專題03 弧弦圓心角圓周角（解析版）

專題03弧、弦、圓心角、圓周角知識(shí)梳理：知識(shí)點(diǎn)一：圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．（1）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等．知識(shí)點(diǎn)二：圓周角（1）圓周角定義：像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．（3）圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．知識(shí)點(diǎn)三：圓內(nèi)接四邊形：（1）定義:圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形．（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角（即它的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的對(duì)角）．知識(shí)點(diǎn)四：弦、弧、圓心角、弦心距的關(guān)系：在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等，(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對(duì)應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對(duì)的弧也分別相等).*如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等.弧、弦、圓心角、圓周角例題講解類型一：利用圓心角圓周角定理求角度【例1】如圖，，點(diǎn)C在上，且點(diǎn)C不與A、B重合，則的度數(shù)為（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)，∠ACB=50°；當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)，∠ACB=130°，故選D.【例2】如圖，AC是⊙O的直徑，弦AB∥CD，假設(shè)∠BAC=32°，那么∠AOD等于()．A．64° B．48° C．32° D．76°【答案】A【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.【例3】如圖，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC為直徑，那么∠A+∠B+∠C=________度．【答案】90°；【解析】如圖，連結(jié)AB、BC，那么∠CAD+∠EBD+∠ACE=∠CBD+∠EBD+∠ABE=∠ABC=90°.【例4】如圖，AB是圓O的直徑，CD是圓O的弦，AB，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若AB=2DE，∠E=16°，則∠AOC的度數(shù)是________．【答案】24°【解析】解：連接OD，∵AB是圓O的直徑，∴AB=2CD，∵AB=2BE∴OD=DE，∴∠EOD=∠E=16°，∴∠C=∠BOD=8°，∴∠ABC=∠C﹢∠E=8°﹢16°=24°【例5】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，若∠AED=20°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．100° B．120°C．115°D．110°【答案】D【解析】解：連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠AED=20°，∴∠ACD=20°，∴∠BCD=∠ACB﹢∠ACD=110°【例6】如圖，是的直徑，，若，則圓周角的度數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴，∵，∴，∴，【例7】如圖所示，在半圓O中，AB為直徑，P為eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，分別在eq\o(AP,\s\up8(︵))和eq\o(PB,\s\up8(︵))上取其中點(diǎn)A1和B1，再在eq\o(PA,\s\up8(︵))1和eq\o(PB,\s\up8(︵))1上分別取其中點(diǎn)A2和B2.若一直這樣取下去，則∠AnOBn＝________°.【答案】(eq\f(90,2n－1))【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，∠A1OB1＝90°；當(dāng)n＝2時(shí)，∠A2OB2＝eq\f(90°,2)＝45……所以∠AnOBn＝(eq\f(90,2n－1))°.【例8】如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解析】∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°．【例9】如圖，以原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，D為第一象限內(nèi)⊙O上的一點(diǎn)，若∠DAB＝20°，則∠OCD＝°．解：連接DO，∵∠DAB＝20°，∴∠DOB＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，∵CO＝DO，∴∠OCD＝∠CDO，∴∠OCD＝（180°﹣50°）÷2＝65°．題型二：利用弧弦圓心角圓周角之間的關(guān)系證明弧、線段、角度?！纠?】已知：如圖所示，⊙O中弦AB＝CD．求證：AD＝BC．【答案】見解析【解析】證法一：如圖①，∵AB＝CD，∴．∴，即∴AD＝BC．證法二：如圖②，連OA、OB、OC、OD，∵AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD．∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，即∠AOD＝∠BOC，∴AD＝BC．【例2】如下圖，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE為⊙O的直徑，試問兩弦BE與CF的大小有何關(guān)系，說明理由．【答案】BE=CF．【解析】理由：∵AE為⊙O的直徑，AD⊥BC，∴∠ABE=90°=∠ADC，又∠AEB=∠ACB，∴∠BAE=∠CAF，∴．∴BE=CF．【例3】如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CM⊥AB，DN⊥AB．