高中物理競(jìng)賽之運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)定理動(dòng)量、動(dòng)量定理功與能動(dòng)量矩(角動(dòng)量）定理有心力問(wèn)題曲線的功合力所做的功等于分力所做功的代數(shù)和。內(nèi)積(標(biāo)量積)功功的性質(zhì)(1)功是過(guò)程量，一般與路徑有關(guān)。(2)功是標(biāo)量，但有正負(fù)。

(3)

合力的功為各分力的功的代數(shù)和。引力的功

兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間在萬(wàn)有引力作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以M所在處為原點(diǎn),

M指向m的方向?yàn)槭笍絩的正方向。m受的引力方向與矢徑方向相反。m在M的萬(wàn)有引力的作用下從a

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，萬(wàn)有引力的功:

與路徑無(wú)關(guān)彈力的功

kOabkOacbOakkOabkOa<0Potentialenergy(勢(shì)能)與相互作用物體的位置有關(guān)的能量。勢(shì)能的增量等于保守力所做功的負(fù)值.

(1)保守力做功勢(shì)能GravitationalpotentialenergyElasticpotentialenergy關(guān)于勢(shì)能：勢(shì)能總是與保守力相聯(lián)系。存在若干種保守力時(shí)，就可引進(jìn)若干種勢(shì)能。勢(shì)能的絕對(duì)數(shù)值與零勢(shì)能位形的選取有關(guān)，但勢(shì)能的差與之無(wú)關(guān)。不同保守力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能，其零勢(shì)能位形的選取可以不同。(3)勢(shì)能既然與各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的保守力相聯(lián)系，因而為體系所共有。(4)與勢(shì)能相聯(lián)系的是保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所作的總功，與參考系無(wú)關(guān)。

(2)勢(shì)能保守力梯度：Example:

findgravityfromgravitationalpotentialV=mgySolution:動(dòng)能定理:運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能的增加等于其它物體對(duì)它所做的功.Kineticenergy(動(dòng)能)

T=1/2mv2Conservationofmechanicalenergy

機(jī)械能守恒原理功能原理作用于質(zhì)點(diǎn)的力FFc所作的功Wc可用勢(shì)能的減少來(lái)表示.Fd所作的功Wn不（可）用勢(shì)能的減少來(lái)表示.系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力的功和非保守力內(nèi)力的功的總和。例（P221）：質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在環(huán)繞地球的圓軌道上,軌道半徑為,求衛(wèi)星的勢(shì)能\動(dòng)能和機(jī)械能.(不計(jì)空氣阻力)（1）勢(shì)能（2）動(dòng)能ROIPhO14-1一質(zhì)點(diǎn)沿正半軸OX運(yùn)動(dòng)，作用在質(zhì)點(diǎn)上有一個(gè)力F(x)=-10N。

在原點(diǎn)有一完全反射的墻。同時(shí)，摩擦力f=1.0N也作用在質(zhì)點(diǎn)上。質(zhì)點(diǎn)以E0=10J的動(dòng)能從x0＝1.0m出發(fā)。（1）確定質(zhì)點(diǎn)在最終靜止前所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)度，（2）畫出質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F中的勢(shì)能圖，（3）描繪出作為x函數(shù)的速度的定性圖。(1)類似于有阻力的自由落體，向上時(shí)加速度為11，下落時(shí)加速度為9，落回地面后又彈起。所以直到在原點(diǎn)速度為零才會(huì)靜止。F是保守力，所以

fS=E0+|F|x0S=20m.(2)Ep=|F|x+c

向上時(shí)加速度為11，下落時(shí)加速度為9

動(dòng)量、動(dòng)量定理動(dòng)量:沖量I:由牛頓第二定律：動(dòng)量定理的微分形式動(dòng)量定理的積分形式例

如圖所示，一質(zhì)量為m的小球在兩個(gè)壁面以速度vo來(lái)回彈跳，碰撞是完全彈性的，忽略重力貢獻(xiàn)。（1）求每個(gè)壁所受的平均作用力F，（2）如果一個(gè)壁表面以v<<vo的速率慢慢地移向另一個(gè)表面，則回跳頻率由于碰撞間距離的減少以及球從運(yùn)動(dòng)的表面碰回時(shí)，小球的速率增大而增加，求出用表面的距離x來(lái)表示的力F。（3）證明：把表面從距離l推近到距離x時(shí)所做的功等于球的動(dòng)能的增加。mv0vlx（1）因?yàn)槭峭耆珡椥耘鲎?，小球反彈的速度還是vo，所以小球每一次與壁面碰撞動(dòng)量的變化是2mvo,即單次碰撞墻壁受到的沖量為2mvo，單位時(shí)間內(nèi)的碰撞次數(shù)（碰撞頻率）為f=vo/2l,單位時(shí)間墻壁受到的總沖量即是墻壁受到的平均作用力，所以

