2022屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之突破詳解：35 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 含解析

學(xué)習(xí)目標(biāo)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.

2.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系中和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)

的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.

3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程.

4.了解曲線參數(shù)方程的意義，掌握直線、圓及圓錐曲線的參數(shù)方程，會(huì)應(yīng)用參數(shù)方程解決

有關(guān)的問(wèn)題.

5.掌握參數(shù)方程與普通方程的互化，會(huì)根據(jù)已知給出的參數(shù)，依據(jù)條件建立參數(shù)方程.

二.知識(shí)點(diǎn)

1.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換

設(shè)點(diǎn)PG,力是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在

變換°：I:二::管的作用下，點(diǎn)尸⑸舊對(duì)應(yīng)到

點(diǎn)戶（X'，/）,稱0為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變化，簡(jiǎn)稱伸縮變換.

2.極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo)

在平面上取一個(gè)定點(diǎn)0,自點(diǎn)。引一條射線公，同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方

向（通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较颍?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.其中，點(diǎn)。稱為極點(diǎn)，射

線應(yīng)稱為極軸.

設(shè)〃是平面上任一點(diǎn)，P表示的的長(zhǎng)度，e表示以射線公為始邊，射線的為終邊所成

的角.那么，有序數(shù)對(duì)（P,0）

稱為點(diǎn)〃的極坐標(biāo).顯然，每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（。，，）決定一個(gè)點(diǎn)的位置.其中，o稱為

點(diǎn)〃的極徑，。稱為點(diǎn)"的極角.

由極徑的意義可知當(dāng)極角6的取值范圍是［0,2“）時(shí)，平面上的點(diǎn)（除去極點(diǎn)）就

與極坐標(biāo)（0,。）（0/0）建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們約定，極點(diǎn)的極坐標(biāo)是極徑。=0,

極角。可取任意角.

3.坐標(biāo)之間的互化

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位

（如圖）.平面內(nèi)任意一點(diǎn)尸的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為（X,力和（0,。），則由三角函數(shù)

的定義可以得到如下兩組公式：

■

仁制.。:7x（"。）

通常情況下，將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，取OW8<2n.

4.參數(shù)方程的定義

在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）都是某個(gè)變數(shù)方的函數(shù)，即

｛；：*；，并且對(duì)于1的每一個(gè)允許值，由該方程組所確定的點(diǎn)歷（x,力都在這條曲線上，

那么此方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參

數(shù).對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程尸（X,力=0叫做普通方程.

5.參數(shù)方程和普通方程的互化

由參數(shù)方程化為普通方程：消去參數(shù)，消參數(shù)的方法有代入法、加減（或乘除）消元法、

三角代換法等.如果知道變數(shù)x,y中的一個(gè)與參數(shù)力的關(guān)系，例如x=f（t）,把它代入普

通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系尸以力，那么就是曲線的參數(shù)方程，在

gg（力

參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.

三.方法總結(jié)

1.點(diǎn)〃（。，。）的極坐標(biāo)通式是（49+2仙）或（一0,，+2An+n）（AGZ）.如果限定

。>0,0W。<2n或一it<n，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)（。，9）一一對(duì)應(yīng).

{x=PCOS嚴(yán)/山=置學(xué)。）.這兩組公式必須

2.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式是

[y=0sin

滿足下面的“三個(gè)條件”才能使用：（1）原點(diǎn)與極點(diǎn)重合；（2）x軸正半軸與極軸重合；（3）

長(zhǎng)度單位相同.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化中，需注意等價(jià)性，特別是兩邊乘以?！〞r(shí)，方程

增了一個(gè)〃重解。=0,要判斷它是否是方程的解，若不是要去掉該解.

3.極坐標(biāo)方程的應(yīng)用及求法

（1）合理建立極坐標(biāo)系，使所求曲線方程盡量簡(jiǎn)單.

（2）巧妙利用直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間的互化公式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)解決

問(wèn)題.

（3）利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出關(guān)于極坐標(biāo)（。，6）的方程是求極坐標(biāo)系

曲線方程的法寶.

