復(fù)變函數(shù)與積分變換-第一章

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)理論中的許多概念、理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)的產(chǎn)生最早可以追溯到十六世紀(jì)中期。但直到十八世紀(jì)末期，經(jīng)過了卡爾丹、笛卡爾、歐拉以及高斯等許多人的長(zhǎng)期努力，復(fù)數(shù)的地位才被確立下來。復(fù)變函數(shù)理論產(chǎn)生于十八世紀(jì)，在十九世紀(jì)得到了全面為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的發(fā)展。為復(fù)變函數(shù)理論的創(chuàng)建做了早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾、拉普拉斯等。則是柯西、黎曼和維爾斯特拉斯等。二、內(nèi)容提要復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)極限連續(xù)性代數(shù)運(yùn)算乘冪與方根復(fù)數(shù)表示法幾何表示法

向量表示法三角及指數(shù)表示法復(fù)球面復(fù)平面擴(kuò)充曲線與區(qū)域判別定理極限的計(jì)算第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)§1.2復(fù)數(shù)的三角表示§1.3平面點(diǎn)集的一般概念§1.4無窮大與復(fù)球面§1.5復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)§1.1-1.2復(fù)數(shù)及其表示式1復(fù)數(shù)的概念2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算3復(fù)數(shù)的表示方法4乘冪與方根1.1.1復(fù)數(shù)的概念簡(jiǎn)單的代數(shù)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，引入等式1.虛數(shù)單位

2.復(fù)數(shù)的概念1.1.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算注意

復(fù)數(shù)不能比較大小.

設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù),如果x1=x2,y1=y2,則稱z1和z2相等,記為z1=z2.

1.復(fù)數(shù)相等1)兩復(fù)數(shù)的和2)兩復(fù)數(shù)的積

3)兩復(fù)數(shù)的商

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算4)共軛復(fù)數(shù)實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)的商2.結(jié)合律3.分配律復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)1.交換律解例

1.1設(shè)

求與例1.2……（1）幾何表示法1.1.3復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示法（2）向量表示法

這時(shí)復(fù)數(shù)加、減法滿足向量加、減法中的平行四邊形法則.

把向量的長(zhǎng)度r稱為復(fù)數(shù)z的或稱為z的絕對(duì)值,并記做|z|.復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值)

模的性質(zhì)三角不等式復(fù)數(shù)的輻角輻角的主值（3）三角表示法利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成稱為復(fù)數(shù)z的指數(shù)表示式.（4）指數(shù)表示法利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成稱為復(fù)數(shù)z的三角表示式.解xy復(fù)數(shù)的三角表示式為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式為例1.3將化為三角表示式與指數(shù)表示式.解：顯然,r=|z|=1,又因此將化為三角表示式與指數(shù)表示式.練習(xí)：當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)z和在復(fù)平面的位置是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的.一、利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算設(shè)乘法即(在集合意義下)

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們輻角的和。模等于它們的模的乘積；1.1.4乘冪與方根兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的幾何意義設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為先將z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度,再將模變到原來的r2倍,于是所得的向量z就表示乘積設(shè)除法(在集合意義下)

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的幅角等于它們幅角的差。模等于它們的模的商；即例1.4計(jì)算解由有附一些“簡(jiǎn)單”復(fù)數(shù)的指數(shù)形式解由有練習(xí)復(fù)數(shù)z的乘冪，設(shè)

z

是給定的復(fù)數(shù)，

n

為正整數(shù)，n

個(gè)

z

相乘的積稱為定義二、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.復(fù)數(shù)的乘冪設(shè)則法則

利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到乘冪法則。即記為二、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.復(fù)數(shù)的乘冪由以及復(fù)數(shù)的三角表示式可得在上式中令r=

1，則得到棣莫弗(DeMoivre)公式：

棣莫弗(DeMoivre)公式

進(jìn)一步易得到正弦與余弦函數(shù)的

n

倍角公式。例

由此引出方根的概念。此外，顯然有.復(fù)數(shù)

w，二、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2.復(fù)數(shù)的方根稱為把復(fù)數(shù)開

n

次方，或者稱為求復(fù)數(shù)的

復(fù)數(shù)求方根是復(fù)數(shù)乘冪的逆運(yùn)算。設(shè)是給定的復(fù)數(shù)，n

是正整數(shù)，求所有滿足的定義n

次方根，記作或

復(fù)數(shù)的

n

次方根一般是多值的。二、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2.復(fù)數(shù)的方根

