2.2圓的對(duì)稱性（一）弧、弦、圓心角（八大題型）（ 原卷版）

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形---圓》2.2圓的對(duì)稱性第一課時(shí)弧、弦、圓心角知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，具有旋轉(zhuǎn)不變性，把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，所得的圖形都與原圖形重合.因此，圓是中心對(duì)稱圖形，圓心就是它的對(duì)稱軸.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二弧、弦、圓心角的關(guān)系◆1、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.一個(gè)圓心角所對(duì)的弧是唯一的.◆2、弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.推論：在同一個(gè)圓中，如果弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等．在同一個(gè)圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等．【注意】（1）不能忽略“在同圓或等圓中”這個(gè)前提，如果丟掉了這個(gè)前提，即使圓心角相等，圓心角所對(duì)的弧、弦也不一定相等．（2）因?yàn)橄宜鶎?duì)的弧有兩條，所以不可以說(shuō)“在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等”．題型一弧、弦、圓心角的概念題型一弧、弦、圓心角的概念【例題1】下列說(shuō)法正確的是（）A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 B．在同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等 C．在同圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等 D．相等的弦所對(duì)的弧相等解題技巧提煉正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系：三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．【變式1-1】下列說(shuō)法中，正確的是（）A．等弦所對(duì)的弧相等 B．在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等 C．圓心角相等，所對(duì)的弦相等 D．弦相等所對(duì)的圓心角相等【變式1-2】（2022春?惠山區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）①半圓是??；②面積相等的兩個(gè)圓是等圓；③所對(duì)的弦長(zhǎng)相等的兩條弧是等??；④如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弦一定相等；⑤等弧所對(duì)的圓心角相等A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-3】（2022秋?凱里市校級(jí)期中）如圖，在⊙O中，AB=CD，則下列結(jié)論中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正確的是【變式1-4】（2022秋?慶云縣期中）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）（1）在同圓或等圓中，弦相等則所對(duì)的弧相等；（2）優(yōu)弧一定比劣弧長(zhǎng)；（3）弧長(zhǎng)相等的弧則所對(duì)的圓心角相等；（4）在同圓或等圓中，圓心角相等則所對(duì)的弦相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-5】如圖，AB，CD分別為⊙O的兩條弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）①AB＝CD；②OM＝ON；③AB=A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)題型二利用弧、弦、圓心角求角度題型二利用弧、弦、圓心角求角度【例題2】（2022?資中縣一模）如圖，AB，CD是⊙O的直徑，AE=BD，若∠AOE＝32°，則∠A．32° B．60° C．68° D．64°解題技巧提煉本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，利用半徑相等構(gòu)建等腰三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵有時(shí)要利用直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．【變式2-1】（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）在⊙O中，弦AB等于圓的半徑，則它所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為（）A．120° B．75° C．60° D．30°【變式2-2】（2022秋?延邊州期末）如圖，在⊙O中AB=CD，∠AOB＝45°，則∠A．60° B．45° C．30° D．40°【變式2-3】（2023?西陵區(qū)模擬）如圖，AB是圓O的直徑，BC、CD、DA是圓O的弦，且BC＝CD＝DA，則∠BCD等于（）A．100° B．110° C．120° D．135°【變式2-4】（2022秋?亭湖區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠COD＝34°，則∠AEO【變式2-5】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)．題型三利用弧、弦、圓心角求弧的度數(shù)題型三利用弧、弦、圓心角求弧的度數(shù)【例題3】（2022秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E，則弧BD的度數(shù)為（）A．28° B．64° C．56° D．124°解題技巧提煉利用弧、弦、圓心角求弧的度數(shù)就是求弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，有時(shí)要利用等腰三角形的性質(zhì)．【變式3-1】如圖，C是⊙O直徑AB上一點(diǎn)，過(guò)C作弦DE，使CD＝CO，若AD所對(duì)圓心角度數(shù)為40°，則BE所對(duì)圓心角度數(shù)為（）A．40° B．80° C．90° D．120°【變式3-2】（2022秋?北侖區(qū)期中）在半徑為1的圓中，長(zhǎng)度等于2的弦所對(duì)的弧的度數(shù)為．【變式3-3】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且點(diǎn)C、D在AB的異側(cè)，連接AD、OD、OC．若AC的度數(shù)是70°，且AD∥OC，求AD的度數(shù)．【變式3-4】如圖，A、B、C、D均為圓O上的點(diǎn)，其中A、B兩點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)圓心O，線段AB、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知AB＝2DE，∠E＝16°，求弧AC的度數(shù)．