（4）極坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系：①點(diǎn)尸（O,關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)*（O,9±n）；②點(diǎn)

P（P,夕）關(guān)于極軸所在直線的對(duì)稱點(diǎn)p（P,一〃）；③點(diǎn)尸（0,關(guān)于直線的

對(duì)稱點(diǎn)為P（P,n一9）;④點(diǎn)P（0,關(guān)于直線0=：?的對(duì)稱點(diǎn)為*（o,-

4.極坐標(biāo)系下Z（小，氏），B（p2,%）間的距離公式|相|=

、2Ozcos（e、一%）

L選取參數(shù)時(shí)的一般原則是：（Dx,y與參數(shù)的關(guān)系較明顯，并列出關(guān)系式；（2）當(dāng)參數(shù)取

一值時(shí)，可唯一的確定x,y的值；（3）在研究與時(shí)間有關(guān)的運(yùn)動(dòng)物體時(shí)，常選時(shí)間作為參

數(shù)；在研究旋轉(zhuǎn)物體時(shí)，常選用旋轉(zhuǎn)角作為參數(shù)；此外，也常用線段的長(zhǎng)度、傾斜角、斜

率、截距等作為參數(shù).

2.求曲線的參數(shù)方程常常分成以下幾步：（1）建立直角坐標(biāo)系，在曲線上設(shè)任意一點(diǎn)P（x,

y）；（2）選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)；（3）找出x,y與參數(shù)的關(guān)系，列出解+析式；（4）證明（常常省略）.

3.根據(jù)直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論：（1）若曲，Mz為1上任意

兩點(diǎn)，Mi,Mz對(duì)應(yīng)t的值分別為ti,t2,則|MiMz|=|tLtz|；（2）若Mo為線段MM的中點(diǎn)，

則有ti+tz=O：（3）若線段MM的中點(diǎn)為M,則臨從=狙=駕±.一般地，若點(diǎn)P分線段MM

Ct

所成的比為X,則tp=WW

JL十A

?直線的參數(shù)方程的一般式［xy=xyo0++abtt,6為參數(shù)），是過(guò)點(diǎn)近外）,斜率程b的直線的

參數(shù)方程.當(dāng)且僅當(dāng)a2+b2=l且b20時(shí)，才是標(biāo)準(zhǔn)方程，t才具有標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義.

x=xo+at,

將非標(biāo)準(zhǔn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是《(tzeR),式中“土”

,y=yo+bt,Ibl

y="+后律

號(hào)，當(dāng)a,6同號(hào)時(shí)取正；當(dāng)&6異號(hào)時(shí)取負(fù).

5.參數(shù)方程與普通方程互化時(shí)，要注意：（1）不是所有的參數(shù)方程都能化為普通方程；（2）

在化參數(shù)方程為普通方程時(shí)變量的范圍不能擴(kuò)大或縮?。唬?）把普通方程化為參數(shù)方程時(shí)，

由于參數(shù)選擇的不同而不同，參數(shù)的選擇是由具體的問(wèn)題來(lái)決定的.

6.在已知圓、橢圓、雙曲線和拋物線上取一點(diǎn)可考慮用其參數(shù)方程設(shè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，將問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題求解.

7.在直線與圓和圓錐位置關(guān)系問(wèn)題中，涉及距離問(wèn)題探求可考慮應(yīng)用直線參數(shù)方程中參數(shù)

的幾何意義求解.

8.在求某些動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，直接尋找x,y的關(guān)系困難，甚至找不出時(shí)，可以通過(guò)引入

參數(shù)，建立動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)方程后求解.

四.高考命題題型演練

1.極坐標(biāo)方程

例1.在平面直角坐標(biāo)系中，圓。：一+/一4,=0,直線/:x+y—4=0.

（1）以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C和直線/的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；

x=m+1

（2）若點(diǎn)。為圓C和直線/交點(diǎn)的中點(diǎn)，且直線的參數(shù)方程為｛了―？/*/'（f為參數(shù)），

求。，匕的值.

【答案】⑴（4,?和點(diǎn)（2立,彳:⑵a=2,b=3.

【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線和圓的極坐標(biāo)方程即可得到交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）兩個(gè)曲線的交點(diǎn)的直角

坐標(biāo)為94）和（2,2）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（L3）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）,直線6的普通方程為X—y+2=0,

將參數(shù)方程代入普通方程，即可得到結(jié)果.

