哈工大熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理大作業(yè)黑體輻射

黑體輻射黑體輻射摘要：敘述了黑體輻射公式中幾個(gè)重要結(jié)果維恩定律，瑞利－金斯公式和普朗克公式的建立過(guò)程，遵循普朗克的思路給出了普朗克公式的量子論解釋。關(guān)鍵詞：黑體輻射；維恩定律；瑞利－金斯公式；普朗克公式；普朗克量子論引言：所謂黑體，就是對(duì)什么光都吸收而無(wú)反射也無(wú)透射的物體。黑體是不存在的，就像質(zhì)點(diǎn)，剛體，電偶極子等物理概念一樣是一個(gè)理想化的物理模型。物理上可以用如圖1所示的裝置來(lái)模擬黑體。耐火材料做成的物體內(nèi)部挖空一部分區(qū)域，并且在物體一個(gè)面開(kāi)一個(gè)非常小的小孔，一旦光線射進(jìn)小孔后，在空腔內(nèi)壁經(jīng)過(guò)多次吸收和反射，幾乎完全被吸收掉，再跑出小孔的幾率特別小，因此可以把空腔的小孔視為黑體的表面。定義吸收本領(lǐng)α(ν,T)為在頻率ν附近，單位頻率間隔內(nèi)被物體吸收的輻射通量與照射在該物體上的輻射通量之比，則黑體的吸收本領(lǐng)α(ν,T)=1。問(wèn)題來(lái)源：牛頓在十七世紀(jì)建立了古典力學(xué)，成為科學(xué)發(fā)展的一個(gè)里程碑。隨后兩百多年，科學(xué)家們以牛頓力學(xué)的模式，建立了有關(guān)聲學(xué)、彈性力學(xué)、熱力學(xué)、電磁學(xué)等古典物理學(xué)門，并成功解釋了幾乎所有當(dāng)時(shí)已知物質(zhì)世界的性質(zhì)。到了十九世紀(jì)末，古典物理似乎已經(jīng)趨于完備。當(dāng)時(shí)英國(guó)著名的物理學(xué)家凱爾文爵士就說(shuō)過(guò)：「在已建立的科學(xué)大廈中，后輩物理學(xué)家只能作一些零碎的修補(bǔ)工作了」。然而，凱爾文同時(shí)也指出了“在物理學(xué)晴朗天空遠(yuǎn)處，還有兩朵小小的令人不安的烏云”。這兩朵烏云，指的是當(dāng)時(shí)令人困惑的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果：一個(gè)是企圖找出當(dāng)時(shí)深信存在的傳播光波的介質(zhì)（俗稱“以太”）但告失敗的實(shí)驗(yàn)﹔另一個(gè)是古典物理理論結(jié)果輿熱輻射實(shí)驗(yàn)的嚴(yán)重偏離，亦稱為“紫外災(zāi)難”(ultravioletcatastrophe)。當(dāng)時(shí)幾乎沒(méi)人想到，這兩朵小小的烏云竟為物理學(xué)帶來(lái)空前的革命：第一朵烏云導(dǎo)致了愛(ài)因斯坦（A.Einstein）的相對(duì)論，從而徹底改變了人們的時(shí)空觀﹔而第二朵烏云則揭開(kāi)了量子科技革命的序幕。正文：1、維恩公式實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：熱平衡時(shí)，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長(zhǎng)的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對(duì)溫度T有關(guān)而與黑體的形狀和材料無(wú)關(guān)。其分布如REF_Ref403996746\h圖-1所示。從熱力學(xué)出發(fā)加上一些特殊的假設(shè)，得到一個(gè)分布公式：如REF_Ref403997057\h圖-2所示，可以看到，Wien公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)還相符合，長(zhǎng)波部分則明顯不一致。圖-圖-SEQ圖-\*ARABIC2圖-SEQ圖-\*ARABIC12、瑞利－金斯公式

另一個(gè)較為成功公式是基于經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)導(dǎo)出的瑞利－金斯公式，如圖4所示瑞利－金斯公式適用于低頻部分的黑體輻射實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在高頻部分黑體輻射本領(lǐng)趨向于無(wú)窮大，與實(shí)驗(yàn)矛盾，史稱紫外災(zāi)難?？涨粌?nèi)電磁波和腔壁做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的原子交換能量達(dá)到平衡時(shí)滿足的條件是為輻射場(chǎng)的譜能量密度，為單位體積，ν附近單位頻率區(qū)間內(nèi)電磁波振動(dòng)模式數(shù)目，為空腔器壁原子做諧振動(dòng)的平均能量。為了計(jì)算諧振子的平均能量，瑞利和金斯采用統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的能均分定理將上式代入（1）式得到黑體輻射的瑞利－金斯公式很明顯，瑞利－金斯也符合維恩定律式的形式，不過(guò)沒(méi)有出現(xiàn)位移的峰值。黑體輻射的高頻部分當(dāng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是瑞利－金斯公式和實(shí)驗(yàn)的矛盾表明，該公式在推導(dǎo)過(guò)程中使用的能均分定理有問(wèn)題，事實(shí)上求解諧振子平均能量時(shí)的積分表明瑞利、金斯默認(rèn)了能量無(wú)限可分的觀念。普朗克公式普朗克的黑體輻射公式包含了兩個(gè)常量C1和C2，而不再使用參數(shù),αβ。由內(nèi)插維恩公式和瑞利－金斯公式得到的黑體輻射公式能和當(dāng)時(shí)最精確的黑體輻射實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。將能量E劃分為P個(gè)相等的能量單元ε，于是有。這些能量單位可以按不同的比例分配給N個(gè)諧振子，這些能量單元都是不可區(qū)分的。P個(gè)能量單元分配到N個(gè)諧振子的分配方案數(shù)共有分配方案數(shù)Ω和N個(gè)諧振子的玻爾茲曼熵之間的關(guān)系為代入上式得到將諧振子平均能量代入上式得到N個(gè)諧振子的熵。我們又知道N個(gè)諧振子的熵是單個(gè)諧振子熵的N倍。于是單個(gè)諧振子的熵為。將上式對(duì)ε微分，我們得到諧振子的平均能量為將平均能量式代入。得黑體輻射本領(lǐng)。諧振子的能量單元必然正比于輻射場(chǎng)的頻率，令我們便得到了普朗克的黑體輻射公式。三者圖像的對(duì)比如REF_Ref403998491\h圖-5所示。圖-圖-SEQ圖-\*ARABIC5從維恩定律、瑞利－金斯公式再到普朗克公式的建立過(guò)程來(lái)看，熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理在其中起到了工具的作用，而普朗克的量子論的闡述過(guò)程中，玻爾茲曼熵的概念更是用到極致。黑體輻射定律的建立和熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的緊密關(guān)聯(lián)，似乎也是情理之中，因?yàn)楹隗w輻射本身就是熱輻射的一個(gè)特殊情況。普朗克的成功除了得益于深厚的熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的根底，敏銳的頭腦，還在于他十分注意最新實(shí)驗(yàn)的發(fā)展，在1900年魯本斯和庫(kù)爾玻姆實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)黑體輻射低頻段與維恩公式明顯偏離后，普朗克不得不修正他當(dāng)時(shí)已取得結(jié)果。普朗克量子論假說(shuō)具有劃時(shí)代的意義，能量單元的存在它打破了能