【變式3-5】點(diǎn)C是圓O直徑AB上一點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作弦DE，使CD等于CO，若弧AD的度數(shù)為40°，求弧BE的度數(shù)．題型四利用弧、弦、圓心角求線段長(zhǎng)題型四利用弧、弦、圓心角求線段長(zhǎng)【例題4】如圖，點(diǎn)A在半圓O上，BC是直徑，AB=AC．若AB＝2，則BC的長(zhǎng)為解題技巧提煉此類(lèi)問(wèn)題主要是利用弧，弦之間的關(guān)系，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．【變式4-1】（2022秋?蕪湖期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=2，BC＝1，則⊙OA．3 B．52 C．102 D【變式4-2】（2023?貴池區(qū)二模）如圖，點(diǎn)C是直徑AB的三等分點(diǎn)（AC＜CB），點(diǎn)D是弧ADB的三等分點(diǎn)（弧BD＜弧AD），若直徑AB＝12，則DC的長(zhǎng)為．【變式4-3】如圖，在⊙O中，AC=12AB，直徑BC＝25，BD=CD，則AD＝題型五利用弧、弦、圓心角比較大小題型五利用弧、弦、圓心角比較大小【例題5】（2022秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末）如圖，在⊙O中，AB=2CDA．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．以上都不正確解題技巧提煉本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，熟記圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】如圖，在同圓中，若∠AOB＝2∠COD，則AB與2CD的大小關(guān)系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能確定【變式5-2（2022秋?西林縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD的是⊙O中非直徑的任意一條弦，試比較AB與CD的大小，并說(shuō)明理由．【變式5-3】（2022秋?余姚市月考）如圖，在三個(gè)等圓上各有一條劣?。夯B、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小關(guān)系不確定【變式5-4】（2022天河區(qū)一模）如圖，AB為半圓的直徑，點(diǎn)C、D在半圓上．（1）若BC=3AD，CD=2（2）若點(diǎn)C、D在半圓上運(yùn)動(dòng)，并保持弧CD的長(zhǎng)度不變，（點(diǎn)C、D不與點(diǎn)A、B重合）．試比較∠DAB和∠ABC的大?。}型六弧、弦、圓心角中的倍數(shù)關(guān)系題型六弧、弦、圓心角中的倍數(shù)關(guān)系【例題6】如圖，在⊙O中，AB是直徑，CO⊥AB，D是CO的中點(diǎn)，DE∥AB，求證：EC=2BE解題技巧提煉本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，和30度角的直角三角形，利用圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023?萊西市二模）如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，若∠AOB是銳角，且∠AOB＝2∠BOC，則下列結(jié)論正確的是（）個(gè)①AB＝2BC；②AB=2BC；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOCA．1 B．2 C．3 D．4【變式6-2】（2022?陵城區(qū)模擬）圓的一條弦把圓分為度數(shù)比為1：3的兩條弧，則弦心距與弦長(zhǎng)的比為（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2【變式6-3】（2023?陜西模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC=3BC，則弦AC與弦BCA．AC＝3BC B．AC=3BC C．AC＝（2+1）BC D．3AC題型七弧、弦、圓心角中的證明問(wèn)題題型七弧、弦、圓心角中的證明問(wèn)題【例題7】（2022秋?延邊州期末）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)H，AB＝CD，連接AD、BC．求證：AH＝CH．解題技巧提煉本題主要考查在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，如果其中一對(duì)量相等，那么其它兩對(duì)量也分別相等．同時(shí)利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形等圖形的性質(zhì)等，靈活運(yùn)用圓的性質(zhì)進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022秋?瑞安市期中）已知：如圖，AB，DE是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，且BE＝CE．求證：AD=【變式7-2】（2022秋?硚口區(qū)期末）如圖，⊙O中的弦AB＝CD，AB與CD相交于點(diǎn)E．求證：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．【變式7-3】（2022秋?防城港期末）如圖，AC=CB，M，N分別是半徑OA，求證：CM＝CN．【變式7-4】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為AD的中點(diǎn)，連接BM，CM，求證：BM＝CM．【變式7-5】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，M，N分別為AO、BO的中點(diǎn)，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N．求證：AC＝BD．題型八弧、弦、圓心角中的綜合問(wèn)題題型八弧、弦、圓心角中的綜合問(wèn)題【例題8】（2021秋?南昌期中）如圖所示，以￡ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，延長(zhǎng)BA交⊙A于G．（1）求證：GE=（2）若BF的度數(shù)為70°，求∠C的度數(shù)．解題技巧提煉解決此類(lèi)綜合問(wèn)題，主要是利用了弧、弦、圓心角關(guān)系，同時(shí)考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用.【變式8-1】（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，則AB的度數(shù)為°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半徑．【變式8-2】如圖，在⊙O中，OA、OB是半徑，OA⊥OB，C、D是AB的三等分點(diǎn)，OC、OD分別交AB于點(diǎn)E、F，求證：AE＝CD＝BF．【變式8-3】如圖，A、B、C為⊙O上三點(diǎn)，且AB=BC=CA，連接AB、（1）試確定△ABC的形狀；（2