初中數(shù)學(xué) 2020年中考數(shù)學(xué)二輪沖刺核心復(fù)習(xí)重難熱點(diǎn)第09講 四邊形的存在性

2020中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)/熱點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)公式如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，，且為線段中點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為.圖1圖2證明如下：如圖2，分別過(guò)點(diǎn)A，C作y軸平行線，過(guò)點(diǎn)B作x軸平行線，分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，則由圖可得：，即，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，可巧記為“中點(diǎn)對(duì)應(yīng)平均數(shù)”.一、平行四邊形四頂點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系如圖3，在平行四邊形ABCD中，有，即相對(duì)兩頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和相等；或者也可記為，即對(duì)邊兩頂點(diǎn)之間的水平距離與垂直距離分別相等； 圖3證明：如圖4，因?yàn)镸點(diǎn)既是AC中點(diǎn)，也是BD中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，，故有成立，圖4利用此關(guān)系可以在二次函數(shù)解答題中進(jìn)行相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)求解.二、平行四邊形點(diǎn)的存在性問(wèn)題解法第一步：寫(xiě)出或設(shè)出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步：以“哪兩個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)”為分類標(biāo)準(zhǔn)，分三類討論，利用上述模型，求出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；第三步：將第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可?！纠}1】（貴陽(yáng)中考）如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，﹣4）的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A（﹣2，0），B兩點(diǎn)．（1）a0，b2﹣4ac0（填“＞”或“＜”）；（2）若該拋物線關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，連接AC，E是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例題2】已知如圖，矩形OABC的長(zhǎng)OA＝，寬OC＝1，將△AOC沿AC翻折得△APC．（1）求∠PCB的度數(shù)；（2）若P，A兩點(diǎn)在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并說(shuō)明點(diǎn)C在此拋物線上；（3）（2）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于另外一點(diǎn)E，若點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn)，N是y軸上的點(diǎn)，以點(diǎn)E、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．【例題3】（2020?河南模擬）如圖，直線y＝﹣2x+12與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝3ax2+10x+3c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作EF∥y軸交x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)M．（1）求拋物線的解析式；（2）求線段EM的最大值；（3）在（2）的條件下，連接AM，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，A，M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例題4】如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝的圖象交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥y軸于點(diǎn)C，且CM＝1，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D，且DN＝1．已知點(diǎn)P是x軸（除原點(diǎn)O外）上一點(diǎn)．（1）直接寫(xiě)出M、N的坐標(biāo)及k的值；（2）將線段CP繞點(diǎn)P按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q能否在反比例函數(shù)的圖象上？如果能，求出所有的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，是否存在反比例函數(shù)圖象（第一象限的一支）上的點(diǎn)S，使得以P、S、M、N四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合題意的點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例題5】（2020?安陽(yáng)模擬）如圖，直線y＝x﹣4與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M在拋物線上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO＝45°時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA由C向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC由B向C運(yùn)動(dòng)，P，Q的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某些時(shí)刻t，以C，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．1．如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，3），頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；2．如圖1，已知直線y＝2x分別與雙曲線y＝，y＝交于第一象限內(nèi)P，Q兩點(diǎn)，且OQ＝PQ．（1）則P點(diǎn)坐標(biāo)是；k＝．