人教A版高中數(shù)學(選擇性必修第一冊)同步講義第19講 2.3直線的交點坐標與距離公式（含解析）

第06講2.3直線的交點坐標與距離公式（2.3.1兩條直線的交點坐標+2.3.2兩點間的距離公式+2.3.3點到直線的距離公式+2.3.4兩條平行線間的距離公式）課程標準學習目標①掌握兩條直線的位置關(guān)系中的相交幾何意義，并能根據(jù)已知條件求出兩條直線的交點坐標，并能根據(jù)兩條直線相交的性質(zhì)求待定參數(shù)。②會求平面內(nèi)點與直線的距離，并能解決與距離有關(guān)的平面幾何問題。③.會用兩點間的距離公式求平面內(nèi)兩點間的距離.。④能應用公式求兩平行線間的距離，以此解決與平面距離有關(guān)的綜合問題。1.會求兩條直線的交點坐標，通過兩條直線相交的性質(zhì)，解決與直線相交有關(guān)的問題；2.掌握利用向量法推導兩點間距離公式的方法，并能用兩點間距離公式求兩點間的距離，以及解決與平面距離相關(guān)的問題；3.會用公式解決與點到直線距離有關(guān)的問題，并能解決與之相關(guān)的綜合問題；4.熟練應用公式求平面內(nèi)兩平行線間的距離，以及與距離有關(guān)的參數(shù)的求解，能處理平面內(nèi)與距離有關(guān)的問題.；知識點01：兩條直線的交點坐標直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的公共點的坐標與方程組SKIPIF1<0的解一一對應.SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交SKIPIF1<0方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行SKIPIF1<0方程組無解；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合SKIPIF1<0方程組有無數(shù)個解.【即學即練1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）分別判斷下列直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是否相交．如果相交，求出交點的坐標．(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)相交，交點坐標為SKIPIF1<0(2)不相交(3)不相交【詳解】（1）解方程組SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，交點坐標為SKIPIF1<0．（2）解方程組SKIPIF1<0，方程組無解，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0無公共點，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不相交．（3）解方程組SKIPIF1<0，因為方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，所以方程組有無數(shù)組解，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有無數(shù)個公共點，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不相交．知識點02：兩點間的距離平面上任意兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0間的距離公式為SKIPIF1<0特別地，原點SKIPIF1<0與任一點SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.【即學即練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0間的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________．【答案】9或SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：9或SKIPIF1<0.知識點03：點到直線的距離平面上任意一點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.【即學即練3】（2023春·上海青浦·高二統(tǒng)考期末）點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為__________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由點到直線的距離公式，可得點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.知識點04：兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）間的距離SKIPIF1<0.【即學即練4】（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互平行，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因為直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互平行，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0.故選：A.知識點05：對稱問題1、點關(guān)于點對稱問題(方法：中點坐標公式)求點SKIPIF1<0關(guān)于點SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0由：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、點關(guān)于直線對稱問題（聯(lián)立兩個方程）求點SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0①設SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0利用中點坐標公式得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0中；②SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0【即學即練5】（2023秋·高二課時練習）若點SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0_________；SKIPIF1<0__________．【答案】42【詳解】依題意，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：4；23、直線關(guān)于點對稱問題(求SKIPIF1<0關(guān)于點SKIPIF1<0的對稱直線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0）方法一：在直線SKIPIF1<0上找一點SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0關(guān)于點SKIPIF1<0對稱的點SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，再由點斜式求解；方法二：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設出SKIPIF1<0的直線方程，由點SKIPIF1<0到兩直線的距離相等SKIPIF1<0求參數(shù).方法三：在直線SKIPIF1<0任意一點SKIPIF1<0，求該點關(guān)于點SKIPIF1<0對稱的點SKIPIF1<0，則該點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上.【即學即練6】（2023·高二單元測試）直線SKIPIF1<0關(guān)于點SKIPIF1<0的對稱直線方程是______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設對稱直線為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解這個方程得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0.所以對稱直線SKIPIF1<0的方程中SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.4、直線關(guān)于直線對稱問題4.1直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）相交,求SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱直線SKIPIF1<0①求出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0②在SKIPIF1<0上任意取一點SKIPIF1<0(非SKIPIF1<0點），求出SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0③根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點求出直線SKIPIF1<04.2直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）平行,求SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱直線SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②在直線SKIPIF1<0上任取一點SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，利用點斜式求直線SKIPIF1<0.【即學即練7】（2023·高二課時練習）求直線SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱的直線SKIPIF1<0的方程．【答案】SKIPIF1<0【詳解】聯(lián)立兩直線方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即兩直線的交點為SKIPIF1<0，取直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0，設其關(guān)于直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為所求直線過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【即學即練8】（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學?？计谥校┲本€SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱的直線方程為________【答案】SKIPIF1<0【詳解】設所求直線方程為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0間的距離為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0間的距離為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以所求直線方程為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.題型01求直線交點坐標【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點坐標是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【詳解】解方程組SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點坐標是(0,2)．故選：C.【典例2】（2023秋·高二課時練習）若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點位于第一象限，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點位于第一象限，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：D【變式1】（2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末）過直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交點，且與直線SKIPIF1<0垂直的直線方程是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】聯(lián)立方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以交點坐標為SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以所求直線方程的斜率為SKIPIF1<0，由點斜式直線方程得：所求直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故選：B.