利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到開方法則。設(shè)推導(dǎo)即得——正實(shí)數(shù)的算術(shù)根。由有二、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2.復(fù)數(shù)的方根描述在復(fù)平面上，這

n

個(gè)根均勻地為半徑的圓周上。根的輻角是分布在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、以其中一個(gè)方法

直接利用公式求根；

先找到一個(gè)特定的根，再確定出其余的根。例求解具體為：例求解方程解具體為：(2)(3)

法則(1)無意義。無意義。

實(shí)部虛部是多少?問題

模與輻角是多少?

在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)到哪一點(diǎn)？一、無窮大1.1.5擴(kuò)充復(fù)平面及其球面表示定義一個(gè)特殊的復(fù)數(shù)∞，稱為無窮大，滿足二、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)1.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念(

?

)定義在“復(fù)平面”上一個(gè)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的“理想”點(diǎn)，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

事實(shí)上，在通常的復(fù)平面上并不存在這樣的點(diǎn)，因此只能說它是一個(gè)“理想”點(diǎn)。

那么，這個(gè)“理想”點(diǎn)到底在哪里呢？下面就來看看黎曼(Riemnann)給出的解釋。二、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)2.復(fù)球面

如圖，其中，N為北極，S為南極。這樣的球面稱作復(fù)球面。

對(duì)復(fù)平面上的任一點(diǎn)用

球面上除

N

點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，直線將

點(diǎn)與

N

點(diǎn)相連，與球面相交于點(diǎn)。p

球面上的

N

點(diǎn)本身則對(duì)應(yīng)到了“復(fù)平面”上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。注顯然，復(fù)數(shù)不能寫成或者。某球面與復(fù)平面相切，

球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.我們用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).

球面上的北極N不能對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的定點(diǎn),當(dāng)球面上的點(diǎn)離北極

N

越近,它所表示的復(fù)數(shù)的模越大.二、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)3.擴(kuò)充復(fù)平面(2)不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面，或者簡(jiǎn)稱為復(fù)平面。(1)包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面；定義M二、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)4.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域設(shè)實(shí)數(shù)

M

>

0，定義(1)包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)且滿足的所有點(diǎn)的集合，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域。(2)不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)且滿足的所有點(diǎn)的集合，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域，也可記為§1.3復(fù)平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集二、區(qū)域三、平面曲線一、平面點(diǎn)集1.鄰域設(shè)為復(fù)平面上的一點(diǎn)，定義dz0dz0(1)稱點(diǎn)集為點(diǎn)的鄰域；(2)稱點(diǎn)集為點(diǎn)的去心鄰域。內(nèi)點(diǎn)一、平面點(diǎn)集2.內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)與邊界點(diǎn)(1)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)邊界點(diǎn)考慮某平面點(diǎn)集

G

以及某一點(diǎn)，(2)有外點(diǎn)(1)(2)有邊界點(diǎn)(1)不一定屬于

G

；在中，(2)既有又有邊界G

的邊界點(diǎn)的全體稱為

G

的邊界。3.開集與閉集開集如果

G

的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱

G

為開集。一、平面點(diǎn)集閉集如果

G

的邊界點(diǎn)全部都屬于

G

，則稱

G

為閉集。4.有界集與無界集定義若存在，使得點(diǎn)集

G

包含在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)，則

G

稱為有界集，否則稱為非有界集或無界集。二、平面曲線1.方程式

在直角平面上

在復(fù)平面上

如何相互轉(zhuǎn)換？(比較熟悉)(比較陌生)(1)(2)(建立方程)(理解方程)i-

i(1)i-

i(2)2i-

2(3)1-

12-

2(4)1-

1(5)二、平面曲線2.參數(shù)式

在直角平面上

在復(fù)平面上例如考察以原點(diǎn)為圓心、以

R

為半徑的圓周的方程。(2)在復(fù)平面上(1)在直角平面上二、平面曲線3.曲線的分類考慮曲線簡(jiǎn)單曲線當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單曲線且光滑曲線在區(qū)間上，和連續(xù)且簡(jiǎn)單、不閉簡(jiǎn)單、閉不簡(jiǎn)單、閉不簡(jiǎn)單、不閉連續(xù)的簡(jiǎn)單閉曲線稱為Jordan曲線.連續(xù)曲線連續(xù)。三、區(qū)域1.區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域平面點(diǎn)集