詳細(xì)分析：

（1）由題可知，圓。的極坐標(biāo)方程為夕=4sin8,直線/的極坐標(biāo)方程為

pcos6+psine=4,由

夕=4夕=20

p=4sin0

，可得｛八71或｛7T,可得圓C和直線/的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為

pcosO+psinO=4（7=——u=—

24

（4，f）和點(diǎn)J%）

（2）由（1）知圓C和直線I的交點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（0,4）和（2,2,）,那么點(diǎn)D的

坐標(biāo)為（1,3）,又點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）,所以直線CQ的普通方程為x-y+2=0,把

x=at/、。-2=0

｛（f為參數(shù)）代入x—y+2=0,可得（。一2?+3—。=0,則｛,即

y=2t+bv73-b=0

a=2,b=3.

一x=-2+2cosa

練習(xí)L在直角坐標(biāo)系xOy中，圓G的參數(shù)方程為｛（a為參數(shù)）.以坐標(biāo)

y=4+2sina

原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為

（1）求圓G的極坐標(biāo)方程和直線G的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)G與G的交點(diǎn)為RQ，求ACEQ的面積.

【答案】（1）C,的極坐標(biāo)方程為p2+40cos6-8psine+16=O；（2）公。/。的面積為

2.

【解析】試題分析：（1）圓G消去參數(shù)得普通方程，由乂=匹近夕?=。5而/得圓G的極坐標(biāo)方程，直線

G為過(guò)原點(diǎn)的直線，且斜率為1，從而得方程；

（2）將。=若代入圓G的極坐標(biāo)方程得，"一&&°+i6=o,|可2|=|用一闖=2應(yīng)，從而得

AQP0的面積.

試題詳細(xì)分析：（I）直線°?的直角坐標(biāo)方程為x+）'=°

圓G的普通方程為(x+2)：+。，_4)2=4,因?yàn)閤=0cos&y=°sin8,所以G的極坐標(biāo)

方程為0A+4/?cos6—8/7sin8+16=0

夕=任，

(H)將一4代入夕？+42cos8—8夕sin8+16=0得p2_&Hp+16=0

解得Pi=4僅0=20故凸~Pi=2、位，即IPQ1=20.

由于圓G的半徑為2,所以AG22的面積為2

練習(xí)2.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的方程是y=6,圓。的參數(shù)方程是｛“(0

y=1+sin<p

為參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)分別求直線/與圓。的極坐標(biāo)方程；

TT

(2)射線。M：6>=a(0<a<2)與圓C的交點(diǎn)為。，P兩點(diǎn)，與直線/交于點(diǎn)M,

2

射線ON：6=a+工與圓。交于。，。兩點(diǎn)，與直線/交于點(diǎn)N,求?四的最

2\OM\|OA^|

大值.

【答案】(1)Psin6=6,p-2sin0；(2)—.

36

試題分析：(1)利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可求得直線和圓的極坐標(biāo)方程；

(2)由題意可得：點(diǎn)「，M的極坐標(biāo)，可得%a=當(dāng)包，同理可得：已烏=?@,

\OM\3|ON|3

即可得出結(jié)論.

試題詳細(xì)分析：

(1)直線/的方程是y=6,可得極坐標(biāo)方程：psinP=6

圓C的參數(shù)方程是｛甲(0為參數(shù))，可得普通方程：/+。一1)-=1

y=1+sirup

展開(kāi)為x2+y2—2y=0.化為極坐標(biāo)方程：02-2psin6=O即夕=2sin6

,、（一⑷

（2）由題意可得：點(diǎn)尸，M的極坐標(biāo)為：（2sin%a）,即。.

|。尸|_sin%

(,可得

|^P|=2sinz/|OM|=—=

sin。\0M\3

佻1_如*+d號(hào)

同理可得：

\0N\-3~

M因_sir?2aw1/

.\OM\|CW|36%當(dāng)“4時(shí)，取等號(hào).

1

，瑞?周的最大值為36.

x——1+2f

練習(xí)工在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知曲線q的參數(shù)方程為｛—（，為參數(shù)），

y=2-2t

以。為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸，曲線。2的極坐標(biāo)方程為：夕=上2co空sQ.

siir。

（I）將曲線G的方程化為普通方程；將曲線c2的方程化為直角坐標(biāo)方程：

（II）若點(diǎn)尸（1,2）,曲線G與曲線G的交點(diǎn)為A、B,求|B4|+|P@的值.