（2）如圖2，若點(diǎn)A是雙曲線y＝在第一象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y＝于點(diǎn)B，C；①連接BC，請(qǐng)你探索在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABC的面積是否變化，若不變，請(qǐng)求出△ABC的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)D是直線y＝2x上的一點(diǎn)，請(qǐng)你進(jìn)一步探索在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝﹣在第二象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)A，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）求∠BCO的度數(shù)；（2）若y軸上一點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是4，且AM＝BM，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．5．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），設(shè)頂點(diǎn)為P，與X軸的另一交點(diǎn)B．（1）求b的值和點(diǎn)P、點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在直線上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），將該拋物線位于x軸上方曲線記作M，將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得曲線記作N，曲線N交y軸于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）求曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求△ABC外接圓的半徑；（3）點(diǎn)P為曲線M或曲線N上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．6．（2020?山西模擬）綜合與探究．如圖1，拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)E（0，2）．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)及直線BE的解析式．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作BE的平行線交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上位于線段AD下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，求OAPD面積的最大值．（3）若（2）中的點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0）和點(diǎn)B（3，0）．與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．有一寬度為1，長(zhǎng)度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對(duì)邊交拋物線于點(diǎn)P和Q，交直線AC于點(diǎn)M和N．交x軸于點(diǎn)E和F．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)M和N都在線段AC上時(shí)，連接MF，如果sin∠AMF＝，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）在矩形的平移過(guò)程中，當(dāng)以點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．8．（2017春?亭湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝x+1交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上，用含m的代數(shù)式表示線段PC的長(zhǎng)，并求出線段PC的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若P是拋物線上任意一點(diǎn)，且滿足0°＜∠PAB≤45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出：①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍；②縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P為“巧點(diǎn)”，求“巧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．【參考答案】【例題1】（貴陽(yáng)中考）如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，﹣4）的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A（﹣2，0），B兩點(diǎn)．（1）a＞0，b2﹣4ac＞0（填“＞”或“＜”）；（2）若該拋物線關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，連接AC，E是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）a＞0，b2﹣4ac＞0；（2）∵直線x＝2是對(duì)稱軸，A（﹣2，0），∴B（6，0），∵點(diǎn)C（0，﹣4），將A，B，C的坐標(biāo)分別代入y＝ax2+bx+c，解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣4，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣4；（3）存在，理由為：（i）假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸，交拋物線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交x軸于點(diǎn)F，如圖1所示，則四邊形ACEF即為滿足條件的平行四邊形，∵拋物線y＝x2﹣x﹣4關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，∴由拋物線的對(duì)稱性可知，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，又∵OC＝4，∴E的縱坐標(biāo)為﹣4，∴存在點(diǎn)E（4，﹣4）；（ii）假設(shè)在拋物線上還存在點(diǎn)E′，使得以A，C，F(xiàn)′，E′為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)E′作E′F′∥AC交x軸于點(diǎn)F′，則四邊形ACF′E′即為滿足條件的平行四邊形，∴AC＝E′F′，AC∥E′F′，如圖2，過(guò)點(diǎn)E′作E′G⊥x軸于點(diǎn)G，∵AC∥E′F′，∴∠CAO＝∠E′F′G，又∵∠COA＝∠E′GF′＝90°，AC＝E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，∴E′G＝CO＝4，∴點(diǎn)E′的縱坐標(biāo)是4，∴4＝x2﹣x﹣4，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（2+2，4），同理可得點(diǎn)E″的坐標(biāo)為（2﹣2，4），綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，﹣4），（2+2，4），（2﹣2，4）．