新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義第十五講平面向量（含解析）

第十五講：平面向量【考點(diǎn)梳理】平面向量的兩個(gè)定理（1）向量共線定理：如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；反之，如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．（2）平面向量基本定理：如果SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量SKIPIF1<0，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，我們把不共線向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0關(guān)于基底SKIPIF1<0的分解式．2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算①已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<03.平面向量線性運(yùn)算的常用結(jié)論（1）已知O為平面上任意一點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是存在s,t，使得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，AD是BC邊上的中線，則SKIPIF1<0【典型題型講解】考點(diǎn)一：平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算【典例例題】例1．（2022·廣東珠?！じ呷谀┰赟KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高；O為SKIPIF1<0上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：C．例2．（2022·廣東中山·高三期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為60°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．12【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：（1）運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至用基底表示為止．（2）將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三點(diǎn)共線定理：A，B，P三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，O為AB外一點(diǎn).【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東潮州·高三期末）在SKIPIF1<0的等腰直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】以SKIPIF1<0為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A2．（2022·廣東汕尾·高三期末）對(duì)于非零向量SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】對(duì)于非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，充分性成立，但SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0的方向不定，不能推出SKIPIF1<0，必要性不成立，故選：A．3．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）已知P是邊長(zhǎng)為4的正三角形SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．16 B．12 C．5 D．4【答案】C【詳解】如圖，延長(zhǎng)SKIPIF1<0到D，使得SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以點(diǎn)P在直線SKIPIF1<0上．取線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)O，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．顯然當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．故選：C.4．（多選）（2022·廣東深圳·高三期末）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【詳解】通過(guò)向量加法的平行四邊形法則可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，選項(xiàng)A正確；SKIPIF1<0，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向不同，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；延長(zhǎng)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0,通過(guò)向量減法的三角形法則可知SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，選項(xiàng)D正確.故選：AD.5．（多選）（2021·廣東汕頭·高三期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=4，SKIPIF1<0，E為CD的中點(diǎn)，AE與DB交于F，則（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【詳解】平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為0，所以A正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以B正確；SKIPIF1<0，所以C不正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D不正確.故選：AB6.（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】試題分析：由題意SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0考點(diǎn)：本題考查向量垂直的充要條件，向量的數(shù)量積的運(yùn)算點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是掌握向量垂直的充要條件7.（2022·廣東汕尾·高三期末）已知非零向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0【詳解】非零向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.8．（2022·廣東廣州·一模）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0，點(diǎn)P在BC邊上（包括端點(diǎn)），則SKIPIF1<0的取值范圍是___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖示，以C為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為x軸正方向，過(guò)C垂直向上方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.因?yàn)辄c(diǎn)P在BC邊上（包括端點(diǎn)），所以SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典型題型講解】考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例例題】例1．（2022·廣東深圳·二模）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.例2.（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知向量SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0可以表示平面內(nèi)任一向量B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角【答案】BC【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，SKIPIF1<0可以表示平面內(nèi)任一向量，所以SKIPIF1<0，解得:SKIPIF1<0且SKIPIF1<0A錯(cuò)誤；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，B正確；若SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，C正確；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，夾角不是銳角，SKIPIF1<0錯(cuò)誤.故選：SKIPIF1<0.例3.在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【詳解】在正方形ABCD中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.故選：B【方法技巧與總結(jié)】熟記平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，學(xué)會(huì)建立直角坐標(biāo)系.【變式訓(xùn)練】1.（2021·廣東佛山·一模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_____．【答案】-4【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<02.（2022·廣東湛江·一模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<03．（2022·廣東廣東·一模）已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<04．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)二模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：A.5．（2022·廣東茂名·二模）已知向量SKIPIF1<0（t，2t），SKIPIF1<0＝（﹣t，1），若（SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0）⊥（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0），則t＝_____．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)椋⊿KIPIF1<0﹣SKIPIF1<0）⊥（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0．6.已知正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________；SKIPIF1<0___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【解析】【詳解】解：以A為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；10.【鞏固練習(xí)】一、單選題1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．零向量與任一向量都平行 B．方向相反的兩個(gè)向量一定共線C．單位向量長(zhǎng)度都相等 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為非零向量，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】D【詳解】規(guī)定：零向量與任一向量都平行，故A正確；方向相反的兩個(gè)向量一定共線，故B正確；單位向量長(zhǎng)度都為1，故C正確；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0成立，但SKIPIF1<0不一定成立，故D錯(cuò)誤；故選：D.2．已知下列結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0⑤若SKIPIF1<0，則對(duì)任一非零向量SKIPIF1<0有SKIPIF1<0；⑥若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中至少有一個(gè)為SKIPIF1<0；⑦若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是兩個(gè)單位向量，則SKIPIF1<0.則以上結(jié)論正確的是（

）A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤【答案】C【詳解】（1）SKIPIF1<0，故錯(cuò)誤；（2）SKIPIF1<0根據(jù)數(shù)乘的定義，正確；（3）SKIPIF1<0是表達(dá)式錯(cuò)誤，0是數(shù)量，SKIPIF1<0是向量，這樣的表達(dá)式?jīng)]有意義，故錯(cuò)誤；（4）SKIPIF1<0，故錯(cuò)誤；（5）當(dāng)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故錯(cuò)誤；（6）同（5），錯(cuò)誤；（7）SKIPIF1<0，故正確；故選：C.3．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．0 B．1 C．2 D．2SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0.故選：C.4．下面四個(gè)命題哪些是平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線的充要條件（

）A．存在一個(gè)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向相同或相反 D．存在不全為零的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0為零向量，SKIPIF1<0為非零向量時(shí)，SKIPIF1<0，則AC選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)SKIPIF1<0為非零向量且SKIPIF1<0同向時(shí)，SKIPIF1<0，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)共線向量基本定理的推論可知，D選項(xiàng)正確.故選：D5．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，且向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量不共線，∴存在實(shí)數(shù)k，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：B．6．SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，點(diǎn)E滿足SKIPIF1<0，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】在△ABC中，由余弦定理得：SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)锳、B、D三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)锳B=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A7．在SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段SKIPIF1<0（不含端點(diǎn)）內(nèi)的任意一點(diǎn)，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D是線段SKIPIF1<0（不含端點(diǎn)）內(nèi)的任意一點(diǎn)，所以可設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以A，B，D錯(cuò)誤，C正確，故選：C.8．已知D，E為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．-3 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：A.二、多選題9．已知向量SKIPIF1<0不共線，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，則角SKIPIF1<0的值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【解析】【詳解】SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，即SKIPIF1<0共線，所以存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0不共線，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：CD．10．如圖，直角三角形ABC中，D，E是邊AC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，G是BE的中點(diǎn)，直線AG分別與BD，BC交于點(diǎn)F，H設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又F為SKIPIF1<0的重心，則SKIPIF1<0，直線AG的方程為SKIPIF1<0，直線BC的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：ACD．11．已知向量SKIPIF1<0，將向量SKIPIF1<0繞原點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到向量SKIPIF1<0，將向量SKIPIF1<0繞原點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到向量SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】解：由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，