D

稱為一個(gè)區(qū)域，如果它滿足下列兩個(gè)條件:(1)D是一個(gè)開集；(2)D是連通的，閉區(qū)域區(qū)域

D

與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域,記作

D。不連通的一條折線連接起來。即

D

中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于

D連通三、區(qū)域2.有界區(qū)域與無界區(qū)域(顧名思義)3.內(nèi)區(qū)域與外區(qū)域定義一條“簡(jiǎn)單閉曲線(?)”把整個(gè)復(fù)平面分成兩個(gè)區(qū)域，其中有界的一個(gè)稱為該簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部(內(nèi)區(qū)域)，稱為該簡(jiǎn)單閉曲線的外部(外區(qū)域)。另一個(gè)約當(dāng)定理

任何Jordan曲線C將平面分為兩個(gè)區(qū)域,即內(nèi)部區(qū)域(有界)與外部區(qū)域(無界),C是它們的公共邊界.內(nèi)部外部邊界4.單連通域與多連通域定義設(shè)

D

為區(qū)域，如果

D

內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部仍屬于

D，則

D

稱為單連通域，

多連通域又可具體分為二連域、三連域、…

…。否則稱為多連通域。A

省(二連域)(三連域)三、區(qū)域4.單連通域與多連通域A

省(單連域)B

省(單連域)B

省(非區(qū)域)舉例(杜撰)飛地區(qū)域1-

2

+

i閉區(qū)域(角形)區(qū)域四.有向曲線定義設(shè)

C

為平面上一條給定的光滑(或分段光滑)曲線，指定

C

的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正向，則

C

為帶有方向的曲線，稱為有向曲線，仍記為

C。代表與

C

的方向相反(即

C

的負(fù)方向)的曲線。如果相應(yīng)地，

則逆時(shí)針方向。區(qū)域區(qū)域四.有向曲線

簡(jiǎn)單閉曲線的正向一般約定為：當(dāng)曲線上的點(diǎn)

P

順此方向沿曲線前進(jìn)時(shí),

區(qū)域邊界曲線的正向一般約定為：當(dāng)邊界上的點(diǎn)

P

順此方向沿邊界前進(jìn)時(shí),曲線所圍成的有界區(qū)域始終位于

P

點(diǎn)的左邊。所考察的區(qū)域始終位于

P

點(diǎn)的左邊。注意區(qū)域可以是多連域。曲線(1)圓環(huán)域:例判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.

例指出下列不等式所確定的點(diǎn)集,是否有界?是否區(qū)域?如果是區(qū)域,單連通的還是多連通的?無界的單連通區(qū)域(如圖).解

(1)當(dāng)時(shí),是角形域,無界的單連通域(如圖).周外部,無界多連通區(qū)域(如圖).是以原點(diǎn)為中心,半徑為的圓表示到1,–1兩點(diǎn)的距離之表示該橢圓的內(nèi)部,這是有界的單連通區(qū)域(如圖).和為定值4的點(diǎn)的軌跡,因?yàn)樗赃@是橢圓曲線.內(nèi)部.這是有界集,但不是區(qū)域.令是雙葉玫瑰線(也稱雙紐線).表示雙紐線的

例滿足下列條件的點(diǎn)集是否區(qū)域?如果是區(qū)域,是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域?這是一條平行于實(shí)軸的直線,不是區(qū)域.它是單連通區(qū)域.這是以為右邊界的半平面,不包括直線它是多連通區(qū)域.它不是區(qū)域.這是以為圓心,以2為半徑的去心圓盤.這是以i為端點(diǎn),斜率為1的半射線,不包括端點(diǎn)i.§1.5復(fù)變函數(shù)一、基本概念二、圖形表示三、極限四、連續(xù)一、基本概念