【答案】（I）G:x+y—3=0,。2：/=2x；（II）60.

試題分析：⑴利用參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行化簡(jiǎn)（2）曲線G與曲線的相

交，法一和法二將參數(shù)方程代入曲線方程，利用兩根之和計(jì)算出結(jié)果，法三利用普通方程計(jì)

算求出結(jié)果

詳細(xì)分析：（I）G：x+y=3,即：x+y-3=0；

222

C2:psin^=2pcos^,即：y=2x

（n）方法一:

]及，

x=l----1

G的參數(shù)方程為{?L代入C2：V=2x得/+6心，+4=0

"2+g

2

f]+/2=—6>/2,|PA^+1PB|=鼠+fJ=.

方法二：

把GX*代入G二/=2%得2/一6，+1=0所以q+j=3

y=2—2t

所以I叫+|叫=巧干7"卜1+引=6點(diǎn).

方法三：

把G二%+>=3代入G二丁=24得，―8%+9=0

所以馮+巧=8,三七=9

所以|叫+|叫uMTRNTi+gFN-wTIxlWT+B-iD

=^x（|^-l+^-l|）=^x（|8-2|）=6^

2.參數(shù)方程

例2.【選修4—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

■X—2cost

已知?jiǎng)狱c(diǎn)只Q都在曲線C:{。為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為f=a與1=2。

y=2sint

（0<口<2萬(wàn)），M為圖的中點(diǎn).

（I）求M的軌跡的參數(shù)方程；

（II）將〃到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為a的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

x=cosa+cos2a，一

【答案】（1）{（2）見(jiàn)解+析

y=sina+sirila

試題分析：（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得“（005￡+852￡,5111。+51112。），即得"的軌跡的

參數(shù)方程；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得d,再根據(jù)x=y=0得1=7，即"的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

試題詳細(xì)分析：(I)依題意有P(2cosa,2sina),Q(2cos2a,2sin2a)

因此A/(cos。+cossina+sin2a)

x=cosa+cos2a

〃的軌跡的參數(shù)方程為｛（a為參數(shù)，（）va<2〃）

y=sina+sin2a

（II）"點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=｛x?+y?=j2+2cosa（0vav2萬(wàn)）

當(dāng)。=不時(shí)，d=0,故時(shí)的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

練習(xí)1.已知直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)尸（1+cosa,sina）,參數(shù)a￡[0,21），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)、

sin，1

X軸正半軸為極軸所建立的極坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)。（夕，。）在曲線C：———cos6=—上.

（1）求點(diǎn)P的軌跡E的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E和曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（H

【答案】（1）（x—lp+y2=iy=a（x+l）（a00）（2）ae--,0u0,—

、3JI3,

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x,y）,消去參數(shù)a,得（工-1>+丁=1能求出點(diǎn)p的軌跡E

的方程；由仆in0=y,pcosS=x,能求出曲線C的方程；

（2）由已知得直線與圓相交，圓心（1,0）到直線ax-#a=0,（a邦）的距離小于半徑1,由此能求出實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

試題詳細(xì)分析：

（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,則有｛,a€[0,2乃）

y-sina

消去參數(shù)a,可得（x—1）2+尸=1,為點(diǎn)P的軌跡E的方程；

qin01

由曲線C：-----cos^=—,得夕sin。一。夕cos。=a,且

aP

由夕sin。=y,夕cos。=x故曲線C的方程為：ar—y+a=0（。。0）；

(2)曲線C的方程為：ax-y+a=0(〃00),即y=a(x+l)(〃工0)

表示過(guò)點(diǎn)(-1,0),斜率為a的直線，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是以(1,0)為圓心，1為半徑的圓

由軌跡E和曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合圖形可得aw

x—2cos9x——2t+2

練習(xí)2.已知曲線C:{廠(0為參數(shù))和曲線/:{_3/"為參數(shù))相交

y=\J3sin3

于兩點(diǎn)A,8,求A,3兩點(diǎn)的距離.

【答案】AB='~.

