正切-余切圖像的性質(zhì)-反三角函數(shù)

正切、余切函數(shù)圖象和性質(zhì)反三角函數(shù)[知識(shí)要點(diǎn)]

1．正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

2．反三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3．已知三角函數(shù)值求角

[目的要求]

1．類比正、余弦函數(shù)的研究，討論正切函數(shù)與余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)注其不同點(diǎn).

2．從反函數(shù)概念入手，引入反三角函數(shù)定義，并定性討論其圖象和性質(zhì).

3．能熟練運(yùn)用正、余弦函數(shù)性質(zhì)解決問題.

4．能用反三角函數(shù)值表示不同范圍內(nèi)的角.

[重點(diǎn)難點(diǎn)]

1．正切函數(shù)圖象與性質(zhì)2．已知三角函數(shù)值求角

[內(nèi)容回顧]

一、正切函數(shù)與余切函數(shù)圖象

由前面我們正、余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)的過程知，在中學(xué)階段，對(duì)一個(gè)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，多是“由圖識(shí)性”.因此，可以先作出正、余切函數(shù)的圖象.

作三角函數(shù)圖象的一般方法，有描點(diǎn)法和平移三角函數(shù)線法.與正、余弦函數(shù)的五點(diǎn)法作圖相類似，我們可以選擇正切函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象上三點(diǎn)及兩條重要的輔導(dǎo)線——漸近線，來(lái)作正切函數(shù)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖，不妨稱之為“三點(diǎn)兩線法”.

若想迅速作出余切函數(shù)y=cotx的圖象，如何選擇“三點(diǎn)”及“兩線”呢？請(qǐng)大家看余切函數(shù)的圖象，不難得到答案.

二、正、余切函數(shù)的性質(zhì)

由圖象可得:y=tanxy=cotx定義域值域RR單調(diào)性在上單增(k∈Z)在上單減(k∈Z)周期性T=πT=π對(duì)稱性10對(duì)稱中心，奇函數(shù)(k∈Z)

20對(duì)稱軸；無(wú)10對(duì)稱中心，奇函數(shù)(k∈Z)

20對(duì)稱軸；無(wú)

注:1、由定義域知，y=tanx與y=cotx圖象都存在無(wú)數(shù)多個(gè)間斷點(diǎn)（不連續(xù)點(diǎn)）.

2、每個(gè)單調(diào)區(qū)間一定是連續(xù)的.

3、由單調(diào)性可解決比較大小問題，但要?jiǎng)?wù)必使兩個(gè)自變量在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).

三、反三角函數(shù)的概念和圖象

四種三角函數(shù)都是由x到y(tǒng)的多值對(duì)應(yīng)，要使其有反函數(shù)，必須縮小自變量x的范圍，使之成為由x到y(tǒng)的對(duì)應(yīng).從方便的角度而言，這個(gè)x的范圍應(yīng)該（1）離原點(diǎn)較近；（2）包含所有的銳角；（3）能取到所有的函數(shù)值；（4）最好是連續(xù)區(qū)間.從這個(gè)原則出發(fā)，我們給出如下定義:

1．y=sinx,x∈的反函數(shù)記作y=arcsinx,x∈[-1,1]，稱為反正弦函數(shù).

y=cosx,x∈[0,π]的反函數(shù)記作y=arccosx,x∈[-1,1]，稱為反余弦函數(shù).

五、已知三角函數(shù)值求角

1.若sinx=a(|a|≤1)，則x=kπ+(-1)karcsina(k∈Z)

2.若cosx=a(|a|≤1)，則x=2kπ±arccosa(k∈Z)

3.若tanx=a(a∈R),則x=kπ+arctana(k∈Z)

4.若cotx=a(a∈R),則x=kπ+arccota(k∈Z)

具體計(jì)算和表示時(shí)，應(yīng)根據(jù)x的范圍來(lái)確定x的個(gè)數(shù).

[典型例題分析]

例1．比較大小:

(1)(2)

分析:不在余切函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，應(yīng)利用誘導(dǎo)公式設(shè)法將其化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用單調(diào)性來(lái)比較大小.

解:（1）∵,

而，由余切函數(shù)在（0，π）上的單減性，有

，∴

（2）∵

∴.

例2．寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(1)(2)(3)y=|tanx|

分析:(1)若設(shè)，則原函數(shù)可看作是由y=tanu,復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，由于在R上單增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定法則，可解決之.類似地，可解決(2).

解:(1)∵上單增，(k∈Z)

此時(shí)，(k∈Z)

解之得(k∈Z)

∴在區(qū)間上單增(k∈Z)

(2)∵原函數(shù)由y=cotu,復(fù)合而成，而在R上單減，

又y=cotu在(k∈Z)上單減，

此時(shí)，(k∈Z)

解之得(k∈Z)

即(k∈Z)

∴在區(qū)間(k∈Z)上單增.

(3)分析:由y=tanx圖象作翻折可得y=|tanx|的圖象，由圖象即可得其單調(diào)區(qū)間.∴y=|tanx|的單增區(qū)間是(k∈Z)，單減區(qū)間是(k∈Z).例3．求函數(shù)的值域.

分析:考慮到最簡(jiǎn)原則，將sec2x化為tan2x+1，這樣去分母，作變形，就可以得到關(guān)于tanx的二次型方程，而tanx∈R，可考慮用判別式法求值域.有

法一:∵，∴(y-1)tan2x+(1+y)tanx+(y-1)=0

當(dāng)y≠1時(shí)，，∴，

當(dāng)y=1時(shí)，tanx=0∈R綜上，所求值域?yàn)?

法二:另分析，先對(duì)解析式變形“切割化弦”

有........(1)

∵,∴

∴,∴.

法三:也可由(1)式得，

解不等式，亦可得.

例4．設(shè)，它們有相同最小正周期T，且a,b∈(0,1),若f(1)=g(1)，求f(x),g(x)和T.

分析:先從f(x)與g(x)有共同最小正周期入手，找參數(shù)a,b關(guān)系.

解:∵，∴a=2b,

∵f(1)=g(1),∴

即,∴

∴或，

∴或

又b∈(0,1),∴.

∴,T=12.

例5．若,cosx+tsinx=t,求t取值范圍.分析:先將t表示出來(lái)，，觀察到此式右端與半角正切的有理公式很相像，能否轉(zhuǎn)化？

∵

又，∴，∴，即.

例6．求值:

(1)(2)

(3)(4)arctan2+arctan3

解:(1)設(shè)，則，∴

∴原式.

(2)設(shè)，

∴，∴，

∴原式

(3)設(shè)，

∴，∴，

∵，∴原式值不存在.

(4)設(shè)arctan2=a,arctan3=b，則，

∴.又，∴0<a+b<π,

∴,∴原式=.