求證：．【答案】見解析【解析】證法一：如上圖所示，連OC、OD，則OC＝OD，∵OA＝OB，且，，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴．【例4】如圖，在⊙O中，M，N分別是半徑OA，OB的中點(diǎn)，且CM⊥OA交⊙O于點(diǎn)C，DN⊥OB交⊙O于點(diǎn)D.求證：eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).【答案】見解析【解析】證明：如圖，連接OC，OD，則OC＝OD.∵M(jìn)，N分別是半徑OA，OB的中點(diǎn)，∴OM＝ON.∵CM⊥OA，DN⊥OB，∴∠OMC＝∠OND＝90°.在Rt△OMC和Rt△OND中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OD，,OM＝ON，))∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，∴∠MOC＝∠NOD，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).【例5】如圖，OA、OB是⊙O的半徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，則∠OAC＝____°．【答案】30【解析】解：連接OC∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=50°，∴∠BOC=180°﹣50°×2=80°∴∠AOC=80°﹢40°=120°，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=30°【例6】已知弦AB把圓周分成1：5的兩部分，則弦AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)為____．【答案】60°【解析】解：∵弦AB把圓周分成1：5的兩部分，∴弦AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)=×360°=60°【例7】如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．68° B．88° C．90° D．112°【答案】B【解析】解：如圖，∵AB＝AC＝AD，∴點(diǎn)B、C、D在以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑的圓上；∵∠CBD＝2∠BDC，∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∴∠CAD＝2∠BAC，而∠BAC＝44°，∴∠CAD＝88°【例8】如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn)，則∠APB的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．75° D．60°【答案】D【解析】解：作半徑OC⊥AB于D，連接OA、OB，如圖，∵將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，∴OD＝CD，∴OD＝OC＝OA，∴∠OAD＝30°，又OA＝OB，∴∠OBA＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠APB＝∠AOB＝60°．類型三：圓內(nèi)接四邊形【例1】如圖，在⊙O中，若圓心角∠AOB=100°，C是上一點(diǎn)，則∠ACB等于()．A．80° B．100° C．130° D．140°【答案】C．【解析】設(shè)點(diǎn)D是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接AD、BD；則∠ADB=∠AOB=50°；∵四邊形ADBC內(nèi)接于⊙O，∴∠C=180°-∠ADB=130°；故選C．【例2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，假設(shè)∠BOD=138°，那么它的一個(gè)外角∠DCE等于()．A．69° B．42° C．48° D．38°【答案】A【解析】∠BAD=∠BOD=69°，由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角得∠DCE=∠BAD=69°.【例3】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是eq\o(CD,\s\up8(︵))上一點(diǎn)，且eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，則∠E的度數(shù)為()A.45°B.50°C.55°D.60°【答案】B【解析】∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∵＝，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.【例4】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC＝60°，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在OC的延長(zhǎng)線上，且CE＝AD，連接DE．（1）求證：四邊形AOCD是菱形；（2）若AD＝6，求DE的長(zhǎng)．【答案】見解析【解析】（1）∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，∴，∴AD＝DC，∠AOD＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴∠AOD＝∠DOC＝60°，∵OC＝OD，∴OA＝OC＝CD＝AD，∴四邊形AOCD是菱形；（2）由（1）可知，△COD是等邊三角形．∴∠OCD＝∠ODC＝60°，∵CE＝AD，CD＝AD，∴CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝∠OCD＝30°，∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，在Rt△ODE中，OD＝6，∠CED＝30°，∴OE=12，根據(jù)勾股定理∴DE＝6．【例5】如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為E.(1)若∠BAC＝40°，求∠ADC的度數(shù)；(2)求證：∠BAC＝2∠DAC.