【變式2】（2023·高二課時練習）若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交且交點在第二象限內(nèi)，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0平行或重合，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則有：聯(lián)立方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即交點坐標SKIPIF1<0，由題意可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；綜上所述：k的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：C.題型02由方程組解的個數(shù)判斷直線的位置關(guān)系【典例1】（2023秋·高二課時練習）判斷下列各對直線的位置關(guān)系．如果相交，求出交點坐標．(1)直線SKIPIF1<0；(2)直線SKIPIF1<0．【答案】(1)相交，交點是SKIPIF1<0(2)答案見解析【詳解】（1）聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以兩直線相交，交點坐標為SKIPIF1<0.（2）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，方程組有無數(shù)組解，故兩直線重合，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，方程組無解，故兩直線平行，當SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以兩直線相交，交點坐標為SKIPIF1<0.綜上所述：當SKIPIF1<0時，兩直線重合；當SKIPIF1<0時，兩直線平行；當SKIPIF1<0時，兩直線相交，交點坐標為SKIPIF1<0.【典例2】（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）若關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程組SKIPIF1<0無解，則實數(shù)SKIPIF1<0________【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程組SKIPIF1<0無解，即直線SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0平行，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，確實與SKIPIF1<0平行，故滿足題意，所以實數(shù)SKIPIF1<0.故答案為：-2.【變式1】（2022·高二課時練習）若關(guān)于SKIPIF1<0的二元一次方程組SKIPIF1<0有無窮多組解，則SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】依題意二元一次方程組SKIPIF1<0有無窮多組解，即兩個方程對應的直線重合，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，二元一次方程組為SKIPIF1<0，兩直線不重合，不符合題意.當SKIPIF1<0時，二元一次方程組為SKIPIF1<0，兩直線重合，符合題意.綜上所述，SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式2】（2022·高二課時練習）關(guān)于SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的二元一次方程組SKIPIF1<0有無窮多組解，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的積是_____.【答案】-35【詳解】因為x?y的二元一次方程組SKIPIF1<0有無窮多組解，所以直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0重合，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：-35題型03由直線交點的個數(shù)求參數(shù)【典例1】（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學?？茧A段練習）直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以實數(shù)k的值為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故選：D【典例2】（2022·高二校聯(lián)考課時練習）若關(guān)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程組SKIPIF1<0有唯一解，則實數(shù)SKIPIF1<0滿足的條件是________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由關(guān)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程組SKIPIF1<0有唯一解，可得方程SKIPIF1<0有唯一解，則SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【典例3】（2022·高二校聯(lián)考課時練習）已知三條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于一點，求實數(shù)SKIPIF1<0的值；（2）若直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能圍成三角形，求實數(shù)SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或4或SKIPIF1<0.【詳解】（1）∵直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于一點，∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不平行，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0的方程，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于一點，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則不存在滿足條件的實數(shù)SKIPIF1<0.綜上，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或4或SKIPIF1<0.【變式1】（2022·江蘇·高二專題練習）若三條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共有兩個交點，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【答案】C【詳解】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，∵直線SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0不平行，∴直線SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0平行或直線SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0平行，∵直線SKIPIF1<0的斜率為1，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：C.【變式2】（2022·高二課時練習）三條直線SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0有且只有兩個交點，求實數(shù)SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有一個交點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.題型04由直線的交點坐標求參數(shù)【典例1】（2023秋·高一單元測試）若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點在第四象限，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即兩直線的交點坐標為SKIPIF1<0，因為兩直線的交點位于第四象限，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D.【典例2】（2023·高二課時練習）若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點在第一象限，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，直線SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，如圖所示，當直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；當直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，要使得直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點在第一象限，則SKIPIF1<0，即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于一點，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.故選：C【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）兩直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交點在SKIPIF1<0軸上，則SKIPIF1<0的值是（

）A．-24 B．6 C．±6 D．24【答案】C【詳解】因為兩條直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交點在SKIPIF1<0軸上，所以設交點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．題型05三線圍成三角形問題【典例1】（2023秋·高二課時練習）使三條直線SKIPIF1<0不能圍成三角形的實數(shù)SKIPIF1<0的值最多有幾個（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【詳解】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點，若SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0，即無解；若SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；若三條直線交于一點，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；經(jīng)檢驗知：SKIPIF1<0均滿足三條直線不能圍成三角形，故m最多有4個.故選：B【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0能構(gòu)成三角形，求SKIPIF1<0應滿足的條件．