【例題2】已知如圖，矩形OABC的長(zhǎng)OA＝，寬OC＝1，將△AOC沿AC翻折得△APC．（1）求∠PCB的度數(shù)；（2）若P，A兩點(diǎn)在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并說(shuō)明點(diǎn)C在此拋物線上；（3）（2）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于另外一點(diǎn)E，若點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn)，N是y軸上的點(diǎn)，以點(diǎn)E、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．【解析】（1）在Rt△OAC中，OA＝，OC＝1，則∠OAC＝30°，∠OCA＝60°；根據(jù)折疊的性質(zhì)知：OA＝AP＝，∠ACO＝∠ACP＝60°；∵∠BCA＝∠OAC＝30°，且∠ACP＝60°，∴∠PCB＝30°．（2）過(guò)P作PQ⊥OA于Q；Rt△PAQ中，∠PAQ＝60°，AP＝；∴OQ＝AQ＝，PQ＝，所以P（，）；將P、A代入拋物線的解析式中，得：，解得；即y＝﹣x2+x+1；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，故C（0，1）在拋物線的圖象上．（3）①若DE是平行四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)C在y軸上，CD平行x軸，∴過(guò)點(diǎn)D作DM∥CE交x軸于M，則四邊形EMDC為平行四邊形，把y＝1代入拋物線解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，1）把y＝0代入拋物線解析式得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，0）∴M（，0）；N點(diǎn)即為C點(diǎn)，坐標(biāo)是（0，1）；②若DE是平行四邊形的邊，過(guò)點(diǎn)A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，∴DE＝AN＝＝＝2，∵tan∠EAN＝，∴∠EAN＝30°，∵∠DEA＝∠EAN，∴∠DEA＝30°，∴M（，0），N（0，﹣1）；同理過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMDE是平行四邊形，∴M（﹣，0），N（0，1）．【例題3】（2020?河南模擬）如圖，直線y＝﹣2x+12與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝3ax2+10x+3c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作EF∥y軸交x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)M．（1）求拋物線的解析式；（2）求線段EM的最大值；（3）在（2）的條件下，連接AM，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，A，M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）直線y＝﹣2x+12與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，則點(diǎn)C、B的坐標(biāo)分別為：（6，0）、（0，12），拋物線y＝3ax2+10x+3c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，則3c＝12，故拋物線的表達(dá)式為：y＝3ax2+10x+12，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝﹣，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣2x2+10x+12；（2）設(shè)點(diǎn)E（x，﹣2x2+10x+12），則點(diǎn)M（x，﹣2x+12），EM＝（﹣2x2+10x+12）﹣（﹣2x+12）＝﹣2x2+12x，∵﹣2＜0，故EM有最大值，最大值為18，此時(shí)x＝3；（3）y＝﹣2x2+10x+12，令y＝0，則x＝﹣1或6，故點(diǎn)A（﹣1，0），由（2）知，x＝3，則點(diǎn)M（3，6），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：m，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，s），①當(dāng)AM是邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)M，同樣，點(diǎn)P（Q）向右平移4個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)得到點(diǎn)Q（P），即m±4＝，解得：m＝﹣或，故點(diǎn)P（﹣，﹣）或（，﹣）；②當(dāng)AM是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：﹣1+2＝m+，解得：m＝﹣，故點(diǎn)P（﹣，）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．【例題4】如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝的圖象交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥y軸于點(diǎn)C，且CM＝1，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D，且DN＝1．已知點(diǎn)P是x軸（除原點(diǎn)O外）上一點(diǎn)．（1）直接寫(xiě)出M、N的坐標(biāo)及k的值；（2）將線段CP繞點(diǎn)P按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q能否在反比例函數(shù)的圖象上？如果能，求出所有的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，是否存在反比例函數(shù)圖象（第一象限的一支）上的點(diǎn)S，使得以P、S、M、N四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合題意的點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意M（1，4），n（4，1），∵點(diǎn)M在y＝上，∴k＝4；（2）當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q能在反比例函數(shù)的圖象上；如圖1，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，過(guò)Q作QH⊥x軸于H，易得：△COP≌△PHQ，∴CO＝PH，OP＝QH，由（2）知：反比例函數(shù)的解析式：y＝；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，∴M（1，4），∴OC＝PH＝4，設(shè)P（x，0），∴Q（x+4，x），當(dāng)點(diǎn)Q落在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，x（x+4）＝4，x2+4x+4＝8，x＝﹣2±2，當(dāng)x＝﹣2+2時(shí)，x+4＝2+2，如圖1，Q（2+2，﹣2+2）；當(dāng)x＝﹣2﹣2時(shí)，x+4＝2﹣2，如圖2，Q（2﹣2，﹣2﹣2）；如圖3，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，設(shè)P（x，0）過(guò)P作GH∥y軸，過(guò)C作CG⊥GH，過(guò)Q作QH⊥GH，易得：△CPG≌△PQH，∴PG＝QH＝4，CG＝PH＝x，∴Q（x﹣4，﹣x），同理得：﹣x（x﹣4）＝4，解得：x1＝x2＝2，∴Q（﹣2，﹣2），綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）．