安徽省合肥市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

合肥六校聯(lián)盟20232024學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）命題學(xué)校：合肥十中命題教師：浦健審題教師：濮維燦一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)把正確答案涂在答題卡上.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先將全集用列舉法表示出來(lái)，然后根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意，又，所以，又，所以.故選：C.2.“”是“”的（）條件A.必要不充分 B.充分不必要C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法，結(jié)合充分不必要條件，可得答案.【詳解】由不等式，等價(jià)于，解得或，當(dāng)時(shí)，不等式一定成立，反之不一定.故選：B.3.設(shè)則（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的解析式直接求解即可.【詳解】因?yàn)?故選：C.4.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性判斷【詳解】，排除B,C又故選：A5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象可知為奇函數(shù)，即可根據(jù)奇偶性排除ABC，即可求解.【詳解】由圖象可知：為奇函數(shù)，且定義域?yàn)椋瑢?duì)于A,,故為偶函數(shù)，不符合要求，舍去，對(duì)于C，,故為偶函數(shù)，不符合要求，舍去，對(duì)于B，，故不是奇函數(shù)，不符合要求，舍去，故選：D6.將甲桶中的升水緩慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線.假設(shè)過(guò)后甲桶和乙桶的水量相等，若再等min甲桶中的水只有升，則的值為（）A.5 B.6 C.8 D.10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意建立方程組，根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可得答案.【詳解】由題意可得：，，，；，，，，解得.故選：D.7.定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，不等式可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)判斷的單調(diào)性即可求解不等式.【詳解】令，則，所以在R上單調(diào)遞增.，即，所以.故選：A8.點(diǎn)分別是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的切線與平行時(shí)，最小，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)即可.【詳解】當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的切線與平行時(shí)，最小.，令得或（舍），所以切點(diǎn)為，所以的最小值為切點(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為.故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)把正確答案涂在答題卡上.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若則C.“”是“”的必要條件D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)求解判斷；【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，不等式不成立，A錯(cuò)；選項(xiàng)B：兩邊分別同乘則有，故有，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C:當(dāng)時(shí)，“”不成立，然后，可以解得“”，故“”是“”的必要條件，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：則則有，選項(xiàng)D正確；故選；BCD.10.函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理直接判斷即可.【詳解】令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；又，所以，所以內(nèi)存在零點(diǎn)，故A正確；，所以，所以內(nèi)不存在零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；，所以，所以內(nèi)不存在零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；，所以，所以內(nèi)存在零點(diǎn)，故D正確.故選：AD11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為16 B.的最小值為9C.的最大值為2 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】由已知結(jié)合基本不等式判斷A和B；結(jié)合不等式性質(zhì)判斷C；結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，即，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，的最小值取到16，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到最小值為9，故B正確；由得，所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；，令，所以上式可化為，所以當(dāng)時(shí)，上式取到最小值，所以的最小值為，故D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù)且，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】先證明為奇函數(shù)，再進(jìn)行合理賦值逐個(gè)分析判斷.【詳解】對(duì)于D，為偶函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)可得，則為奇函數(shù)，則，令，則，，D對(duì)；對(duì)于C，令，可得，則，C錯(cuò)；對(duì)于B，，可得，可得，兩式相加可得，令，即可得，B對(duì)；又，則，，可得，所以是以為周期的函數(shù)，所以根據(jù)以上性質(zhì)不能推出，A不一定成立.故選：BD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則______.【答案】2【解析】【分析】先由冪函數(shù)的定義，得到，求出，再由題意，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以或，又在上單調(diào)遞減，由冪函數(shù)性質(zhì)，可得：，解得：，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，熟記冪函數(shù)的定義，以及冪函數(shù)的單調(diào)性即可，屬于常考題型.14.計(jì)算__________.【答案】50【解析】【分析】由指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】.故答案為：5015.設(shè)函數(shù)，若，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)法則，建立方程，可得答案.【詳解】由題意可知，且，則，整理可得，解得.故答案為：.16.已知函數(shù)，，若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】畫(huà)出的圖象，結(jié)合圖象及的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到的兩個(gè)不等零點(diǎn)，從而得到不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】畫(huà)出的圖象如下：因?yàn)樽疃鄡蓚€(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)，或時(shí)，有兩個(gè)不等零點(diǎn)，要想有六個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，要和分別有3個(gè)零點(diǎn)，則且，即的兩個(gè)不等零點(diǎn)，則要滿足，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：四?解答題：本題共6小題，共計(jì)70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?，函?shù)，的值域?yàn)榧?（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合，當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出集合，再利用并集的定義可求得集合；（2）分析可知，，利用函數(shù)的單調(diào)性求出集合，利用集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：對(duì)于函數(shù)，有，得，解得，得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，則，即，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，則，函數(shù)在上遞減，所以，且，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）求的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，帶入，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可求出的解析式；（2）對(duì)求導(dǎo)，討論與的大小，即可求出的單調(diào)性，比較極值點(diǎn)和的大小即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)則所以，故；【小問(wèn)2詳解】，令，解得：或，令，解得：，列表如下：112

+00+

1單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值1單調(diào)遞增2所以的值域?yàn)?9.設(shè)函數(shù)且為奇函數(shù)，且.（1）求，的值；（2），使得不等式成立，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)可知，解出，由解出；（2）據(jù)題意可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成，利用基本不等式即可求.【小問(wèn)1詳解】是上的奇函數(shù)，，即，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.又，即，解得（舍去），.故，.【小問(wèn)2詳解】，使得，即，在上單調(diào)遞增，，使得，即，使得，所以，又因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以.20.如圖所示，一座小島距離海岸線上的點(diǎn)的距離是，從點(diǎn)沿海岸正東處有一個(gè)城鎮(zhèn).一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度是（單位：）表示他從小島到城鎮(zhèn)所用的時(shí)間，（單位：）表示小船?？奎c(diǎn)距點(diǎn)的距離.（1）將表示為的函數(shù)，并注明定義域；（2）此人將船停海岸線上何處時(shí)，所用時(shí)間最少？【答案】（1）（2）此人將船停在點(diǎn)沿海岸正東處，所用時(shí)間最少.【解析】【分析】（1）根據(jù)題目信息將表示為的函數(shù)即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：【小問(wèn)2詳解】，由解得上遞增，列表如下：0+單調(diào)遞減最小值單調(diào)遞增所以此人將船停在點(diǎn)沿海岸正東處，所用時(shí)間最少.21.已知（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，求斜率利用點(diǎn)斜式求方程即可：（2）令導(dǎo)函數(shù)為0，轉(zhuǎn)化為則，記此方程的實(shí)數(shù)根為，且利用零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性得轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)求最值即可證明【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)為，所以在處的切線方程為，即【小問(wèn)2詳解】證明：的定義域?yàn)?，，令，則，記此方程的實(shí)數(shù)根為，且記，由，則知.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，則是函數(shù)唯一的極值點(diǎn)，，其中，所以，記，所以在單調(diào)遞減，，故22設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，討論a的正負(fù)判斷單調(diào)性（2）法一：構(gòu)造新函數(shù)，含參討論求最值求解：法二：分離參數(shù)法，求最值求解【小問(wèn)1詳解】.①當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)