專題15比例線段（6個知識點4種題型1種中考考法）（原卷版）

專題15比例線段（6個知識點4種題型1種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.四個數成比例（重點）知識點2.比例的基本性質（重點）知識點3.兩條線段的比（重點）知識點4.比例線段（重點）知識點5.比例中項（重點）知識點6.黃金分割（難點）【方法二】實例探索法題型1.利用比例的性質求值題型2.成比例線段的應用題型3.比例尺的應用題型4.黃金比的應用【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.比例的基本性質的應用【方法四】成果評定法【學習目標】了解比例的內項、外項以及線段的比和成比例線段的概念，會計算兩條線段的比，并會判斷四條線段是否成比例。理解比例的基本性質，并能根據比例的基本性質求比值，會根據條件寫出比例式或進行比例式的簡單變形。了解比例中項和黃金分割，會求已知線段的比例中項線段，能利用黃金分割進行簡單的計算?！局R導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.四個數成比例（重點）1.如果兩個數的比值與另兩個數的比值相等，那么我們說這四個數成比例．2.a:b＝c:d或稱a，d為比例外項，稱b，c為比例內項3.比例的基本性質：兩內項之積等于兩外項之積．即若，則ad＝bc【例1】已知，則下列變形不正確的是（）A． B．2a＝3b C． D．3a＝2b【變式】根據4a＝5b，可以組成的比例有（）A．a：b＝4：5 B．a：b＝5：4 C．a：4＝b：5 D．a：5＝4：b知識點2.比例的基本性質（重點）（1）基本性質：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性質：如果，那么；如果，那么．（3）等比性質：如果，那么．重點剖析：利用比例的基本性質可以在比例式和等積式之間互相轉化。將比例式化為等積式是有條件的，并不是比例式中的四個字母中的任意兩個字母的乘積就等于另外兩個字母的乘積，而是比例的外項之積等于內項之積。使用等比性質時，要注意b+d≠0這個條件，否則這個性質不成立?！纠?】已知＝＝．（1）求的值；（2）若2x+3y﹣z＝34，求x+2y﹣z的值．【變式】設線段、、滿足，求、、的值．知識點3.兩條線段的比（重點）兩條線段的比：注意?。。≡谟嬎銉蓷l線段的比時，這兩條線段的長度單位必須要統(tǒng)一。兩條線段的比是一個沒有單位的正實數，該比值與線段的長度無關。在地圖或工程圖紙上，圖上距離與實際距離的比通常稱為比例尺，因此比例尺也是兩條線段的比的一種形式。【例3】在比例尺為的地圖上，量得與兩地的距離是厘米，則與兩地的實際距離是 ．【變式】在比例尺是1：200000的地圖上，兩地的距離是6cm，那么這兩地的實際距離為（）A．km B．12km C．120km D．1200km知識點4.比例線段（重點）對于四條線段、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．注意！??！比例線段是有順序的，即比例線段、b、c、d與比例線段、c、b、d是不同的?！纠?】下列各組線段中，成比例的一組是（ ）（A），，， （B），，，（C），，， （D），，，【變式】已知線段a、b、c、d是成比例線段，a＝1，b＝2，c＝4，那么d的值是（）A． B．2 C．3 D．8知識點5.比例中項（重點）比例中項：如果三個數滿足比例式（或），則叫做的比例中項.【例5】已知線段a，b，c滿足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．（1）求線段a，b，c的長．（2）若線段m是線段a，b的比例中項，求線段m的長．【變式】.已知a＝4，b＝9，則這兩個數a，b的比例中項為．知識點6.黃金分割（難點）如果點把線段分割成和（）兩段（如下圖），其中是和的比例中項，那么稱這種分割為黃金分割，點稱為線段的黃金分割點．其中，，稱為黃金分割數，簡稱黃金數．注意！??！一條線段有兩個黃金分割點，因此，一般說點P是線段AB的黃金分割點時，需加注或AP＜BP，否則在已知AB的長度求AP（或BP）的長度時，會有兩種情況，此時應分情況討論?！纠?】寬與長之比為的矩形叫黃金矩形.如圖：如果在一個黃金矩形里面畫一個正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請證明你的結論.【變式】如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），下列結論錯誤的是（）A． B．BC2＝AB?AC C． D．≈【方法二】實例探索法題型1.利用比例的性質求值1.若＝＝＝且b﹣2d+3f≠0，則的值為（）A． B． C． D．2.已知，a，b，c是任意實數，且滿足，則k的值為．3.已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．4.已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代數式3x﹣2y+z的值．5.設a，b，c是△ABC的三條邊，且＝＝，判斷△ABC為何種三角形？并說明理由．題型2.成比例線段的應用6.下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm7.下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，題型3.比例尺的應用8．（2022春·安徽滁州·九年級校考開學考試）在比例尺是的圖紙上，量得一個零件的長是32cm，則它實際長是（

）A．32cm B．320cm C．160cm D．1600cm9．（2023秋·河北石家莊·九年級?？茧A段練習）在創(chuàng)建全國文明城市的過程中，某市要對新華南路的路面進行維修改造若從的圖紙上量得該路的圖上距離為，則這條路的實際距離是．10．（2022秋·安徽合肥·九年級校考期中）甲、乙兩地的實際距離是400千米，在比例尺為1：500000的地圖上，甲乙兩地的距離是cm．11．（2022秋·山西運城·九年級校聯考階段練習）在比例尺為的山西地圖上，小賢量得長治到太原的距離約為，則兩地的實際距離約為．題型4.黃金比的應用12.如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），下列結論錯誤的是（）A． B．BC2＝AB?AC C． D．≈13.在人體軀干和身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即（下半身長m與身高l）比例越接近越給人以美感，某女士身高165cm，下半身長（腳底到肚臍的高度）與身高的比值是，為盡可能達到勻稱的效果，她應該選擇約多少厘米的高跟鞋看起來更美．（結果保留整數）14.小知識：古希臘的畢達哥拉斯，在2500年前曾經大膽斷言，一條線段（AB）的某一部分（AC）與另一部分（BC）之比，如果正好等于另一部分（BC）同整個線段（AB）的比（即BC2＝AC．AB），那么這樣的比例會給人一種美感，后來我們將分割這條線段（AB）的點C稱為線段AB的“黃金分割點”，在主持節(jié)目時，主持人站在舞臺的黃金分割點處最自然得體，那么在長20米的舞臺AB上，主持人從A點到B點走多少米，他的站臺最得體？