2

x—2cos。

試題分析：利用平方法消去曲線C：{‘廣的參數(shù)可得曲線C的普通方程，利用代

y=\j?>sinO

入法消

去曲線[:{"=-2'+2的參數(shù)可得到線/的普通方程，兩普通方程聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公

y=3t

式可得結(jié)果.

試題解析：曲線c的普通方程為三+4=1

43

3

曲線/的普通方程為》=一^%+3,

兩方程聯(lián)立得，-3%+2=0%=2,巧=1,

(3\逅

4(2⑼國(guó)L/JAB=2.

x=-l+tcosa

練習(xí)3.已知直線/的參數(shù)方程為{(r為參數(shù)).以。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)

y=1+tsina

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為P=QCOS0+2.

(I)寫(xiě)出直線/經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并求曲線C的普通方程；

(11)若。=工，求直線/的極坐標(biāo)方程，以及直線/與曲線。的交點(diǎn)的極坐標(biāo).

4

【答案】⑴(―1,1),丁=敘+4；(2)[2,-j.

【解析】試題分析：⑴由題意可知當(dāng)下8$a=411a=08寸直線/經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-1,1）,設(shè)

x=pcos&,y=0sinap1=｛pcosd+2）、即可求出曲線C的普通方程；

⑵將a=f代入直線/的參數(shù)方程，可求出直線/的普通方程，將x=pc“ay=代入即可求得直

線1的極坐標(biāo)方程,然后聯(lián)立曲線C：。=KOSe+2,即可求出直線/與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)

詳細(xì)分析：（1）直線/經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（一1,1）,

2

由p=℃ose+2得p=（QCOS9+2）~,

得曲線C的普通方程為尤2+y2="+2）2,化簡(jiǎn)得y2=4X+4;

,V2

元=-1+——t

（2）若。=匹，得｛3的普通方程為y=x+2,

4,口

V=1+——t

2

則直線I的極坐標(biāo)方程為psin。=夕cos。+2,

聯(lián)立曲線C：p=pcos^+2.

工0得sin6?=l,取6=^，得夕=2,

所以直線/與曲線C的交點(diǎn)為（2,二〕.

3.極坐標(biāo)、參數(shù)方程、普通方程互化

x=2cos6x=-2t+2

例3.已知曲線c：｛廣（。為參數(shù)）和曲線/：｛a為參數(shù)）相交于

y=yJ3sin3y=3t

兩點(diǎn)A,8,求兩點(diǎn)A,5的距離.

/7T

【答案］匹.

2

試題分析:

把參數(shù)方程化為普通方程，解方程組可得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得所求.

試題解析:

曲線C的普通方程為

3

曲線/的普通方程為》=-7乂+3,

27

jyr-1

由｛43,解得｛*=或｛3.

3cy=°M=-

y=__X+31刀2

2

AA（2,0）,

即兩點(diǎn)A,8的距離為二.

2

]優(yōu)

x=-l------1

練習(xí)1.已知直線/的參數(shù)方程為｛2”為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸

y=百+L

2

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為p=4cos(e-等

(1)求圓。的直角坐標(biāo)方程；

(2)若P(x,y)是直線/與圓面夕＜4cos(e-&)的公共點(diǎn)，求也x+y的取值范圍.

【答案】(1)x2+y2+2x-2^3y=0(2)[-2,2]

【試題分析】(1)將圓的極坐標(biāo)方程展開(kāi)后兩邊乘以「轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.(2)將直線

的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，利用參數(shù)的幾何意義求得6x+y的取值范圍.

【詳細(xì)分析】

又p2=x2+y~,x=pcos。,y—psmO,

?■?k+y?-2\Z5y—2x,

：.圓C的普通方程為爐+y2+2x-2JJy=0

（2）設(shè)2=用%+A,

故圓C的方程,+/+2x—洛=0n（x+lf+｝一道『=4,

「?圓。的圓心是卜L/）,半徑是2,

x=-1---1

將｛2代入2=區(qū)+?得2=-乙

y=^+-f

又??.直線1過(guò)c（—LJ5）,圓C的半徑是2,

：.-2<t<2,：.-2<-t<2,即&+y的取值范圍是[-2：2].

