第10部分-計算機圖形學(xué)-Bezier曲線資料

11/15/2019李輝副教授Bezier曲線Rayray@內(nèi)容第10部分Bezier曲線第2頁11/15/2019Bezier曲線歷史Bezier曲線的定義Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)Bezier曲線的性質(zhì)Bezier曲線的遞推算法Bezier曲線的拼接Bezier曲線的升階和降階Bezier曲線歷史第10部分Bezier曲線第3頁11/15/2019由于幾何外形設(shè)計的要求越來越高,傳統(tǒng)的曲線曲面表示方法,已不能滿足用戶的需求。1962年，法國雷諾汽車公司的P.E.Bezier構(gòu)造了一以逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線和曲面的設(shè)計方法，并用這種方法完成了一種稱為UNISURF的曲線和曲面設(shè)計系統(tǒng)，1972年，該系統(tǒng)被投入了應(yīng)用。三次Bezier曲線示例0P1P2P3PP0第10部分Bezier曲線第4頁11/15/2019P1P23PBezier曲線的定義定義–給定空間n+1個點的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier曲線可定義為：其中：Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是次Bernstein基函數(shù)：第10部分Bezier曲線第5頁11/15/2019Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)1.正性2.端點性質(zhì)第10部分Bezier曲線第6頁11/15/20193.權(quán)性4.對稱性第10部分Bezier曲線第7頁11/15/20195.遞推性第10部分Bezier曲線第8頁11/15/20196.

導(dǎo)函數(shù)第10部分Bezier曲線第9頁11/15/2019Bezier曲線的性質(zhì)1.端點性質(zhì)–?曲線端點位置矢量由Bernstein基函數(shù)的端點性質(zhì)可以推得，當(dāng)t=0時，P(0)=P0

；當(dāng)t=1時，P(1)=Pn。由此可見，Bezier曲線的起點、終點與相應(yīng)的特征多邊形的起點、終點重合。第10部分Bezier曲線第10頁11/15/2019–切矢量?當(dāng)t=0時，P’(0)=n(P1-P0)，當(dāng)t=1時，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，

說明Bezier曲線的起點和終點處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。第10部分Bezier曲線第11頁11/15/2019–二階導(dǎo)矢當(dāng)t=0時當(dāng)t=1時結(jié)論：2階導(dǎo)矢只與相鄰的3個頂點有關(guān)第10部分Bezier曲線第12頁11/15/20192.對稱性– 由控制頂點構(gòu)造出的新Bezier曲線，與原Bezier曲線形狀相同，走向相反。因為：第10部分Bezier曲線第13頁11/15/20193.凸包性且

Bezier曲線P(t)在 中各點是控制點Pi的凸線組合，即曲線落在Pi構(gòu)成的凸包之中。凸包第10部分Bezier曲線第14頁11/15/20194.幾何不變性第10部分Bezier曲線第15頁11/15/2019– Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點Pi(i=01,…,n)的位置有關(guān)，不依賴坐標(biāo)系的選擇。變差縮減性

若Bezier曲線的特征多邊形是一個平面圖形

P0P1…Pn，則平面內(nèi)任意直線與C(t)的交點個數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點個數(shù)，這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。

此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動還小，也就是說Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。Bezier曲線的矩陣表示一次第10部分Bezier曲線第16頁11/15/2019三次二次需求–計算Bezier曲線上的點，可用Bezier曲線方程，但用de

Casteljau提出的遞推算法則要簡單的多?；具f推算法–拋物線三切線定理Bezier曲線的遞推算法P1P0P21P

10P10P

2Bezier曲線上的點第10部分Bezier曲線第17頁11/15/2019P0P2P1P

110P10P

2第10部分Bezier曲線第18頁11/15/2019遞推性質(zhì)–當(dāng)t從0變到1時，它表示了由三頂點P0、P1、P2三點定義的一條二次Bezier曲線。第10部分Bezier曲線第19頁11/15/2019–二次Bezier曲線P2

可以定義為分別由前兩個頂點0（P0，P1）和后兩個頂點（P1，P2）決定的一次Bezier曲線的線性組合。–由四個控制點定義的三次Bezier曲線P3

可被定義為0分別由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合–由(n+1)個控制點Pi(i=0,1,...,n)定義的n次Bezi0Pn

可被定義為分別由前、后n個控制點定義的兩條(n-1)次Bezier曲線P0n-1

n-1與P1

的線性組合：–由此得到Bezier曲線的遞推計算公式這便是著名的de

Casteljau算法。Pn

即為曲線P(t)上具有參數(shù)t的點。0第10部分Bezier曲線第20頁11/15/2019P01P2PP30P

11P120P

210P1

P

2

P

3n=3時第10部分Bezier曲線第21頁11/15/2019iP

n

的遞推關(guān)系幾何作圖法求Bezier曲線上一點（n=3，t=1/3）0P3=

P(1/3)0

11/3P0P12P3P0P11P12P12P01P2第10部分Bezier曲線第22頁11/15/2019Bezier曲線的拼接第10部分Bezier曲線第23頁11/15/2019拼接的需求–幾何設(shè)計中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。這是由于增加由于特征多邊形的頂點數(shù)，會引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項式又會帶來計算上的困難，實際使用中，一般不超過10次。所以有時采用分段設(shè)計，然后將各段曲線相互連接

起來，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。b1Pn-2Pn-1P(t)an-1anPnQ

0Q

1b2Q

2Q(t)要使它們達(dá)到G0連續(xù)的充要條件是：Pn=Q0；

要使它們達(dá)到G1連續(xù)的充要條件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三點共線，即：第10部分Bezier曲線第24頁11/15/2019Bezier曲線的升階與降階原始控制頂點P0,P1,...,Pn新控制頂點為P0

,P1

,...,Pn+1*

*

*第10部分Bezier曲線第25頁11/15/2019從Bezier曲線到B樣條曲線第10部分Bezier曲線第26頁11/15/2019

以Bernstein基函數(shù)構(gòu)造的Bezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點不足：其一是Bezier曲線或曲面不能作局部修改；其二是Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜。1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B樣條方法，在保留Bezier方法全部優(yōu)點的同時，克服了Bezier方法的弱點。B樣條曲線在上式中，0≤t≤1；i=0,1,2,…,m所以可以看出：Ｂ樣條曲線是分段定義的。如果給定m+n+1個頂點Pi(i=0,1,2,…,m+n)，則可定義m+1段n次的參數(shù)曲線。Ｂ樣條曲線第10部分Bezier曲線第27頁11/15/2019B樣條基函數(shù)F

k,n

(t)為n次B樣條基函數(shù)，也稱

Ｂ樣條分段混合函數(shù)：第10部分Bezier曲線第28頁11/15/2019式中：0≤t

≤1k

=

0,

1,

2,

…,

n0,1,2,……,n1,2,……,n+1……m,m+1,……,m+n一共m+n+1個頂點,每n+1個點一段，共m+1段.二次B樣條曲線n=2,二次B樣條曲線m+n+1個頂點，三點一段，共m+1段。第10部分