概率論第三章第四章習(xí)題及答案 課堂

9.以X記某醫(yī)院一天出生的嬰兒的個(gè)數(shù)，以Y記其中男嬰的個(gè)數(shù),設(shè)X和Y的聯(lián)合分布律為(3)寫出X=20時(shí),Y的條件分布律第三章

多維隨機(jī)變量及其分布,n

?

0,1,2,?

.m

?

0,1,2,?

,n;求邊緣分布律求條件分布律P{X

?

n,Y

?

m

}

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14

(7.14)m

(6.86)n?

mm

!(n

?

m

)!返回主目錄1第三章

多維隨機(jī)變量及其分布e?

14

(7.14)m

(6.86)n

?

mm

!(n

?

m

)!P{X

?

n,Y?

m

}

?,返回主目錄2m

?

0,1,2,?n

?

0,1,2,?,n;.nm

?

0解:(1)P{X

?n}??P{X

?n,Y

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m

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(7.14)m

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6.86)n?e?14n!

m

?

0

m

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m

)!e?14n!?,

n

?

0,1,2,?14n

e?14n!第三章

多維隨機(jī)變量及其分布e?

14

(7.14)m

(6.86)n

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mm

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?

m

)!P{X

?

n,Y?

m

}

?,返回主目錄3m

?

0,1,2,?n

?

0,1,2,?,n;.?n?

mP{Y

?

m

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?

P{X

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n,Y

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m

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mm

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m

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m??(7.14)m

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0(6.86)kk!(6.86)n?

m

e?14(n

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m

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!e?14m

!e?14?(7.14)m

e6.86

?,

m

?

0,1,2,?m

!(7.14)m

e?

7.14返回主目錄4第三章

多維隨機(jī)變量及其分布P{X

?

n

|Y

?

m

}

?

P{X

?

n,Y

?

m

}P{Y

?

m

}(2)當(dāng)m

?0,1,2,?時(shí)e?

7.14

(7.14)mm

!e?14

(7.14)m

(6.86)n?

mm

!(n

?

m

)!?,m

?

0,1,2,?

,n;

n

?

0,1,2,?

.P{X

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n,Y

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m

}

?e?14

(7.14)m

(6.86)n

?

mm

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?

m

)!?,

n

?

m

,m

?

1,?(6.86)n?

m

e?

6.86(n

?

m

)!返回主目錄5第三章

多維隨機(jī)變量及其分布P{Y

?

m

|X

?

n}

?

P{X

?

n,Y

?

m

}P{Y

?

n}當(dāng)n

?0,1,2,?時(shí)e?1414nn!e?14

(7.14)m

(6.86)n?

mm

!(n

?

m

)!?,m

?

0,1,2,?

,n;

n

?

0,1,2,?

.P{X

?

n,Y

?

m

}

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14

(7.14)m

(6.86)n

?

mm

!(n

?

m

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C

m

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?

??

?

14

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?

14m

n?

m?7.14

?

?6.86

?n?

C

m

0.51m

0.49n?

m

,

m

?

0,1,2,?

,n第三章

多維隨機(jī)變量及其分布返回主目錄6P{Y

?

m

|X

?

n}nm

?

0,1,2,?

,n?

C

m

0.51m

0.49n?

m

,(3)P{Y

?

m

|X

?

20}20m

?

0,1,2,?

,20.?

C

m

0.51m

0.4920?

m

,(1)求常數(shù)c(5)求(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).返回主目錄7第三章

多維隨機(jī)變量及其分布11.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為?

0,其他.f(x,y)?

??cxe?

y

,0

?

x

?

y

?

??

,??

???? ?

?f(x,y)dxdy?1可解得c?1.(1)由??返回主目錄第三章

多維隨機(jī)變量及其分布?0,

其他.f(x,y)?

??xe?

y

,0

?

x

?

y

?

??

,x

y??

??f(u,v)dudv(5)F

(x,y)?

?

?20?

?u?e?u

?

e?

y

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?

1?

(x

?

1)e?

x

?

1

x2

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y

.xi)當(dāng)x?0或y?0時(shí),F(x,y)?0;ii當(dāng))y

?x

?0時(shí),x

y

x

yF

(x,y)?

?

?

ue?

vdudv

?

?

udu

?

e?vdv0

u

0

u8第三章

多維隨機(jī)變量及其分布返回主目錄9?0,

其他.f(x,y)?

??xe?

y

,0

?

x

?

y

?

??

,122yx

e(x

1)elimF

(x,y)F

(y,y)?

yx?x?y

y

1?e

.????2?2

??