練習(xí)2.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，直線/的

x-2--t

2

參數(shù)方程為｛r（f為參數(shù)），曲線。的極坐標(biāo)方程為0=2sin8.

y=一t

2

（1）寫(xiě)出曲線。的直角坐標(biāo)方程和直線/的普通方程：

（2）設(shè)P,。分別是直線/與曲線C上的點(diǎn)，求|PQ|的最小值.

2223

【答案】（1）x+（y-l）=l；V3x+y-2V3=0;（2）IPQI,nin=^!".

試題分析：（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得曲線。的直角坐標(biāo)方程，通過(guò)消去

參數(shù)可將直線/的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；

（2）在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行求解，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離d,利

用數(shù)形結(jié)合邊框求出|PQ|的最小值.

試題詳細(xì)分析：

（1）Vp-2sin^,夕2=2/?sin。，p2=x2+y2,/?sin9=y,x2+y2=2y,

即爐+（丁_1）2=],

???曲線C的直角坐標(biāo)方程為f+（y—ip=1.

x=2-—t,

4（f為參數(shù)），消去f得由x+y-2百=0,.?.直線/的普通方程為

百x+>'-2#)=0.

（2）\-P,Q分別是直線/與曲線C上的點(diǎn)，曲線C是以C（O,1）為圓心，1為半徑的圓，二圓心C到直

p+1-陰2x5-1

線/的距離d=g_1=竺—>1,所以直線/與圓C相離，

2

4.利用參數(shù)方程求最值

x-2cos

例4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為｛（夕為參數(shù)），在以0

y-sin（p

為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線。2是圓心為（3,5）,半徑為1的圓.

（1）求曲線G，G的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)M為曲線G上的點(diǎn)，N為曲線上的點(diǎn)，求1MM的取值范圍.

2

X7

【答案】（DG的直角坐標(biāo)方程為彳+y=1，G的直角坐標(biāo)方程為

x2+(y-3)2=l.(2)[1,5].

試題分析：（i）利用平方法消去參數(shù)"可得G的直角坐標(biāo)方程，將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)可

得曲線的圓心的直角坐標(biāo)為（0,3），結(jié)合半徑為1可得的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)曲

線G的參數(shù)方程設(shè)M（2cos夕,sin。），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，由三角函數(shù)和二次函數(shù)的

性質(zhì)可得|MG|的取值范圍，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可得答案.

試題詳細(xì)分析：（I）消去參數(shù)0可得G的直角坐標(biāo)方程為、+y2=i,

曲線G的圓心的直角坐標(biāo)為（0,3）,

...C2的直角坐標(biāo)方程為尤2+（y—3）2=1.

(2)設(shè)M(2cos°,sine),則

222

\MC2\-^(2cos^)+(sin^?-3)=J4cos/4-sin^-6sin°+9

=/-3sin20-6sin0+13=J-3(sin^+1)2+16.

，

v-l<sin^<l,..|MC2|min=2,|MC2|max=4,根據(jù)題意可得|MN|“而=2—1=1,

|MN|max=4+l=5,即|M/V|的取值范圍是

x—4cos9

練習(xí)i.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為：［一’（。為參數(shù)），以坐標(biāo)

y=3sin0

原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為

/7sin(6+(572

（1）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

（2）已知點(diǎn)M為曲線G上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)M到曲線。2的距離d的取值范圍.

【答案】（1）x+y=5；（2）〃6［。川近］

【解析】試題分析：（1〉利用兩角和的正弦函數(shù)公式展開(kāi)表達(dá)式，利用外<?￡=兀3。。=》即可得到曲

線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)曲線G的參數(shù)方程可設(shè)好（4??a3豆冠），利用點(diǎn)到直線距離公式表示

出M到曲線Ca：工+?=5的距離，根據(jù)輔助角公式及三角函數(shù)的有界性，可得點(diǎn)M到曲線G的距離d的

取值范圍.

試題詳細(xì)分析：（1）由0sin（e+7）=乎

得pcosff+psinO=5

將/TCOSX=x,psin0=y代入得至Ux+y=5.

（2）設(shè)A/（4cos23sin6）,M到曲線G：x+y=5的距離，

|4cos0+3sin0-5\|5sin（8+夕）一5>/2卜in（8+9）—1

公72==2

當(dāng)sin（e+0）=—1時(shí)，4rax=5及，當(dāng)sin（e+0）=l時(shí)，4松=0?所以46[0,5垃].

x=l+>j2cosa,

練習(xí)2.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線。的參數(shù)方程是｛（a為參數(shù)），以

y=\j2sina

該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程

為百gsin。-/TCOS6+機(jī)=0.