【答案】（1）110°（2）見解析【解析】(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－∠BAC)＝70°.∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－70°＝110°.(2)證明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°.∴∠ACB＝90°－∠CBD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°－∠CBD.∴∠BAC＝180°－2∠ABC＝2∠CBD.∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC.【例6】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∠BDC＝50°，則∠ADC的度數(shù)是【答案】130【解析】連接OA、OB、OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝130°.類型四：綜合性題目【例1】如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E，且∠BAC＝50°，給出下列四個(gè)結(jié)論：①BD＝CD，②AE＝CE，③∠ABE＝40°，④劣弧的度數(shù)為25°.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）①②④B．①③C．①④D．①③④【答案】B【解析】解：連接AD，OE，OD，∵AB為⊙O的直徑∴∠ADB=∠AEB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，故①正確∵∠BAC=50°，∴∠ABC=∠C=65°∵∠ABE=90°﹣∠BAC=40°故③正確∴∠CBE=∠ABC﹣∠BAC=25°∴AE≠CE，故②錯(cuò)誤∵∠BOE=2∠BAC=100°，∴弧BE的度數(shù)為100°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD∴弧BD=弧BD，∴劣弧DE的度數(shù)為50°，故④錯(cuò)誤【例2】如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN=1，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為（）A、4B、5C、6D、7【答案】B【解析】解：作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接OM、ON、ON′、MN′，則MN′與AB的交點(diǎn)即為PM﹢PN的最小時(shí)的點(diǎn)，PM﹢PN的最小值=MN′，∵∠MAB=20°，∴∠MOB=2∠MAB=2×20°=40°，∵N是弧MB的中點(diǎn)，∴∠BON=∠MOB=×40°=20°，由對(duì)稱性，∠N′OB=∠BON=20°∴∠MON′=∠MOB﹢∠N′OB=40°﹢20°=60°∴△MON′是等邊三角形∴MN′=OM=OB=AB=∴△PMN周長(zhǎng)的最小值=1﹢4=5【例3】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，AC＝CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．求證：AE＝CE．【答案】見解析【解析】證明：連接AG，CF，∵AB為直徑，且AB⊥CG，∴＝，又∵AC＝CF，∴＝，∴＝，∴∠ACG＝∠CAF，∴AE＝CE．【例4】如圖，⊙O的直徑CD為6cm，OA，OB都是⊙O的半徑，∠AOD＝2∠AOB＝60°，點(diǎn)P在直徑CD上移動(dòng)，則AP+BP的最小值為．【答案】3cm．【解析】解：作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B就是最小值（P此時(shí)為A′B與CD的交點(diǎn)），∵|OA|＝|OB|＝|OA′|＝|CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，∴∠AOB＝∠BOD＝30°，∵A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，∴△BOA′為等腰直角三角形，∴AP+BP的最小值為：|A′B|＝＝3cm．課后練習(xí)題：1、如圖，C、D是以AB為直徑的半圓上兩點(diǎn)，且D是中點(diǎn)，若∠ABD＝80°，則∠CAB＝_____．【答案】20°【解析】解：連接AD∵AB是直徑,∴∠ADB=90°,∵∠ABD=80°,∴∠DAB=10°,∵D是中點(diǎn),∴弧CD=弧BD∴∠CAD=∠DAB=10°∴∠CAB=20°2、如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E．（1）若∠CAB＝65°，求∠D的度數(shù)；（2）若AE＝10，EB＝2，且∠AEC＝30°，求CD的長(zhǎng)【答案】(1)25°(2)【解析】解：（1）連接BC∵AB是圓O的直徑∴∠ACB=90°∵∠CAB=65°∴∠B=25°∴∠D=∠B=25°（2）連接OC，過點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F,∵AE=10，BE=2∴OC=OA=6，OE=6﹣2=4∵∠AEC=60°∴OF=2由勾股定理得：解得：∴CD=2CF=3、如圖，C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，，，則__________．【答案】1【解析】∵AB為直徑，∴，∵，∴．4．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BOD＝88°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．88° B．92° C．106° D．136°【答案】D【解析】解：∵∠BOD＝88°，∴∠BAD＝88°÷2＝44°，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣44°＝136°，即∠BCD的度數(shù)是136°．5．如圖正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，P是在弧AB上的一點(diǎn)，則∠CPD度數(shù)是（）A．35° B．40° C．45° D．60°【答案】C【解析】解：連接AC，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠CAD＝45°，又∵∠CPD＝∠CAD，∴∠