?1???lim?1y??

x

?

1

?

y

???

???則12F

(x,y) F

(y,y)

1?

yy

y

1?e

.????2??

??

??iii當(dāng))x

?y

?0時(shí),第三章

多維隨機(jī)變量及其分布返回主目錄10??????2?

2

??10,F

(x,y)?

?1?

??1?

(x

?

1)e?

x

?

1

x2e?

y

, 0

?

x

?

y.y2

?

y

?

1?e?

y

,x

?0或y

?0,0

?

y

?

x,則25.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域返回主目錄11第三章

多維隨機(jī)變量及其分布D

?

?(x,y):0

?

x

?

a,0

?

y

?

a?上的均勻分布,試求:(2)M?m

ax{X,Y}的概率密度.(2)解:設(shè)M

的分布函數(shù)和概率密度分別為F(z)和f(z).?

0,返回主目錄12其它.?1

a2

,0

?

x

?

a,0

?

y

?

a,f(x,y)?

?第三章

多維隨機(jī)變量及其分布由題意知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為iii當(dāng))0?z?a時(shí),F

(z)?

P

?Z

?

z??

P

?m

ax{

X

,Y

}

?

z??

P

?X

?

z,Y

?

z???

???

?

?z

zf(x,y)dxdyi)當(dāng)z?0時(shí),F(z)?0;ii當(dāng))z?a時(shí),F(z)?1;10

0az2az

zdxdy

?

.2

2F

(z)?

??第三章

多維隨機(jī)變量及其分布返回主目錄13???2?

0, z

?

0,??z

a2

,

0

?

z

?

a,1, z

?

a.F

(z)即0,因此0

?z

?a,其它.?2z

a2

,f(z)?

F

?(z)?

??26.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,X的分布律為返回主目錄第三章

多維隨機(jī)變量及其分布?0,?1,

0

?

y

?

1,其他.fY

(y)?

?P

?X

?

i??

1

?i?

?1,0,1?,3Y的概率密度為F(z)和f(z).分別為記Z=X+Y,試求:(2)Z的概率密度.(2)解:設(shè)Z

的分布函數(shù)和概率密度14第三章

多維隨機(jī)變量及其分布F

(z)?

P

?Z

?

z?

?

P

?X

?

Y

?

z??

P

?Y

?

z?

X

?i)當(dāng)z??1時(shí),F(z)?0;ii當(dāng))z?2時(shí),F

(z)?1;? ?

?

?iii當(dāng))?1?z?0時(shí),F

(z)?

P

X

?

?1

P

Y

?

z?

1iv)當(dāng)0?z?1時(shí),F

(z)?

P

?X

?

?1?P

?Y

?

z?

1??

P

?X

?

0?P

?Y

?

z?,33

31

10???

??z

1dyz,10?3????1

z3dyz

1返回主目錄15第三章

多維隨機(jī)變量及其分布返回主目錄16F

(z)?

P

?Y

?

z?

X

?v)當(dāng)1?z?2時(shí),F

(z)?

P

?X

?

?1?P

?Y

?

z?

1??

P

?X

?

0?P

?Y

?

z??

P

?X

?

1?P

?Y

?

z?

1?,33

3

31

1

10???

?

???z

1dyz

1??2,z

?

?1,?

1

?

z

?z

?

2.?

0,F

(z)?

?

z

1)

3,?(?

1,即第三章

多維隨機(jī)變量及其分布返回主目錄17??0,因此?

1

?

z

?

2,其它.?1

3,f(z)?

F

?(z)

?上的均勻分布,定義隨機(jī)變量U,V如下:返回主目錄18第三章

多維隨機(jī)變量及其分布28.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域D ?

?(x,y):y

?

0,x2

?

y2

?

1??

0?.求(U,V)的聯(lián)合概率密度,并計(jì)算P

?UV??????3Y

,?1,X

?

3Y

.0,X?

2,X

?

Y

,?1,0

?

X

?

Y

,V0,X

?

0,U

?

?第三章

多維隨機(jī)變量及其分布解:隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為返回主目錄19?

0,?

2其他.,y

?

0,x2

?

y2

?

1,f(x,y)?

????

1,V

?

0??

P

?0

?

X

?

Y

,X

?3Y

??

0,3Y

??

1

,4P

?U

?

1,V

?

1??

P

?0

?

X

?

Y

,X

?3Y

??

0,P

?U

?

0,V ?

0??

P

?X

?

0,X

?P

?U

?

0,V

?

1??

P

?X

?