（1）寫(xiě)出曲線。的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P（m,0）,直線/與曲線C相交于A6兩點(diǎn)，且|24||尸目=1,求實(shí)數(shù)加的值.

【答案】（1）曲線。的普通方程為（x—lY+y2=2,直線/的直角坐標(biāo)方程為

(2)機(jī)=1±6或加=()或，“=2.

【解析】試題分析：（D寫(xiě)普通方程，則只需消去參數(shù)和根據(jù)極坐標(biāo)變換公式即可輕松求得故曲線C的普

通方程為（工一1）2+尸=2.直線1的直角坐標(biāo)方程為a—x+/M=y=^（x-/M）.（2）由題可知

閥網(wǎng)=劃乩所以聯(lián)立《和(X-1)2+>2=2得

\2=t2+?6(加一1"+(加—1)2—2=0,代入韋達(dá)定理即得答案

I2JI

詳細(xì)分析：

x=l+\J2cosa,

(1){=>(X-1)2+/=2,

y-\lr2sina

故曲線。的普通方程為(x—l)2+y2=2.

直線/的直角坐標(biāo)方程為百y-x+m=>yx-m].

x=m+

(2)直線/的參數(shù)方程可以寫(xiě)為｛。為參數(shù)).

1

y=5'

設(shè)AB兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為彳為，將直線/的參數(shù)方程代入曲線。的普通方程

(%-1)2+丁=2可以得到m+^-t-1+($)2=r

+V3(/?z-l)/+(m-l)2-2=0,

所以伊川儼河=同121二(加一1)~-2=1=>|/n2-2m-l|=1=>m2-2m=2=0或

m2-2m=0,

解得加二1±百或,%=0或〃2=2.

練習(xí)3.

?X—t

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程是｛y_n+6(f是參數(shù))，以原點(diǎn)。為

極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為

p=20COS。.

(1)求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)”(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn)，求x+y的取值范圍.

【答案】（1）2x-y+6=0,（x-&Y+y2=2⑵［-2+夜,2+五］

試題分析：

x-pcosO

（1）消去直角參數(shù)方程中的參數(shù)可得普通方程，利用公式｛“八可化極坐標(biāo)方程為

y-psinO

直角坐標(biāo)方程；

（2）利用圓的參數(shù)方程，設(shè)“（及+"x）sa夜sine）,則

x+y=y/2+V2cos3+應(yīng)sin。=板+2sin（。+今），由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得尤+y的取

值范圍.

試題詳細(xì)分析：

X—t

（1）由｛、_2f+6，得、=2犬+6,故直線/的普通方程為2x—y+6=0,

由°=2夜cos。，得夕2=2jl℃os6,所以/+丁=20%,即卜一血『+丁=2,

故曲線C的普通方程為1一3『+V=2；

（2）據(jù)題意設(shè)點(diǎn)材（0+A^cosa&sin。），^_|x+y=0+"^cose+Y2sine=g+2sin16+g

所以x+y的取值范圍是［-2+0,2+&］.

5.直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用

1

X——t

2

例5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/：｛廠（f為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。

y=3+g

2

為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為夕=4sin（8+?）.

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程：

（2）設(shè)點(diǎn)”的極坐標(biāo)為（3,、］,直線/與曲線。的交點(diǎn)為A,B,求+的值.

【答案】(1)x2+y2-2>j3x-2y=0(2)\MA\+\MB\=3y/3

試題分析：（1）直接由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)t得到直線的普通方程；把等式

O=4sin（0+q）兩邊同時(shí)乘以p,代入x=pcos9,pJx'y?得答案；

（II）把直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義求得

闞+頻的值.

試題詳細(xì)分析：

（1）把夕=4sin展開(kāi)得p=2sin6+2由cos。，

兩邊同乘「得P2=2/?sine+2j^ocos。①.

將02=/+/，℃ose=x,0皿＜9=丁代入①即得曲線。的直角坐標(biāo)方程為

X2+y2-2y/3x-2y=0②.

