幾代課件幾何與代數第四章

第四章n維向量空間第一節(jié)向量空間的概念一、n維向量和n維向量空間定義1（n維向量）

n個有順序的數所在組成的數組稱為一個n維向量。定義3（n維向量空間）：

以實數域中的數作為分量的n維向量的全體同時考慮到如上定義的向量的加法和數乘運算。稱R上的n維向量空間，記為二、向量空間則稱V是實數域R上的向量空間，也稱V是的子空間。定義4.1設V是的非空子集合，如果（1）V對加法運算具有封閉性，即，有（2）V對數乘運算具有封閉性，即

只有一個零向量所構成的向量空間稱為零空間。零空間以及本身稱為的平凡子空間例2：對于向量的加法和數乘是否是R上的向量空間？例1：定義設是m個n維向量，記

則是一個向量空間，稱為由張成（或生成）的向量空間。記作：span{}定義矩陣A的列向量組成的向量空間稱為A的列空間（的子空間）；矩陣A的行向量組成的向量空間稱為A的行空間（的子空間）。定義齊次線性方程組AX=0，記其解向量的全體為N(A)稱N(A)為A的零空間。齊次線性方程組ATY=0，記其解向量的全體為N(AT)稱N(AT)為A的左零空間。第二節(jié)向量組的線性相關性定義4.3（線性組合）重點：如何判斷線性相關和線性無關？注：定理：注：解的唯一性和非唯一性！例：定義4.4（線性相關）

定義4.4’（線性無關）

若只有在時，才有等式成立，則稱是線性無關的例：如何判斷線性相關和線性無關？？？定理：其中回顧：

Gauss消去法中階梯形拐角元素1的個數的問題當m>n時，即向量的個數大于向量的維數或未知量的個數大于方程的個數，

Ax=0有自由變量，故必有非零解，

因此，n+1個n維向量都是線性相關的。定理4.1：注1：并非所有向量均可由其余m-1表示。2：逆否命題定理4.2：三維的情況！推論：例1：證明：例2：例3：定理4.6：定理：部分相關———>整體相關整體無關———>部分無關總結線性表示線性相關（無關）證明線性無關的方法——>反證法!引子:

線性相關組中含有線性無關的部分向量組.第三節(jié)向量組的極大無關組與秩定義1（等價）：一、等價向量組性質：自反性對稱性傳遞性定理1：推論1：推論2：推論3：設T是由n維向量所組成的向量組，則（1）T的每個極大線性無關組與之等價（2）T的任意兩個極大線性無關組所含向量的個數是相同的。二、向量組的極大線性無關組與向量組的秩定義1（極大線性無關組）注1、條件（2）表示2、只有零向量構成的向量組沒有極大無關組定義2（秩）推論4：推論5：等價的向量組有相同的秩。推論6：定理1：推論1：如果一矩陣列向量組的秩是r，那矩陣的秩為r.推論2：Problem:如何求向量組的秩和極大線形無關組?

求法1、2、對A進行初等行變換，直至階梯形矩陣A'3、A的秩r即為所求，再找一個r階非零子式（取拐角1所在的列），對應的向量構成一個極大線性無關組。例1：例2：證明：例3：重點：確定坐標，求解過渡矩陣引子：向量空間---廣義向量組（張成的概念）定義1（基和維數）第四節(jié)向量空間的基和維數定義2（坐標）注：向量空間的基不是唯一的，可以相互線性表示。相應地，同一向量在不同的基下的坐標也存在著某種關系—過渡矩陣。定義3（過渡矩陣）定理1：過渡矩陣A是可逆陣。定理2：例1：對于n維空間中的兩組基

求過渡矩陣，并求向量在后一組基下的坐標。例2：引：三維空間中有放射坐標系，直角坐標系（兩兩正交，單位向量）第四節(jié)標準正交基與Schmidt正交化方法回顧：兩個n維向量內積的定義定義1（正交）定理1：

若n維向量是一組兩兩正交的非零向量，則線性無關。定義2（標準正交基）問：給定一組基—求出相應的正交化基？思考：得到標準正交基：－－施密特（Schmidt）正交化方法再令：例1：在R4中取定一組基試求出相應的一組標準正交基。例2：證明下向量組是一組正交基定義3（正交矩陣）定理2：性質：第六節(jié)線性方程組解的結構一、齊次線性方程組解的結構

設n個未知量m個方程的齊次線性方程組為AX=0，其中定義1

齊次線性方程組AX=0，記其解向量的全體為N(A)稱為方程組AX=0的解空間（又稱為A的零空間）。

定理1：

齊次線性方程組AX=0的解向量的線性組合仍然是這個方程組的解向量。定義2（基礎解系）定理2：求AX=0基礎解系的方法！