(2)設(shè)兩個(gè)壁面之間距離為x時(shí)小球的速度為u,與上一問(wèn)類似，碰撞頻率為f=u/2x，每一次碰撞墻壁受到的沖量為2mu，所以求兩壁之間距離為x時(shí)的速度u。小球與壁面相繼兩次碰撞的時(shí)間間隔為每一次碰撞速度的增量為2ｖ小球速度的速度增加率積分得利用以上結(jié)論還容易證明，把表面從距離l推近到距離x時(shí)所做的功等于球的動(dòng)能的增加角動(dòng)量與

角動(dòng)量守恒

勻速直線運(yùn)動(dòng)的

一個(gè)守恒量掠面速度:Arealvelocity掠面速度：位矢r在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積。推廣到有心力！掠面速度Cc//SB，所以三角形SBC與SBc等高有心力作用下掠面速度相等。牛頓的推理：???有心力作用下角動(dòng)量守恒守恒量m定義：動(dòng)量矩角動(dòng)量mmMomentofinertia轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)量矩(角動(dòng)量）定理

質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的動(dòng)量矩等于對(duì)軸上任意一點(diǎn)的動(dòng)量矩在該軸上的投影。

關(guān)于軸線的動(dòng)量矩zApypxBpCSyyxxzAFyFxBFCSyyxx

直角坐標(biāo)系

力對(duì)線的力矩

極坐標(biāo)系FFBAFCS

力對(duì)參考點(diǎn)o的力矩M：受力質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于o點(diǎn)的位置矢量r與力F矢量的矢積。AFMroSM=Frsin

力對(duì)于參考點(diǎn)的力矩力對(duì)軸上任意一點(diǎn)力矩在該軸上的投影等于力對(duì)該軸的力矩。

動(dòng)量矩(角動(dòng)量）定理—平面運(yùn)動(dòng)極坐標(biāo)：

可以變化

直角坐標(biāo)：請(qǐng)自己證明：動(dòng)量矩(角動(dòng)量）守恒

若作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)參考點(diǎn)o的力矩之和保持為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩不變。開普勒第二定律對(duì)任一個(gè)行星說(shuō)，它的徑矢在相等的時(shí)內(nèi)掃過(guò)相等的面積。

運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受力的作用線始終通過(guò)某個(gè)定點(diǎn)。

作用力——有心力，定點(diǎn)——力心在有心力作用下，質(zhì)點(diǎn)在通過(guò)力心的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。有心力有心力問(wèn)題的基本方程以力心為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系兩個(gè)基本方程動(dòng)量矩守恒原理機(jī)械能守恒原理有心力為保守力TheLawsofPlanetaryMotion

Kepler‘sFirstLaw:

Theorbitsoftheplanetsareellipses,withtheSunatonefocusoftheellipse.

行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

Kepler'sSecondLaw:ThelinejoiningtheplanettotheSunsweepsoutequalareasinequaltimesastheplanettravelsaroundtheellipse.對(duì)任一個(gè)行星說(shuō)，它的徑矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。動(dòng)量矩守恒Kepler'sThirdLaw:Theratioofthesquaresoftherevolutionaryperiodsfortwoplanetsisequaltotheratioofthecubesoftheirsemimajoraxes:行星繞太陽(yáng)運(yùn)行軌道半長(zhǎng)軸a的立方與周期T的平方成正比T2/a3=K引力與距離平方成反比例題：人造衛(wèi)星沿著橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，近地點(diǎn)離地心的距離為r1,遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心的距離為r2,地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，求：（1）衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度；（2）衛(wèi)星的總機(jī)械能。