1

X=—I,

（2）將｛2代入②式，得/+30/+3=0,

易知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0,3）.

設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為％,t2,則由參數(shù)，的幾何意義即得

|M4|+|M3|=M+q=3A

練習(xí)L以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線/的

極坐標(biāo)方程為20sin（e+Q—3=0,曲線。的參數(shù)方程是廣=2的"（°為參數(shù)）.

I6Jy-2sin（p

（I）求直線/和曲線C的普通方程；

（H）直線/與x軸交于點(diǎn)P,與曲線。交于A,8兩點(diǎn)，求|刻+|「耳

【答案】（1）C的普通方程為V+y2=4,/的普通方程為x+石）-3=0;（2）373.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)極直互化的公式得到直線方程，根據(jù)參普互化的公式得到曲線C的普通方程;

（2）聯(lián)立直線的參數(shù)方程和曲線得到關(guān)于t的二次，\PA\+|尸理=團(tuán)+團(tuán)=k+M.

詳細(xì)分析：

(I)20sin(6+看卜3=0,

"(匕為6psinO+pcos。一3=0,

即/的普通方程為x+JJy—3=0,

(，,

｛x=2cos“p消去",得。的普通方程為f+y2=4.

y=2sin(p

(II)在x+百y-3=0中令y=0得P(3,0),

走，...傾斜角a=包

36

c57r.3一烏

x=3+tcos——

的參數(shù)方程可設(shè)為｛6即｛J

_.5%

y=O+tsin——

6)'=5'

代入/+丁=4得/一3百/+5=0,△=7>0,.?.方程有兩解,

+t2-3石，=5>0,6同號(hào)，

照+閥=匐+同="寸=3技

x-m——t

2

練習(xí)2.已知直線/的參數(shù)方程為｛L(其中?為參數(shù)，加為常數(shù))，以原點(diǎn)為極

0

點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為夕=2sin。，直線/與

曲線C交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn).

(1)若|4?|=孚，求實(shí)數(shù)用的值;

(2)若m=1,點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0),求廣、+廣、的值.

\PA\\PB\

【答案】(1)m—...或---；(2)1+\[?>.

26

試題分析：⑴將極坐標(biāo)方程化為普通方程，根據(jù)題目條件計(jì)算出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，從而求出實(shí)

數(shù)加的值⑵將當(dāng)加=1時(shí)代入即可求出結(jié)果

詳細(xì)分析：(1)曲線。的極坐標(biāo)方程可化為夕2=2/sine,

轉(zhuǎn)化為普通方程可得/+V=2y,即/+(y_if=]

1

x=m——t

把｛r代入為2+(y—l)2=l并整理可得*一(m+6卜+加2=0(*),

由條件可得A=(in+可-4〃z2>0,解之得一包<機(jī)<百.

設(shè)AB對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為4名，則4+/2=m+百，^2=H12>0,

|麗=，—21=7(?1+/2)2-4/1/2=’(加+目)—4加2=孚,

解N得m=——或——；

26

(2)當(dāng)m=1時(shí)，(*)式變?yōu)椤ㄒ?1+G)/+1=0，彳+右=1+百，t]t2=1,

由點(diǎn)p的坐標(biāo)為(1,0)可得

點(diǎn)睛：本題考查了極坐標(biāo)方程方程的一些計(jì)算，這里需要注意極坐標(biāo)方程與普通方程之間的

互化，將其轉(zhuǎn)化為一般方程，然后借助于解+析幾何的知識(shí)點(diǎn)來(lái)解題；第二問(wèn)結(jié)合了上一問(wèn)

的解答結(jié)果，注意需求簡(jiǎn)答的計(jì)算

C1

x=2+—t

2

練習(xí)3.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/的參數(shù)方程為｛,百以坐標(biāo)原點(diǎn)為

V=-14----1

2

極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為夕=4cos6.

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C與直線/相交于不同的兩點(diǎn)M,N,求線段MN的長(zhǎng).

【答案】(1)曲線。的直角坐標(biāo)方程為一+；/-4彳=0；(2)A/15.

【解析】試題分析：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為V+/-4x=0；(2)將直線參數(shù)方程代入曲線C,化

簡(jiǎn)得產(chǎn)--75/