0,X

?P

?U23Y

??

1

,第三章

多維隨機(jī)變量及其分布返回主目錄20?

0,?

2其他.,y

?

0,x2

?

y2

?

1,f(x,y)?

???P

?U

?

2,V

?

0??

P

?X

?

Y

,X

?dxdy1

1?

x23?0

?3x2?方法1?方法二3Y

??

P

?X

?

3Y

?322??3x

?0

??1

?????

1

?

x?dx(令x?sint)?3Y

?,則1?

X

2

,X

?令事件A??Y?0,Y?6

6?

2?2,V

?0??A

的面積?1

,(扇形角度為?)P

?U第三章

多維隨機(jī)變量及其分布返回主目錄21P

?U

?

2,V

?

1??

1?

1

?

1

?

1

?

1

.4

6

2

12?

2,V

?

1??

0??

1,V

?

1??

P

?UP

?UV?

P

?U?

1

?

1

?

1

.4

12

311?

x?

xn

?

?

,

x

?

1,?

1?

x

?

x

2

?

?k

?1k

?1E

(X

)?

?

kp?1?

p?解:由于第四章2設(shè)隨機(jī)變量X隨機(jī)變量的數(shù)字特征服從幾何分布,其分布律為P

?X

?

k??

p?1?

p?k

?1

,k

?

1,2,?其中0?p?1為常數(shù),求E(X),D(X).???

p?

k?1

?

p?k

?1k

?1兩邊對(duì)x求導(dǎo)得1?1

?

x

?2?

1?

2

x

?

3x

2

?

?

?

nx

n?1

?

?

,

x

?

1,?1?22.返回主目錄23?1

1?1?

?1?

p

??2

p?

pE

(X

)?

p?

k

?1?

p

???k?1因此k

1(1)式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2?1?

x?3?

(n

?

1)?

nx

n

?

2

?

?

,

x

?

1,?2??

1?

2

?

2

?

3x

?

???3221

1

p?

.p2?

p

??

???

p?

k?k

?

1?1??

p??k?1k

?1?則E

?X(X

?1)??p?k?k

?1?1??p?k

?1k

?1第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征1p

2返回主目錄242p

2?

1

?

p

.p

2?

1

?p??

?E

(X

)?2?

E

[

X

(X

?

1)]?

EX?

E

[

X

(X

?

1)?

X

]?

?E

(X

)?2D

(X

)?

E

(X

2

)?

?E

(X

)?2因此第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征都服從[0,1]返回主目錄25上的均勻分布.8（2）設(shè)隨機(jī)變量X

1

,X

2

,?,X

n

相互獨(dú)立且?0,?1,

x?

[0,1],否則.f(x)?

?求U

?max

?X,X,?,X

?和1

2

nV

?min?X

,X

,?,X

?的數(shù)學(xué)期望.1

2

n解:由題意知X

k

(k?1,2,?,)n的.密度函數(shù)為則第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征?返回主目錄26??0,x

?

0,0

?

x

?

1,?1, x

?

1.F

(x)?

?x,第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征X

k

(k?1,2,?,n)的分布函數(shù)為??u

,

0

?

u

?

1,?

1, u

?

1.因X

1

,X

2

,?,X

n相互獨(dú)立,故U的分布函數(shù)為?

0, u

?

0,F

(u)?

?nUV的分布函數(shù)為返回主目錄27????

?UE

(U

)?第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征的密度函數(shù)為U????

??1,0,v

?

1.v)

,

0

v

1,v

?

0,F

(v)?

?

?

(1?1nV0,x?

(0,1),其他.?nun?1

,fU

(u)?

?????uf

(u)du

?10n

1?10u

nu

du

n?u

dun.?nn

?

1??

0,?u

,

0

?

u

?

1,?

1, u

?

1.u

?

0,F

(u)?

?nU返回主目錄28?????V(

)V

的密度函數(shù)為0,v?

(0,1),其他.?n(1

?

v)n?1,fV

(v)?

??E

(V

)????

?vf

v

dv?10v

n(1

v)

dvn

1????

?

?1010(1

v)

dvv(1

v)nn.?1n

?

11?

?n

?

11(1?

v)n?1??第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征??

??1,0,v

?

1.v)

,

0

v

1,v

?

0,F

(v)?

?

?

(1?1nVi29NEX?

1

?

(N

?

1)n

，

i?

1,?

,N

.返回主目錄?Xi?1,第i個(gè)盒子中有球.?0,第i個(gè)盒子中沒有球,?i?

1,2,?

,N

.易見NX

?

