數(shù)學(xué)七年級下學(xué)期5.10 分式的加減

專題5.10分式的加減（知識講解）【學(xué)習(xí)目標】1．能利用分式的基本性質(zhì)通分；2．會進行同分母分式的加減法運算；3．會進行異分母分式的加減法運算。【要點整理】要點一、同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；上述法則可用式子表為：.特別說明：“把分子相加減”是把各分式的分子的整體相加減，即各個分子都應(yīng)用括號，當分子是單項式時，括號可以省略；當分子是多項式時，特別是分子相減時，括號不能省，不然，容易導(dǎo)致符號上的錯誤.（2）分式的加減法運算的結(jié)果必須化成最簡分式或整式.要點二、異分母分式的加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.上述法則可用式子表為：.特別說明：異分母的分式相加減，先通分是關(guān)鍵.通分后，異分母的分式加減法變成同分母分式的加減法.（2）異分母分式加減法的一般步驟：①通分，②進行同分母分式的加減運算，③把結(jié)果化成最簡分式.【典型例題】類型一、最簡公分母1、分式，，的最簡公分母是_____________________【答案】ab(a+b)(a-2b)【分析】根據(jù)確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母即可求出答案．解：分式，，的分母依次為：，，故最簡公分母是ab(a+b)(a-2b)故答案為：ab(a+b)(a-2b)【點撥】此題考查了最簡公分母，解題的關(guān)鍵是準確求出各個分式中分母的最簡公分母，確定最簡公分母的方法一定要掌握．舉一反三：【變式】把分式進行通分時，最簡公分母為____．【答案】12a2b【分析】由于幾個分式的分母分別是3a、2a2、4ab，首先確定3、2、4的最小公倍數(shù)，然后確定各個字母的最高指數(shù)，由此即可確定它們的最簡公分母．解：分式的分母分別是3a、2、4ab，最簡公分母為12b．故答案為：12b．【點撥】本題考查了分式通分的最簡公分母,熟練掌握最簡公分母確定的基本原則是解題的關(guān)鍵．類型二、通分2、將分式和進行通分時，分母可因式分解為_________，分母可因式分解為_________，因此最簡公分母是_________．【答案】

【分析】根據(jù)平方差公式即可分解a2－9，再提取公因式可分解9－3a，找系數(shù)的最小公倍數(shù)，字母的最高次冪，即可得出最簡公分母．解：∵a2－9＝（a＋3）（a－3），9－3a＝3（3－a）＝－3（a－3），∴分式和的最簡公分母為－3（a＋3）（a－3）．故答案為：（a＋3）（a－3），－3（a－3），－3（a＋3）（a－3）．【點撥】本題考查了分式的通分，通分的關(guān)鍵是分解各個分母，找出最簡公分母．舉一反三：【變式】定義新運算：a⊕b，若a⊕（﹣b）＝2，則的值是___．【答案】【分析】根據(jù)a⊕b求出a和b的值，代入計算即可解：∴b-a=2ab．即a-b=-2ab．故答案為：【點撥】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意掌握新運算的規(guī)律．類型三、同分母分式相加減3、．計算：．【答案】【分析】利用同分母分式的減法法則計算即可求出值．解：．【點撥】本題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】【答案】【分析】直接利用同分母分式加減法的運算法則進行計算即可得答案．解：原式===．【點撥】本題考查了同分母分式加減法，熟練掌握同分母分式加減法的法則“同分母分式相加減，分母不變，分子相加減”是解題的關(guān)鍵．類型四、異分母分式相加減4．計算；（2）【答案】（1）；（2）2【分析】（1）先利用提公因式法和公式法先進行因式分解，化簡之后再進行分式的加法運算即可；（2）括號里的式子先進行通分，進行加法運算，然后再利用分式的除法法則進行計算即可．解：（1）原式原式【點撥】本題考查了分式的混合運算，涉及分式的加法，分式的除法，因式分解等知識．熟練掌握各個運算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】計算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先將分子分母因式分解，然后再約分；（2）先通分，再根據(jù)同分母分式的減法進行計算即可.解：（1）原式（2）原式【點撥】考查分式的乘法以及減法，熟練掌握分式運算的法則是解題的關(guān)鍵.類型五、整式與分式相加減5、計算【答案】a【分析】根據(jù)分式的減法和乘法可以解答本題.解：原式===a【點撥】本題考查分式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運算的計算方法.舉一反三：【變式】化簡：；【答案】.【分析】根據(jù)分式的加減運算法則計算.解：====.【點撥】本題考查了分式的加減運算，解題的關(guān)鍵是按照分式的加減運算法則，先把異分母的分式化成同分母的分式細心進行運算.類型六、已知分式的恒等式，確定分子或分母6、若，求、的值．【答案】【分析】已知等式右邊通分并利用同分母分式的加法法則計算，利用多項式相等的條件即可求出A與B的值．解：∵，∴x-5=(A+B)x+(-A+B)，∴，解得：．【點撥】本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．舉一反三：【變式】已知，求的值.【答案】【分析】已知等式右邊通分并利用同分母分式的減法法則計算，利用分式相等的條件求出A與B的值，再代入計算即可．解：∵左邊=，右邊=所以解得：.把，代入，．【點撥】本題考查分式的加減法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．類型七、分式加減混合運算7、（1）計算：（2）下面是小彬同學(xué)進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．

