帶電球殼23結(jié)果表明：1)均勻帶電球殼外的場強(qiáng)分布正像球面上的電荷都集中在球心時所形成的點電荷在該區(qū)的場強(qiáng)分布一樣。2)在球面內(nèi)的場強(qiáng)均為零。注意：1）不是每個面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生的場強(qiáng)為零，而是所有面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生場強(qiáng)的矢量和=0。2）非均勻帶電球面在在球面內(nèi)任一點產(chǎn)生的場強(qiáng)不可能都為零。（在個別點有可能為零）

24解：由于電荷分布對于場點p到平面的垂線op

是對稱的，所以

p點的場強(qiáng)必然垂直于該平面。

又因電荷均勻分布在無限大的平面上，所以電場分布對該平面對稱。即離平面等遠(yuǎn)處的場強(qiáng)大小都相等、方向都垂直于平面，當(dāng)場強(qiáng)指離平面。當(dāng)場強(qiáng)方向指向平面。例5：求無限大均勻帶電平板的場強(qiáng)分布。設(shè)面電荷密度為。25

由于圓筒側(cè)面上各點的場強(qiáng)方向垂直于側(cè)面的法線方向，所以電通量為零；又兩個底面上場強(qiáng)相等、電通量相等，均為穿出。場強(qiáng)方向垂直于帶電平面。

選一其軸垂直于帶電平面的圓筒式封閉面作為高斯面

S，帶電平面平分此圓筒，場點p位于它的一個底面上。26

場強(qiáng)方向指離平面;場強(qiáng)方向指向平面。例6：求兩個平行無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)分布。設(shè)面電荷密度分別為和。解：該系統(tǒng)不再具有簡單的對稱性，不能直接應(yīng)用高斯定理。然而每一個帶電平面的場強(qiáng)先可用高斯定理求出，然后再用疊加原理求兩個帶電平面產(chǎn)生的總場強(qiáng)。需注意方向：A區(qū)：與相反B區(qū)：與相反C區(qū)：與相同所有區(qū)域與大小相同，方向：27直流電路中的平行板電容器間的場強(qiáng)，就是這種情況。由圖可知，在A

區(qū)和B區(qū)場強(qiáng)均為零。C區(qū)場強(qiáng)的方向從帶正電的平板指向帶負(fù)電的平板。場強(qiáng)大小為一個帶電平板產(chǎn)生的場強(qiáng)的兩倍。28小結(jié)：⑴通過用閉合曲面的電通量概念可以說明高斯定理。但需注意這僅僅是為了便于理解而用的一種形象解釋，它不是高斯定理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明。⑵高斯定理是在庫侖定律基礎(chǔ)上得到的（定律是對客觀事實的描述，通常是對實驗結(jié)果的歸納，而定理是由定律通過推理演變而來），但是前者適用范圍比后者更廣泛。

高斯定理反映了庫侖定律的平方反比關(guān)系F

1/r2，如庫侖定律無此關(guān)系則得不到高斯定理。庫侖定律只適用于真空中的靜電場，而高斯定理適用于靜電場和隨時間變化的場，高斯定理是電磁場理論的基本方程之一。29(4)雖然高斯定理說明電通量只與S內(nèi)電荷有關(guān)而與S外電荷無關(guān)，但這并不是說

只與S內(nèi)電荷有關(guān)而與S外電荷無關(guān)。實際上，

是由S內(nèi)、外所有電荷產(chǎn)生的結(jié)果。(3)高斯定理表明，通過閉合曲面的電通量只與閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和有關(guān)，而與閉合曲面外的電荷無關(guān)。這同時也表明靜電場是有源場，其源就是電荷。(5)

高斯定理對靜電場的描述是不完備的。高斯定理是靜電場的兩個基本定理之一(另一個是環(huán)路定理)。兩個定理各自反映靜電場性質(zhì)的一個側(cè)面。二者結(jié)合，才能完整地描述靜電場。30(7)

用高斯定理求場強(qiáng)是比較簡單的。然而，我們需要明確，雖然高斯定理是普遍成立，但是任何帶電體產(chǎn)生的場強(qiáng)不是都能由它計算出，因為這