X

1

?

?

?

X

N

.

EXi?1i?

1,?

,N

.iNN

?

1第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征9.將n個(gè)球隨機(jī)地放入N個(gè)盒子,并且每個(gè)球放入各個(gè)盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解：以X表示有球的盒子數(shù)。設(shè))n

,iN?

?

EX

i.N

?

1P

{X

?

0}?

(

)n

,

P

{X

?

1}?

1?

(???

??n

?(N

?

1NEX N

?1)

?.10.若有n把看上去形狀相同的鑰匙，其中只有一把能打開門上的鎖，用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖，設(shè)取到每只鑰匙是等可能的。若每把鑰匙試開一次后除去，試用下面兩種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。（2）不寫出X的分布律。返回主目錄30第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征（2）令X

1

?1,返回主目錄31?前?次試開有一次成功?1,??0,

k

1前k

?1次試開都不成功,Xkk

?

2,?

,n

.?

X

n

.則X?X

1

?X

2

??令A(yù)k

表示事件“第k次試開成功”。則第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征k

?

2,?

,n

.返回主目錄32n

?

(k

?

2)n n

?

1?

n

?

1

n

?

2 n

?

(k

?

1)?

?

?.n

?

12nE

(X

)?

1?

?

E

(X

k

)?k?

2因此第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征E

(X

1

)?

1,E

(X

k

)?

1?

P

(X

k

?

1)Ak?1

)?

P

(A1

A2

?Ak?

2

)?

P

(A1

)P

(A2

|A1

)?

P

(Ak?1

|A1

A2

?n?

n

?

k

?

1

,第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄33~

N

(μ,σ2

),24.設(shè)隨機(jī)變量X,Y

相互獨(dú)立，XY

~

N(μ,σ2

).又U

?αX

?βY,V

?αX

?βY,α

?0,β

?0均為常數(shù),(1)求U,V

的相關(guān)系數(shù);(2)當(dāng)α,β為何值時(shí),U與V相互獨(dú)立.解：(1)Cov(U

,V

)?

Cov(?

X

?

?Y

,?

X

?

?Y

)?

?

2Cov

(X

,X

)???

Cov

(X

,Y

)?

??

Cov

(Y

,X

)?

?

2Cov

(Y

,Y

)?

?

2

D

(X

)?

?

2

D

(Y

)?

(?

2

?

?

2

)?

2

.第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄34?

2

?

?

2(?

2

?

?

2

)?

2?

?

.(?

2

?

?

2

)?

2

?

2

?

?

2?DU

DVCov

(U

,V

)所以?UV?

(?

2

?

?

2

)?

2

,?

(?

2

?

?

2

)?

2

.?

?

2

DY?

?

2

DYDU

?

?

2

DXDV

?

?

2

DX由于X與Y相互獨(dú)立,則由二維正態(tài)分布的性質(zhì)知(X

,Y

)服從二維正態(tài)分布,(U,V)也服從二維正態(tài)分布,所以當(dāng)?

?

0

時(shí)U

與V

相互獨(dú)立

,故UV當(dāng)????時(shí)U與V相互獨(dú)立.第五章大數(shù)定律及中心極限定理7.一食品店有三種蛋糕出售，由于售出哪一種蛋糕是隨機(jī)的，因而一只蛋糕的價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)變量，它取1元、1.2

元、1.5

元各個(gè)值的概率分別為0.3

、0.2

、0.5

．某天該食品店出售了300

只蛋糕．試用中心極限定理計(jì)算，這天的收入至少為400

元的概率．35第五章大數(shù)定律及中心極限定理36解：設(shè)

X

表示該食品店出售的第k

只蛋糕的價(jià)格k2,

?

,?k

?

1,300?，則X

的分布律為kX

k1.5P1

1.20.3

0.20.52

??

12

?

0.3

?

1.22

?

0.2

?

1.52

?

0.5

?

1.713

.k所以E

?X

??

1?

0.3

?

1.2

?

0.2

?

1.5?

0.5

?

1.29,kk??

E

?X

2

??

?E

?X

??2

?

1.713

?

1.292

?

0.0489.k

kE

?XD

?X第五章大數(shù)定律及中心極限定理而X

1

,

X

2

,

?

,

X

300

是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變

量,故37?

??

????????????????

?300300300300?

300?

300k

1k

1 k

1?

k?1k?

D

X

kk?1400

?

?

E

?X

k

??X

k?

Dk?1??

X

k

?

?

E

?X

k

??

400

?

?

1

?

P?P

??

X?????????400