第一步

第二步

第三步

第四步

第五步

第六步任務(wù)一：填空：①以上化簡步驟中，第_____步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是____________________或填為_____________________________；②第_____步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是_____________________________________；任務(wù)二：請直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果；任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就分式化簡時還需要注意的事項給其他同學(xué)提一條建議．【答案】（1）1；（2）任務(wù)一：①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變；②五；括號前是“”號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號；任務(wù)二：；任務(wù)三：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡分式或整式，答案不唯一，詳見解析．【分析】（1）先分別計算乘方，與括號內(nèi)的加法，再計算乘法，再合并即可得到答案；（2）先把能夠分解因式的分子或分母分解因式，化簡第一個分式，再通分化為同分母分式，按照同分母分式的加減法進行運算，注意最后的結(jié)果必為最簡分式或整式．解：（1）原式 （2）任務(wù)一：①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變；故答案為：三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變；②五；括號前是“”號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號；故答案為：五；括號前是“”號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號；任務(wù)二：解；．任務(wù)三：解：答案不唯一，如：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡分式或整式；約分，通分時，應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行變形；分式化簡不能與解分式方程混淆，等．【點撥】本題考查的是有理數(shù)的混合運算，分式的化簡，掌握以上兩種以上是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】先化簡，再求值：，將代入求值．【答案】，【分析】先根據(jù)分式的加減法法則化簡，然后設(shè)a=3k，b=2k，代入化簡結(jié)果計算即可．解：原式＝=＝，∵，∴設(shè)a=3k，b=2k，∴原式==．【點撥】本題考查了分式的加減運算，同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減．分式運算的結(jié)果要化為最簡分式或者整式．類型八、分式加減實際應(yīng)用8、小明在爬一小山時，第一階段的平均速度為v，所用時間為t1；第二階段的平均速度為v，所用時間為t2．下山時，小明的平均速度保持為4v，已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多長時間？【答案】【分析】根據(jù)速度×?xí)r間=路程先求出總路程，然后用路程除以速度即可求出答案．解：小明上山的總路程=vt1+vt2，則小明下山用的時間是：．【點撥】本題考查了分式運算的應(yīng)用，正確理解題意、熟知速度、路程與時間的關(guān)系、熟練掌握分式運算的法則是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】有兩個熟練工人甲和乙，他們每小時制作零件a件、b件．現(xiàn)要趕制一批零件，若甲單獨完成需要m小時．如果甲、乙兩人同時工作，那么比甲單獨完成任務(wù)提前多長時間？【答案】小時．解：試題分析：首先表示需要趕制的零件數(shù)量為ma件，再表示甲、乙兩人合作的完成任務(wù)的時間是，求出甲獨做需要的時間與合作需要的時間的差即可．解：甲單獨完成任務(wù)的時間是m小時，甲、乙兩人合作的完成任務(wù)的時間是．所以提前完成任務(wù)的時間是：===答：甲、乙兩人同時工作，可以提前小時完成任務(wù)．考點：列代數(shù)式解應(yīng)用題．類型九、分式加減乘除混合運算9、先化簡，再求值：，其中x=2﹣1．【答案】分析：直接分解因式，再利用分式的混合運算法則計算得出答案．解：==，把x=2-1代入得，原式==．點撥：此題主要考查了分式的化簡求值，正確進行分式的混合運算是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】計算：（1）

；（2）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先將原式展開，然后合并同類型即可;(2)先對括號內(nèi)的進行運算并將除法轉(zhuǎn)換成乘法，然后運用分式乘法即可.解：（1）原式==（2）原式=【點撥】本題主要考查了整數(shù)、分式的的四則混合運算，其中在分式運算中，將除法轉(zhuǎn)變成乘法是解答本題的關(guān)鍵.類型十、分式的化簡求值10、先化簡，再求值：，且x為滿足﹣3＜x＜2的整數(shù)．【答案】-5【分析】根據(jù)分式的運算法則即可求出答案．解：原式=[+]÷=（+）?x=x﹣1+x﹣2=2x﹣3由于x≠0且x≠1且x≠﹣2，所以x=﹣1，原式=﹣2﹣3=﹣5【點撥】本題考查分式的運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．舉一反三：【變式1】先化簡，再求值：，其中滿足.【答案】3.【分析】先將括號里面進行通分，然后對分子分母進行因式分解，最后約分得到最簡形式，再由x2+3x－1=0得到x2+3x=1，將x2+3x整體帶入化簡后的式子求值.解：原式=÷=×=×=3x2+9x，

∵x2+3x－1=0，∴x2+3x=