在以后的討論中，D常常是一個(gè)平面區(qū)域，稱之為定義域。按照一定法則，有確定的復(fù)數(shù)w與它對(duì)應(yīng)，一般情形下，所討論的“函數(shù)”都是指單值函數(shù)。上定義一個(gè)復(fù)變函數(shù)，記作定義設(shè)

D

是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)集，對(duì)于

D

中任意的一點(diǎn)，z對(duì)每個(gè)有唯一的

w

與它對(duì)應(yīng)；

單值函數(shù)比如

多值函數(shù)對(duì)每個(gè)有多個(gè)

w

與它對(duì)應(yīng)；比如則稱在D一、基本概念

一個(gè)復(fù)變函數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)。分析則可以寫成設(shè)其中，與為實(shí)值二元函數(shù)。分開上式的實(shí)部與虛部得到于是，復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)、一致連續(xù)等概念就是映射

的相應(yīng)概念.有關(guān)映射的各種性質(zhì)也對(duì)復(fù)變函數(shù)成立.

重要注記：由于，，故一般將理解為以為自變量的函數(shù)，即。以后將看到，這樣做會(huì)帶來很多方便，并且具有“復(fù)風(fēng)格”.分開實(shí)部與虛部即得代入得解記GG二、圖形表示C映射復(fù)變函數(shù)在幾何上被看作是把z平面上的一個(gè)平面z平面w點(diǎn)集變到

w

平面上的一個(gè)點(diǎn)集的映射(或者變換)。其中，點(diǎn)集稱為像，點(diǎn)集稱為原像。

函數(shù)、映射以及變換可視為同一個(gè)概念。(分析)(幾何)(代數(shù))Dzxywuv

對(duì)于復(fù)變函數(shù)，它反映的是兩對(duì)變量u，v和x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而無法用一個(gè)平面或一個(gè)三維空間的圖形來表示。故在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對(duì)變量u，v

與x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問題時(shí)，可借助于幾何直觀.思考題：為什么在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)平面來表示其圖形？二、圖形表示反函數(shù)與逆映射雙方單值與一一映射為

w

平面上的點(diǎn)集

G，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閦平面上的點(diǎn)集D，值域的一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn)z，一個(gè)函數(shù)它稱為函數(shù)

的反函數(shù)，也稱為映射的逆映射。若映射與它的逆映射都是單值的，則稱映射是雙方單值的或者一一映射。則

G

中的每個(gè)點(diǎn)

w

必將對(duì)應(yīng)著

D

中按照函數(shù)的定義，在G

上就確定了解(1)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的像(點(diǎn))為(2)區(qū)域D

可改寫為：令則可得區(qū)域D

的像(區(qū)域)G

滿足即函數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)例因此，它把

z

平面上的兩族雙曲線分別映射成

w

平面上的兩族平行直線xy1-1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4-2uv1010-10-102468100c1c20例解—關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射且是全同圖形.三、極限定義設(shè)函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)有定義

,若存在復(fù)數(shù)使得當(dāng)時(shí)，有記作或注(1)

函數(shù)在點(diǎn)可以無定義；(2)

趨向于的方式是任意的。則稱A為函數(shù)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限，xyz0d幾何意義三、極限它的像點(diǎn)就落在

A

的預(yù)先給定的

e

鄰域內(nèi)。uvAe

當(dāng)變點(diǎn)一旦進(jìn)入的充分小的

d

鄰域時(shí),z0zf

(z)z性質(zhì)如果則三、極限與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.定理三、極限設(shè)證明如果則當(dāng)時(shí)，則必要性“”

P16定理

1.4

(跳過?)證明充分性“”則當(dāng)時(shí)，如果定理設(shè)三、極限則說明三、極限

關(guān)于含

的極限作如下規(guī)定：(3)

所關(guān)心的兩個(gè)問題：(1)如何證明極限存在？(2)如何證明極限不存在？選擇不同的路徑進(jìn)行攻擊。放大技巧

。(1)(2)例

試求方法一由定理1，得方法二由于，由定理2（3）得xy討論函數(shù)在的極限。例當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此極限不存在。解方法一解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此極限不存在。方法二xy方法三沿著射線與有關(guān)，因此極限不存在。討論函數(shù)