試導(dǎo)出開普勒第三定律！IPhO11-1一質(zhì)量為m=12t的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋轉(zhuǎn)，其高度h=100km。為使飛船降落到月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在X點(diǎn)作一次短時(shí)間發(fā)動(dòng)。從噴口噴出的熱氣流相對(duì)飛船的速度為u=10000m/s，月球半徑R=1700km,月球表面的重力加速度為g=1.7m/s2。飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球（如圖）（1）到達(dá)月球上A點(diǎn)，該點(diǎn)正好與X點(diǎn)相對(duì)；（2）在X點(diǎn)給一只向月球中心的動(dòng)量后，與月球表面相切于B點(diǎn)。試計(jì)算上述兩種情形下所需要的燃料量。分析：畫出兩種情形的完整軌道。用能量判斷軌道：是否橢圓？哪一種情形燃料更多？飛船被加速還是減速了。圓軌道速度（1）XA之間距離即新軌道長(zhǎng)軸為2R+h，能量為原軌道長(zhǎng)軸為2(R+h),能量為在X點(diǎn)需要改變的動(dòng)能：在X點(diǎn)需要改變的動(dòng)能：（2）

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(動(dòng)量定理)

碰撞

動(dòng)量矩定理

動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理——?jiǎng)恿慷ɡ碓谫|(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中，“質(zhì)點(diǎn)”其實(shí)就是物體的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理（微分形式）：質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)組所受外力的矢量和。質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理（積分形式）：質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量的改變等于質(zhì)點(diǎn)組在這段時(shí)間內(nèi)所受外力的沖量的矢量和。動(dòng)量守恒原理質(zhì)心的動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量守恒。質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量質(zhì)心的動(dòng)量。內(nèi)力不可能改變質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量。（注意：各分量的守恒?。├?p243)：長(zhǎng)為l質(zhì)量為m的軟繩，自靜止下落。開始（t=0)時(shí)，繩的下端與桌面恰相接觸，求下落過(guò)程中桌面對(duì)繩的反作用力。Zolzl-z具體分析（質(zhì)點(diǎn)組問(wèn)題）運(yùn)動(dòng)方程（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）

!?Zolzl-z例．在水平桌面上有一卷質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的鏈條，其一端用手以恒速v豎直向上提起（如圖所示），當(dāng)提起的長(zhǎng)度為x時(shí)，(1)求手的提力為多少？做功多少？(2)鏈條獲得的機(jī)械能為多少？(3)比較以上功與機(jī)械能變化是否相等，你能解釋嗎？vx解:取提起的這一段鏈條為研究對(duì)象，它受到的合力為手的提力與這一段自身的重力之和，即

鏈條在dt時(shí)間內(nèi)，一段長(zhǎng)度為dx=vdt的鏈條由靜止加速到v，其動(dòng)量的增量為

該力做功為（2）鏈條獲得的機(jī)械能為動(dòng)能和勢(shì)能之和（3）功與機(jī)械能變化的差是用功能原理來(lái)求力得不到正確結(jié)果!

動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理FikFkidridrk質(zhì)點(diǎn)i質(zhì)點(diǎn)k內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能

（1）動(dòng)能定理（2）質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能與質(zhì)心的動(dòng)能r0r1r’i=ri-r0質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)i=O柯尼希定理質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能=質(zhì)心的動(dòng)能+質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)能兩體問(wèn)題的動(dòng)能碰撞前的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能：碰撞后的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能：碰撞前后的動(dòng)能改變：e=1,T=0;e<1,T<0碰撞后的相對(duì)速度（3）機(jī)械能守恒原理與功能原理

保守力下的質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械能守恒原理在保守力作用下，質(zhì)點(diǎn)組的機(jī)械能保持不變。（機(jī)械能包括內(nèi)力的勢(shì)能）質(zhì)點(diǎn)組的功能原理Casestudy:

WorkdonebygravitationButifM~m,whatisthework?

勢(shì)能：屬于質(zhì)點(diǎn)組（整個(gè)系統(tǒng)）

Example:質(zhì)量為M、m的兩球原來(lái)相距為a，在萬(wàn)有引力作用下逐漸靠近至相距為b，求在此過(guò)程中引力所作的功。abSolutionI:

InFrameMMmabCr1r2SolutionII:

Re.centerofmassM:m:M:m:各個(gè)力的功與參考系有關(guān)，但一對(duì)力的功與參考系的選擇無(wú)關(guān)。質(zhì)心系里，內(nèi)力的功與質(zhì)量成反比。對(duì)小質(zhì)量物體作功占主要地位。引力的功只與物體系統(tǒng)的初始和最終相對(duì)位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。

碰撞Collisions（1-D）對(duì)心碰撞（正碰）（兩球的相對(duì)速度沿球心聯(lián)線）

m1u1m2u2(u1>u2)