（3）當(dāng)MN為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，根據(jù)MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可得點(diǎn)S的縱坐標(biāo)為5，即S（，5）；當(dāng)MN為平行四邊形的邊時(shí)，易知點(diǎn)S的縱坐標(biāo)為3，即S（，3）；故點(diǎn)S坐標(biāo)為（，5）或（，3）．【例題5】（2020?安陽(yáng)模擬）如圖，直線y＝x﹣4與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M在拋物線上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO＝45°時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA由C向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC由B向C運(yùn)動(dòng)，P，Q的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某些時(shí)刻t，以C，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）直線解析式y(tǒng)＝x﹣4，令x＝0，得y＝﹣4；令y＝0，得x＝4．∴A（4，0）、B（0，﹣4）．∵點(diǎn)A、B在拋物線y＝x2+bx+c上，∴，解得，∴拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣4．（2）設(shè)M（x，y），令y＝x2﹣x﹣4＝0，解得：x＝﹣3或x＝4，∴C（﹣3，0）．①當(dāng)BM⊥BC時(shí)，如答圖2﹣1所示．∵∠ABO＝45°，∴∠MBA+∠CBO＝45°，故點(diǎn)M滿足條件．過(guò)點(diǎn)M1作M1E⊥y軸于點(diǎn)E，則M1E＝x，OE＝﹣y，∴BE＝4+y．∵tan∠M1BE＝tan∠BCO＝，∴，∴直線BM1的解析式為：y＝x﹣4，∴∴（舍去），∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)（，﹣）②當(dāng)BM與BC關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，如答圖2﹣2所示．∵∠ABO＝∠MBA+∠MBO＝45°，∠MBO＝∠CBO，∴∠MBA+∠CBO＝45°，故點(diǎn)M滿足條件．過(guò)點(diǎn)M2作M2E⊥y軸于點(diǎn)E，則M2E＝x，OE＝y(tǒng)，∴BE＝4+y．∵tan∠M2BE＝tan∠CBO＝，∴，∴直線BM2的解析式為：y＝x﹣4，∴∴（舍去），∴點(diǎn)M2的坐標(biāo)（5，），綜上所述：點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：或5；（3）設(shè)∠BCO＝θ，則tanθ＝，sinθ＝，cosθ＝．假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)D，設(shè)菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)E，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．①若以CQ為菱形對(duì)角線，如答圖3﹣1．此時(shí)BQ＝t，菱形邊長(zhǎng)＝t．∴CE＝CQ＝（5﹣t）．在Rt△PCE中，cosθ＝＝＝，解得t＝．②若以PQ為菱形對(duì)角線，如答圖3﹣2．此時(shí)BQ＝t，菱形邊長(zhǎng)＝t．∵BQ＝CQ＝t，∴t＝，③若以CP為菱形對(duì)角線，如答圖3﹣3．此時(shí)BQ＝t，菱形邊長(zhǎng)＝5﹣t．在Rt△CEQ中，cosθ＝＝＝，解得t＝．綜上所述，當(dāng)t＝或或時(shí)，以C，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．1．（2016?揚(yáng)州）如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，3），頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【解析】（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，3），頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，則有解得，∴二次函數(shù)y＝x2﹣2x，（2）由（1）得，B（1，﹣1），∵A（﹣1，3），∴直線AB解析式為y＝﹣2x+1，AB＝2，設(shè)點(diǎn)Q（m，0），P（n，n2﹣2n）∵以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，①當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，則有，解得或，∴P（1+，2）和（1﹣，2）②當(dāng)AB為邊時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得或∴P（1+，4）或（1﹣，4）．故答案為P（1+，2）或（1﹣，2）或P（1+，4）或（1﹣，4）．2．（2018春?吳中區(qū)期中）如圖1，已知直線y＝2x分別與雙曲線y＝，y＝交于第一象限內(nèi)P，Q兩點(diǎn)，且OQ＝PQ．（1）則P點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4）；k＝2．（2）如圖2，若點(diǎn)A是雙曲線y＝在第一象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y＝于點(diǎn)B，C；①連接BC，請(qǐng)你探索在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABC的面積是否變化，若不變，請(qǐng)求出△ABC的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)D是直線y＝2x上的一點(diǎn)，請(qǐng)你進(jìn)一步探索在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F，如圖1，聯(lián)立，解得：或．∵x＞0，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）．∴OF＝2，PF＝4．∵QE⊥x軸，PF⊥x軸，∴QE∥PF．∴△OEQ∽△OFP．∴＝＝．∵OQ＝PQ∴OF＝2OE＝2，PF＝2EQ＝4．∴OE＝1，EQ＝2．∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，2）．∵點(diǎn)Q（1，2）在雙曲線y＝上，∴k＝1×2＝2．∴k的值為2．故答案為（2，4），2．