（?。剑?，＝）15.（1）已知a＝，b＝2，c是a，b的比例中項，求c．（2）如圖，C是AB的黃金分割點，且AC＞BC，AB＝4，求AC的長．16.請閱讀下列材料，并完成相應的任務：公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著．黃金分割（goldensection）是指把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值．如圖①，在線段AD上找一個點C，C把AD分為AC和CD兩段，其中AC是較小的一段，如果AC：CD＝CD：AD，那么稱線段AD被C點黃金分割，點C叫做線段AD的黃金分割點，AC與CD的比值叫做黃金分割數．為簡單起見，設AD＝1，CD＝x，則AC＝1﹣x．∵AC：CD＝CD：AD，∴……任務：（1）請根據上面的部分解題過程，求黃金分割數．（2）如圖②，采用如下方法可以得到黃金分割點：①設AB是已知線段，過點B作BD⊥AB且使BD＝AB；②連結DA，在DA上截取DE＝DB；③在AB上截取AC＝AE；則點C即為線段AB黃金分割點．你能說說其中的道理嗎？（3）已知線段AB＝1，點C，D是線段AB上的兩個黃金分割點，則線段CD的長是﹣2．17.若一個矩形的短邊與長邊的比值為（黃金分割數），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形．（1）操作：請你在如圖所示的黃金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請予以證明；若不是，請說明理由．18.△ABC中，D是BC上一點，若＝，則稱AD為△ABC的黃金分割線．（1）求證：若AD為△ABC的黃金分割線，則D是BC的黃金分割點；（2）若S△ABC＝20，求△ACD的面積．（結果保留根號）【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.比例的基本性質的應用1．（2023?金昌）若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．2．（2023?甘孜州）若，則＝．3．（2023?達州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為cm．（結果保留根號）?4．（2023?麗水）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現學習內容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程．【方法四】成果評定法一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?婺城區(qū)校級月考）若，則＝（）A． B． C． D．2．（2022秋?鹿城區(qū)校級月考）如圖是著名畫家達?芬奇的名畫《蒙娜麗莎》．畫中的臉部被包在矩形ABCD內，點E是AB的黃金分割點，BE＞AE，若AB＝2a，則BE長為（）A．（+1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a3．（2022秋?下城區(qū)校級月考）若線段AB＝2，點P是線段AB的黃金分割點，且AP＜BP，則AP的長為（）A． B． C． D．4．（2022秋?義烏市校級月考）已知線段AB＝10，點C是AB的黃金分割點，則AC＝（）A．5﹣5 B．15﹣5 C．5﹣5或15﹣5 D．以上都不對5．（2022秋?鹿城區(qū)月考）若2x＝3y，則x：y的值是（）A． B． C． D．6．（2022秋?義烏市校級月考）已知點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC：BC的值等于（）A． B． C． D．7．（2022秋?定海區(qū)校級月考）如果x：y＝1：2，那么下列各式不一定成立的是（）A． B． C． D．8．（2022秋?余杭區(qū)校級月考）已知點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），若AB＝4，則AC的長為（）A．（6﹣2） B．（2﹣2） C．（﹣1） D．（3﹣）9．（2022秋?拱墅區(qū)月考）大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），則下列結論中正確的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP?BA C． D．10．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）在比例尺為1：1000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是3cm，則兩地的實際距離是（）A．3m B．30m C．300m D．3000m二．填空題（共8小題）11．（2022秋?蘭溪市校級月考）已知點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，AB＝2，則BC＝．12．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）黃金分割大量應用于藝術、大自然中，例如樹葉的葉脈也蘊含著黃金分割．如圖，B為AC的黃金分割點（AB＞BC），如果AC的長度為10cm，則AB的長度為cm．（結果保留根號）13．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）若點P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，AB＝2，則AP＝．（保留根號）14．（2022秋?拱墅區(qū)校級期中）若≠0，則＝．15．（2022秋?洞頭區(qū)期中）如圖，若AC是BC與AB的比例中項，AB＝4，求AC＝．16．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）已知線段AB＝4，P是線段AB的黃金分割點，AP＞BP，則AP＝．17．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）若x：y：z＝3：5：6，且3y＝2z+3，則x+2y+z的值為．18．（2022秋?拱墅區(qū)校級期中）已知，那么的值是．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?永嘉縣校級月考）若，且3x﹣2y+z＝18，求x+5y﹣3z的值．20．（2021秋?開化縣月考）已知線段a，b的比例中項線段c＝2，線段a＝1，求線段b．21．（2022秋?濱江區(qū)校級期中）計算：（1）已知x：y＝4：3，求的值；（2）已知線段a＝2，b＝9，求線段a，b的比例中項．22．（2022秋?舟山期中）已知實數x、y、z滿足，試求的值．23．（2022秋?定海區(qū)校級月考）已知三條線段a，b，c滿足，且a+b+c＝17，求a的值．24．（2021秋?拱墅