動(dòng)量守恒原理碰撞前碰撞后碰撞過(guò)程壓縮階段恢復(fù)階段恢復(fù)系數(shù)

0<=e<=1完全彈性碰撞完全非彈性碰撞約化質(zhì)量動(dòng)能

相等

不相等動(dòng)量守恒原理+恢復(fù)系數(shù)的定義研究對(duì)心碰撞問(wèn)題的兩個(gè)基本方程式質(zhì)心的速度m1=m2的完全彈性碰撞交換速度練習(xí)：試在質(zhì)心系中求解對(duì)心碰撞從特殊到一般的思路！兩體問(wèn)題的動(dòng)能AboutkineticenergyBeforecollision：Aftercollision：Relativevelocity,aftercollisionTherefore：e=1,T=0;e<1,T<0資用能：availableenergy,

對(duì)撞機(jī)Example:

Thegravitationalslingshoteffect.Theplanet

Saturnmovinginthenegativex-directionatitsorbitsspeed(withrespecttothesun)of9.6km/s.ThemassoftheSaturnis5.69×1026kg.Aspacecraftwithmass825kgapproachesSaturn,movinginitiallyinthe+xdirectionat10.4km/s.ThegravitationalattractionofSaturncausesthespacecrafttoswingarounditandheadoffintheoppositedirection.FindthespeedofthespacecraftafteritisfarenoughawaytobenearlyfreeofSaturn’sgravitationalpull.IPhO16-3在一項(xiàng)太空計(jì)劃中，討論了向太陽(yáng)系外發(fā)射空間探測(cè)器的兩種方案。第一種方案是以足夠大的速度發(fā)射探測(cè)器，使其直接逃逸出太陽(yáng)系。第二種方案是使探測(cè)器靠近外層行星，然后借助于行星改變其運(yùn)動(dòng)方向，并達(dá)到逃逸出太陽(yáng)系所必須的速度。假定探測(cè)器僅在太陽(yáng)或行星的萬(wàn)有引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，究竟在那個(gè)引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，這要看探測(cè)器所在點(diǎn)哪個(gè)場(chǎng)較強(qiáng)。（1）按照第一種方案發(fā)射時(shí)，試確定探測(cè)器必須具有的相對(duì)地球運(yùn)動(dòng)的最小速度。（2）假定探測(cè)器已按（1）中確定的方向，然而以另一速度大小發(fā)射。試確定探測(cè)器與火星軌道相交時(shí)的速度，即確定相對(duì)于火星軌道的平行分量和垂直分量。發(fā)生相交時(shí)火星并不在交點(diǎn)附近。（3）設(shè)探測(cè)器進(jìn)入火星引力場(chǎng)以后再離開。求探測(cè)器從太陽(yáng)系逃逸的最小發(fā)射速度。（4）估算第二種方案與第一種方案所節(jié)省的能量的最大百分比。注：假定所有行星在同一平面內(nèi)沿相同方向繞太陽(yáng)在圓軌道上旋轉(zhuǎn)。忽略空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)以及從地球引力場(chǎng)逃逸出所消耗的能量。數(shù)據(jù)：地球繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)的速度為34km/s,地球與火星離太陽(yáng)的距離比為r=2/3。解:（1）第三宇宙速度問(wèn)題行星的軌道速度為：在地球軌道上發(fā)射要求（以太陽(yáng)為參照系）利用地球的軌道速度，只要求離開地球引力范圍后速度沿軌道方向，且相對(duì)于地球速度。（這個(gè)還不是第三宇宙速度，因?yàn)楹雎粤藦牡厍蛞?chǎng)逃逸出所需要的能量。）如果借助于火星，則離開火星引力范圍后相對(duì)于火星的速度為。

(2)假定相對(duì)于太陽(yáng)發(fā)射速度為v,（3）到達(dá)火星軌道的相對(duì)速度要達(dá)到接近火星的相對(duì)速度為在地球軌道上的相對(duì)速度為什么以火星為參照系？修正：考慮地球引力，地面發(fā)射速度與離開地心引力范圍后相對(duì)地球速度的關(guān)系，以上兩個(gè)發(fā)射速度平方都要加上2Rg，（4）方案1修正為

方案2修正為

為什么以地球?yàn)閰⒄障担?/p>

i)質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量矩定理的微分形式：

質(zhì)點(diǎn)組