（2）①如圖2，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），∵點(diǎn)A（a，b）在雙曲線y＝上，∴b＝．∵AB∥x軸，AC∥y軸，∴xC＝xA＝a，yB＝y(tǒng)A＝b＝．∵點(diǎn)B、C在雙曲線y＝上，∴xB＝＝，yC＝．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，）．∴AB＝a﹣＝，AC＝﹣＝．∴S△ABC＝?AB?AC＝××＝．∴在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABC的面積不變，始終等于．②當(dāng)AC為平行四邊形的一邊，Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)Q的右邊時(shí)，如圖3，∵四邊形ACBD是平行四邊形，∴AC∥BD，AC＝BD．∴xD＝xB＝．∴yD＝2xD＝．∴DB＝﹣．∵AC＝﹣＝，∴＝﹣．解得：a＝±2．經(jīng)檢驗(yàn)：a＝±2是該方程的解．∵a＞0，∴a＝2．∴b＝＝．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，）．Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)Q的左邊且點(diǎn)C在點(diǎn)Q的右邊時(shí)，如圖4，∵四邊形ACDB是平行四邊形，∴AC∥BD，AC＝BD．∴xD＝xB＝a．∴yD＝2xD＝．∴DB＝﹣．∵AC＝，∴＝﹣，解得：a＝±2．經(jīng)檢驗(yàn)：a＝±2是該方程的解．∵a＞0，∴a＝2．∴b＝＝4．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）．當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線，此時(shí)點(diǎn)B、點(diǎn)C都在點(diǎn)Q的左邊，如圖5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴yD＝y(tǒng)C＝．∴xD＝＝．∴CD＝﹣a．∵AB＝a﹣＝，∴＝﹣a．解得：a＝±．經(jīng)檢驗(yàn)：a＝±是該方程的解．∵a＞0，∴a＝．∴b＝＝4．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，4）．綜上所述：當(dāng)點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，）或（2，4）或（，4）．3．（2019春?常熟市期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝﹣在第二象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)A，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）求∠BCO的度數(shù)；（2）若y軸上一點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是4，且AM＝BM，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解析】（1）∵一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象交x軸于B，交y軸于C，則B（b，0），C（0，b），∴OB＝OC＝﹣b，∵∠BOC＝90°∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°．（2）如圖1中，作MN⊥AB于N．∵M(jìn)（0，4），MN⊥AC，直線AC的解析式為y＝﹣x+b，∴直線MN的解析式為y＝x+4，由，解得，∴N（，），∵M(jìn)A＝MB，MN⊥AB，∴NA＝BN，設(shè)A（m，n），則有，解得，∴A（﹣4，b+4），∵點(diǎn)A在y＝﹣上，∴﹣4（b+4）＝﹣4，∴b＝﹣3，∴A（﹣4，1）．（3）如圖2中，由（2）可知A（﹣4，1），M（0，4），∴AM＝＝5，當(dāng)菱形以AM為邊時(shí)，AQ＝AQ′＝5，AQ∥OM，可得Q（﹣4，﹣4），Q′（﹣4，6），當(dāng)A，Q關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，也滿足條件，此時(shí)Q（4，1）當(dāng)AM為菱形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)P″（0，b），則有（4﹣b）2＝42+（b﹣1）2，∴b＝﹣．∴AQ″＝MP″＝，∴Q″（﹣4，），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣4，﹣4）或（﹣4，6）或（﹣4，）或（4，1）．5．（2013?黔西南州模擬）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），設(shè)頂點(diǎn)為P，與X軸的另一交點(diǎn)B．（1）求b的值和點(diǎn)P、點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在直線上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）∵拋物線y＝x2+bx+6經(jīng)過(guò)A（2，0），∴0＝×22+b×2+6，解得b＝﹣4，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+6．∵y＝x2﹣4x+6＝（x2﹣8x）+6＝（x﹣4）2﹣2，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣2），令y＝0，得x2﹣4x+6＝0，解得x1＝2，x2＝6．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，0）；（2）在直線y＝x上存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為平行四邊形．理由如下：設(shè)直線PB的解析式為y＝kx+b，把B（6，0），P（4，﹣2）分別代入，得，解得，∴直線PB的解析式為y＝x﹣6．∵直線OD的解析式為y＝x，∴直線PB∥OD．設(shè)直線OP的解析式為y＝mx，把P（4，﹣2）代入，得4m＝﹣2，解得m＝﹣．如果OP∥BD，那么四邊形OPBD為平行四邊形．設(shè)直線BD的解析式為y＝﹣x+n，將B（6，0）代入，得0＝﹣3+n，解得n＝3，∴直線BD的解析式為y＝﹣x+3．解方程組，得，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）．5．（2017?