第10部分-計(jì)算機(jī)圖形學(xué)-Bezier曲線資料

11/15/2019李輝副教授Bezier曲線Rayray@內(nèi)容第10部分Bezier曲線第2頁11/15/2019Bezier曲線歷史Bezier曲線的定義Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)Bezier曲線的性質(zhì)Bezier曲線的遞推算法Bezier曲線的拼接Bezier曲線的升階和降階Bezier曲線歷史第10部分Bezier曲線第3頁11/15/2019由于幾何外形設(shè)計(jì)的要求越來越高,傳統(tǒng)的曲線曲面表示方法,已不能滿足用戶的需求。1962年，法國(guó)雷諾汽車公司的P.E.Bezier構(gòu)造了一以逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線和曲面的設(shè)計(jì)方法，并用這種方法完成了一種稱為UNISURF的曲線和曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)，1972年，該系統(tǒng)被投入了應(yīng)用。三次Bezier曲線示例0P1P2P3PP0第10部分Bezier曲線第4頁11/15/2019P1P23PBezier曲線的定義定義–給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier曲線可定義為：其中：Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是次Bernstein基函數(shù)：第10部分Bezier曲線第5頁11/15/2019Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)1.正性2.端點(diǎn)性質(zhì)第10部分Bezier曲線第6頁11/15/20193.權(quán)性4.對(duì)稱性第10部分Bezier曲線第7頁11/15/20195.遞推性第10部分Bezier曲線第8頁11/15/20196.

導(dǎo)函數(shù)第10部分Bezier曲線第9頁11/15/2019Bezier曲線的性質(zhì)1.端點(diǎn)性質(zhì)–?曲線端點(diǎn)位置矢量由Bernstein基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)可以推得，當(dāng)t=0時(shí)，P(0)=P0

；當(dāng)t=1時(shí)，P(1)=Pn。由此可見，Bezier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。第10部分Bezier曲線第10頁11/15/2019–切矢量?當(dāng)t=0時(shí)，P’(0)=n(P1-P0)，當(dāng)t=1時(shí)，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，

說明Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。第10部分Bezier曲線第11頁11/15/2019–二階導(dǎo)矢當(dāng)t=0時(shí)當(dāng)t=1時(shí)結(jié)論：2階導(dǎo)矢只與相鄰的3個(gè)頂點(diǎn)有關(guān)第10部分Bezier曲線第12頁11/15/20192.對(duì)稱性– 由控制頂點(diǎn)構(gòu)造出的新Bezier曲線，與原Bezier曲線形狀相同，走向相反。因?yàn)椋旱?0部分Bezier曲線第13頁11/15/20193.凸包性且

Bezier曲線P(t)在 中各點(diǎn)是控制點(diǎn)Pi的凸線組合，即曲線落在Pi構(gòu)成的凸包之中。凸包第10部分Bezier曲線第14頁11/15/20194.幾何不變性第10部分Bezier曲線第15頁11/15/2019– Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn)Pi(i=01,…,n)的位置有關(guān)，不依賴坐標(biāo)系的選擇。變差縮減性

若Bezier曲線的特征多邊形是一個(gè)平面圖形

P0P1…Pn，則平面內(nèi)任意直線與C(t)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。

此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動(dòng)還小，也就是說Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。Bezier曲線的矩陣表示一次第10部分Bezier曲線第16頁11/15/2019三次二次需求–計(jì)算Bezier曲線上的點(diǎn)，可用Bezier曲線方程，但用de

Casteljau提出的遞推算法則要簡(jiǎn)單的多?；具f推算法–拋物線三切線定理Bezier曲線的遞推算法P1P0P21P

10P10P

2Bezier曲線上的點(diǎn)第10部分Bezier曲線第17頁11/15/2019P0P2P1P

110P10P

2第10部分Bezier曲線第18頁11/15/2019遞推性質(zhì)–當(dāng)t從0變到1時(shí)，它表示了由三頂點(diǎn)P0、P1、P2三點(diǎn)定義的一條二次Bezier曲線。第10部分Bezier曲線第19頁11/15/2019–二次Bezier曲線P2

可以定義為分別由前兩個(gè)頂點(diǎn)0（P0，P1）和后兩個(gè)頂點(diǎn)（P1，P2）決定的一次Bezier曲線的線性組合。–由四個(gè)控制點(diǎn)定義的三次Bezier曲線P3

可被定義為0分別由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合–由(n+1)個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0,1,...,n)定義的n次Bezi0Pn

可被定義為分別由前、后n個(gè)控制點(diǎn)定義的兩條(n-1)次Bezier曲線P0n-1

n-1與P1

的線性組合：–由此得到Bezier曲線的遞推計(jì)算公式這便是著名的de

Casteljau算法。Pn

即為曲線P(t)上具有參數(shù)t的點(diǎn)。0第10部分Bezier曲線第20頁11/15/2019P01P2PP30P

11P120P

210P1

P

2

P

3n=3時(shí)第10部分Bezier曲線第21頁11/15/2019iP

n

的遞推關(guān)系幾何作圖法求Bezier曲線上一點(diǎn)（n=3，t=1/3）0P3=

P(1/3)0

11/3P0P12P3P0P11P12P12P01P2第10部分Bezier曲線第22頁11/15/2019Bezier曲線的拼接第10部分Bezier曲線第23頁11/15/2019拼接的需求–幾何設(shè)計(jì)中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。這是由于增加由于特征多邊形的頂點(diǎn)數(shù)，會(huì)引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項(xiàng)式又會(huì)帶來計(jì)算上的困難，實(shí)際使用中，一般不超過10次。所以有時(shí)采用分段設(shè)計(jì)，然后將各段曲線相互連接

起來，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。b1Pn-2Pn-1P(t)an-1anPnQ

0Q

1b2Q

2Q(t)要使它們達(dá)到G0連續(xù)的充要條件是：Pn=Q0；

要使它們達(dá)到G1連續(xù)的充要條件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三點(diǎn)共線，即：第10部分Bezier曲線第24頁11/15/2019Bezier曲線的升階與降階原始控制頂點(diǎn)P0,P1,...,Pn新控制頂點(diǎn)為P0

,P1

,...,Pn+1*

*

*第10部分Bezier曲線第25頁11/15/2019從Bezier曲線到B樣條曲線第10部分Bezier曲線第26頁11/15/2019

以Bernstein基函數(shù)構(gòu)造的Bezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點(diǎn)不足：其一是Bezier曲線或曲面不能作局部修改；其二是Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜。1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B樣條方法，在保留Bezier方法全部?jī)?yōu)點(diǎn)的同時(shí)，克服了Bezier方法的弱點(diǎn)。B樣條曲線在上式中，0≤t≤1；i=0,1,2,…,m所以可以看出：Ｂ樣條曲線是分段定義的。如果給定m+n+1個(gè)頂點(diǎn)Pi(i=0,1,2,…,m+n)，則可定義m+1段n次的參數(shù)曲線。Ｂ樣條曲線第10部分Bezier曲線第27頁11/15/2019B樣條基函數(shù)F

k,n

(t)為n次B樣條基函數(shù)，也稱

Ｂ樣條分段混合函數(shù)：第10部分Bezier曲線第28頁11/15/2019式中：0≤t

≤1k

=

0,

1,

2,

…,

n0,1,2,……,n1,2,……,n+1……m,m+1,……,m+n一共m+n+1個(gè)頂點(diǎn),每n+1個(gè)點(diǎn)一段，共m+1段.二次B樣條曲線n=2,二次B樣條曲線m+n+1個(gè)頂點(diǎn)，三點(diǎn)一段，共m+1段。第10部分