【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【詳解】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點．①若SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0三線重合，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0平行．④若三條直線交于一點，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0的坐標代入SKIPIF1<0的方程，解得SKIPIF1<0(舍去)，或SKIPIF1<0，所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）三條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成三角形，則SKIPIF1<0的值不能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．－2【答案】AC【詳解】直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都經(jīng)過原點，而無論SKIPIF1<0為何值，直線SKIPIF1<0總不經(jīng)過原點，因此，要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線SKIPIF1<0與另兩條直線不平行，所以SKIPIF1<0．故選：AC.【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二期末）若三條直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0能圍成一個直角三角形，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0或1【詳解】顯然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交點，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0或1．故答案為：SKIPIF1<0或1題型06直線交點系方程及其應用【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設直線SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線SKIPIF1<0的方程為___________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】方法一：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以兩條直線的交點坐標為（14，10）,由題意可得直線SKIPIF1<0的斜率為1或-1，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.方法二：設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由題意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【典例2】（2022·高二課時練習）已知兩直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0．求：(1)過點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的直線方程；(2)過點SKIPIF1<0且與直線SKIPIF1<0平行的直線方程．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）設過直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交點的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．①把點SKIPIF1<0代入方程①，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以過點P與Q的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）由兩直線平行，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以所求直線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【變式1】（2022秋·高二課時練習）過兩直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交點和原點的直線方程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設過兩直線交點的直線系方程為SKIPIF1<0，代入原點坐標，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故所求直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：D.【變式2】（2022·高二單元測試）已知直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．求證：直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0，并求點SKIPIF1<0的坐標．【答案】證明見解析，SKIPIF1<0SKIPIF1<0【詳解】證明：原方程整理為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0點坐標為SKIPIF1<0．【變式3】（2022·高二課時練習）直線SKIPIF1<0經(jīng)過直線SKIPIF1<0的交點，且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線SKIPIF1<0的方程.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】解：設直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.代入并化簡得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以所求的直線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.題型07求兩點間的距離公式【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點分別在兩條互相垂直的直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0線段的中點為SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【詳解】因為直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相垂直，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以線段AB的中點為SKIPIF1<0，所以設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．10 B．13 C．16 D．20【答案】B【詳解】解：因為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0互相垂直且垂足為點SKIPIF1<0，又因為直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故選：B.【變式1】（2023秋·高二課時練習）已知SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，且SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的坐標為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為點C在x軸上，設點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0分別過定點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0|________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】將直線SKIPIF1<0的方程變形為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0的方程變形為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式3】（2023·高三課時練習）如圖，SKIPIF1<0是邊長為1的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上一點，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長度為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型08距離公式的應用【典例1】（2023春·江西·高三校聯(lián)考開學考試）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意得：SKIPIF1<0的幾何意義為點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離之和的最小值，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故三角形ABC為等腰直角三角形，，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0到三角形三個頂點距離之和最小，即SKIPIF1<0取得最小值，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：SKIPIF1<0可以轉(zhuǎn)化為點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離，則SKIPIF1<0的最小值為（

）．A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】SKIPIF1<0,可以看作點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離之和，作點SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對稱點SKIPIF1<0，顯然當SKIPIF1<0三點共線時，取到最小值，最小值為SKIPIF1<0間的距離SKIPIF1<0.故選：D.【典例3】（2022秋·甘肅嘉峪關(guān)·高二?？计谥校┖瘮?shù)SKIPIF1<0的最小值是_____________.【答案】5【詳解】解：因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0表示點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點的距離之和，即SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0軸上的點，則點SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023·全國·高三專題練習）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內(nèi)角均小于SKIPIF1<0時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為SKIPIF1<0.根據(jù)以上性質(zhì)，SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題SKIPIF1<0的幾何意義為點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離之和的最小值.由題可知,此時SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上.故SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0故選：D【變式2】（2022秋·北京·高二北京工業(yè)大學附屬中學?？计谥校┲麛?shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：SKIPIF1<0可以轉(zhuǎn)化為平面上點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0的距離.結(jié)合上述觀點，可得SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，記點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點時，等號成立，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C.【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）某同學在研究函數(shù)SKIPIF1<0的性質(zhì)時，聯(lián)想到兩點間的距離公式，從而將函數(shù)變形為SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的最小值為________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由變形所得函數(shù)知：SKIPIF1<0表示x軸上的動點SKIPIF1<0到兩定點SKIPIF1<0的距離之和，∴當且僅當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時，SKIPIF1<0有最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型09求點到直線的距離【典例1】（2023·重慶·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）點(1,1)到直線SKIPIF1<0的距離是（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0，故選：A【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知動點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最小值為_________.【答案】2【詳解】因為SKIP