宿遷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），將該拋物線位于x軸上方曲線記作M，將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得曲線記作N，曲線N交y軸于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）求曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求△ABC外接圓的半徑；（3）點(diǎn)P為曲線M或曲線N上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解析】（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0可得y＝﹣3，又拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折后得到曲線N，∴C（0，3），設(shè)曲線N的解析式為y＝ax2+bx+c，把A、B、C的坐標(biāo)代入可得，解得，∴曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）設(shè)△ABC外接圓的圓心為M，則點(diǎn)M為線段BC、線段AB垂直平分線的交點(diǎn)，∵B（3，0），C（0，3），∴線段BC的垂直平分線的解析式為y＝x，又線段AB的垂直平分線為曲線N的對(duì)稱軸，即x＝1，∴M（1，1），∴MB＝＝，即△ABC外接圓的半徑為；（3）設(shè)Q（t，0），則BQ＝|t﹣3|①當(dāng)BC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖1，則有BQ∥PC，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，即過(guò)C點(diǎn)與x軸平行的直線與曲線M和曲線N的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，x軸上對(duì)應(yīng)的即為點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在曲線M上時(shí)，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝3可解得x＝1+或x＝1﹣，∴PC＝1+或PC＝﹣1，當(dāng)x＝1+時(shí)，可知點(diǎn)Q在點(diǎn)B的右側(cè)，可得BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝1+，解得t＝4+，當(dāng)x＝1﹣時(shí)，可知點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左側(cè)，可得BQ＝3﹣t，∴3﹣t＝﹣1，解得t＝4﹣，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4+，0）或（4﹣，0）；當(dāng)點(diǎn)P在曲線N上時(shí)，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝3可求得x＝0（舍去）或x＝2，∴PC＝2，此時(shí)Q點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)，則BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝2，解得t＝5，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）；②當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，∵B（3，0），C（0，3），∴線段BC的中點(diǎn)為（，），設(shè)P（x，y），∴x+t＝3，y+0＝3，解得x＝3﹣t，y＝3，∴P（3﹣t，3），當(dāng)點(diǎn)P在曲線M上時(shí)，則有3＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，0）或（2﹣，0）；當(dāng)點(diǎn)P在曲線N上時(shí)，則有3＝﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t＝3（Q、B重合，舍去）或t＝1，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；綜上Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．6．（2020?山西模擬）綜合與探究．如圖1，拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)E（0，2）．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)及直線BE的解析式．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作BE的平行線交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上位于線段AD下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，求OAPD面積的最大值．（3）若（2）中的點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）令y＝0，則x2﹣x﹣2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，則y＝﹣2，∴C（0，﹣2），設(shè)直線BE的解析式為y＝kx+b，將B（4，0）、E（0，2）代入得，，解得：，∴y＝﹣x+2；（2）由題意可設(shè)AD的解析式為y＝﹣x+m，將A（﹣1，0）代入，得到m＝﹣，∴y＝﹣x﹣，聯(lián)立，解得：，，∴D（3，﹣2），過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G．∴S△APD＝S△APN+S△DPN＝PN?AF+PN?FG＝PN（AF+FG）＝PN?AG＝×4PN＝2PN，設(shè)P（a，﹣a2﹣a﹣2），則N（a，﹣a﹣），∴PN＝﹣a2+a+，∴S△APD＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，∵﹣1＜0，﹣1＜a＜3，∴當(dāng)a＝1時(shí)，△APD的面積最大，最大值為4；（3）存在；①當(dāng)PD與AQ為平行四邊形的對(duì)邊時(shí)，∵AQ∥PD，AQ在x軸上，∴P（0，﹣2），∴PD＝3，∴AQ＝3，∵A（﹣1，0），∴Q（2，0）或Q（﹣4，0）；②當(dāng)PD與AQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，PD與AQ的中點(diǎn)在x軸上，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∴P（，2）或P（，2），∴PD的中點(diǎn)為（，0）或（，0），∵Q點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于PD的中點(diǎn)對(duì)稱，∴Q（，0）或Q（，0）；綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．7．（2016?南充）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0）和點(diǎn)B（3，0）．與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．有一寬度為1，長(zhǎng)度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對(duì)邊交拋物線于點(diǎn)P和Q，交直線AC于點(diǎn)M和N．交x軸于點(diǎn)E和F．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)M和N都在線段AC上時(shí)，連接MF，如果sin∠AMF＝，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）在矩形的平移過(guò)程中，當(dāng)以點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解析】（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0），B（3，0），∴可以假設(shè)拋物線為y＝a（x+5）（x﹣3），把點(diǎn)（0，5）代入得到a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+5．（2）